赫尔曼的模态结构主义，本文主要内容关键词为：结构主义论文,赫尔曼论文,模态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：N02 文献标识码：A 文章编号：1674～7062(2015)05～0025～06 20世纪以来，随着抽象代数、现代集合论以及几何学的发展，结构以及结构同一性问题在数学研究中愈发凸显出其不可取代的地位。在法国布尔巴基学派的结构主义运动影响下，以“数学的本质是结构”为基本主张的结构主义数学哲学逐渐兴起，并形成了详细的论证体系。但基于不同的本体论立场，出现了消除(eliminative)与非消除(Non eliminative)两大类结构主义解释框架。非消除结构主义以夏皮罗(S.Shapiro)等人的先物结构主义(anterem structuralism)为代表，主张数学的本质是抽象结构，把结构看作是共相，强调抽象结构的实在性。然而，对抽象结构的本体论承诺，势必要面临认识论难题的拷问，即无法合理说明人们如何能获得关于抽象结构的知识。以消除本体论预设为宗旨，贝纳赛拉夫(P.Benacerraf)在其著名论文“数不能为何物”(What Numbers Could not be，1968)中提出数学本质在于结构而非特定的对象，认为结构可能具有多种例示，一个结构可被看成其例示的一种抽象物，重解数学断言就要避免指称任何特定的数学对象，这种观点被称为消除的结构主义(Eliminative Structuralism)。消除的结构主义因其在认识论上的解释效力，得到一批哲学家的拥护，尤其是赫尔曼(G.Hellman)基于模态理论所提出的模态结构主义已发展为系统的理论框架，成为当前结构主义中极具影响力的解释之一。 一 模态结构主义的基本框架 模态结构主义的思想最初源于普特南(H.Putnam)年的经典论文“没有基础的数学”(Mathematics without Foundations，1967)，在文中他详细阐述了模态结构主义方法的转换及发展，指出数学不应以任何特殊的数学理论为基础。他试图用模态逻辑的框架重塑数学，明确提出将数学可能性替代数学存在性的概念，从而解决有关假定最大全体的集合论悖论。其模态框架并不是要代替集合论基础，而是要用“在一个模型中满足”概念来阐明“数学可能性”。数学完全可以在没有任何特殊基础的情况下，得以保留和发展[1]。在普特南的启发下，赫尔曼提出了模态结构主义的观点，试图在不依赖集合论的情况下，直接用模态结构主义来阐释算术、分析、代数和几何等数学理论。 在《没有数的数学》(Mathematics without Numbers，1989)中，赫尔曼系统提出了模态结构主义的思想。与其他结构主义一样，模态结构主义也主张数学是关于结构的理论，在数学理论中重要的不是对象而是这些对象共同例示的结构。如对于自然数来说，其结构是指一些连续序列或者ω序列。算术是关于数列的理论，而不是处理抽象对象的某个特殊数列的基本原理。而模态结构主义的主要特征是，强调避免对结构或位置进行逐个量化，而是将结构主义建立在某个域以及该域上恰当关系(这些关系满足由公理系统给出的隐含定义条件)的(二阶)逻辑可能性上。在结构的本体地位上，模态结构主义属于消除的结构主义，即反对任何形式的本体化归，试图消除对任何数学对象的指称，其中包括对抽象结构的指称。 1.模态中立主义 通过一个表示(二阶)逻辑可能性的初始模态算子、前面加上模态算子的数学结构中的任何量词以及对二阶逻辑概括原则的限制，可以避免对可能对象、类或这种关系的承诺。尽管模态结构主义的逻辑基础也是二阶的，但它是一种模态逻辑。此外，通过使用布勒斯(G.Boolos)的多元量词以及通过将多元量词与分体论相结合而得到的关于个体有序数对的成果，基本可以断定，模态结构主义是一种“唯名论”学说。也就是说，人们无需提及具有特定关系的个体集合的可能性，而只谈及“某些个体”的可能性并且表明这些个体通过遵循特定条件的个体BHL数对的多元量化如何相互关联就足够了。在整个过程中，实际上没有引入任何抽象对象。通过反复使用相同的程序，人们可以获得基于一个原子命题的可数无穷性的典型多式三阶数论。如果假定原子命题连续统的可能性，那就可以上升到四阶数论。这一纲领在一般数学中非常有效，它可为大量的拓扑理论、测量理论以及其他抽象数学提出结构主义解释，无需对类和关系进行量化。一旦背景二阶逻辑得到确定，就可以在所讨论的特定数学理论上加入模态存在性假设。此外，超出三阶或四阶数论的理论，模态结构主义的进路同样适用。即使不使用二阶逻辑，也不必对类和关系、甚至模态下的类与关系的存在性进行承诺。特别是，集合论和范畴论的模态结构主义解释也是成立的。需要指出，赫尔曼的模态结构主义用“模态中立主义”(modal neutralism)而不是“模态唯名论”(modal-nominalism)来定位更为准确，因为他始终强调，对象的本质与数学是完全无关的。总之，模态结构主义的信条是“对象是有待抽象，而不是抽象对象”[2]。 赫尔曼的基本策略就是把普通的数学陈述转化为其模态结构主义形式。以算术的模态化为例，模态结构主义解释由假设(Hypothetical Component)和确定(Categorical Component)两部分构成[3]16～33。 2.模态结构主义的假设部分 模态结构主义的假设部分就是模态结构主义转化模式，即在转化过程中使用一种模态化的条件句。具体来看，任何算术命题S都可以根据下面线路进行转化： 如果X是任何一个ω序列，那么S在X中成立。(1.1) 由于(1.1)中隐含着一个全称量词，为避免对抽象对象或抽象结构进行量化，赫尔曼把(1.1)变为： 如果存在任何ω序列，那么S在它之中成立。(1.1’) 其中“它”这个代词表明表观的存在量词的确是全称的。“如果存在”确保了模态结构主义期望表明的情况与“对任何(真实的)x，如果x是……”是不同的。对于后者而言，人们必须把有可能符合这种情形的每一个(真实的)内容作为理解它的前提。于是(1.1)具有下述外在逻辑形式：
其中的全称量词处于模态算子的范围之内。通过这一基本假设，模态结构主义的转化就会得到人们所期望的普遍性。 依据同样的方式，也可以给出模态结构主义的存在性假设。关于PA(皮亚诺算术)解释的确定部分将断言：
在(1.2)中的可能性完全是数学和逻辑意义上的，因此这里的背景模态逻辑是不包括贝肯公式的S～5①。值得注意的是，模态结构主义解释在关于数学结构的真实存在性方面保持中立，即不存在把这种结构的实际指称作为对象的问题，从而有效规避“在我们与抽象结构之间没有关联的情况下，我们的语言如何能描述抽象结构”这种认识论难题。 同样需要强调的是，模态结构主义者并不对可能体(possibilia)进行量化，因而避免把模态转化模式扩展至“所有可能ω序列的全体”。这种全体是不合法的，任何ω序列的全体都可以构成一个新ω序列的基础，同任何集合的全体一样令人满意，比如可以把ZF公理扩张到一个更丰富的模型上。 在对任意算术命题进行模态化处理的基础上，进一步的工作就是对算术命题构成的要素进行形式化。一种选择是采用集合论语言，即根据集合从属关系来表达“ω序列”、“满足”或“成立”。但此种选择的缺点在于，将模态转化完全变为在元语言学意义上进行，结构主义的计划成为模态集合论的一部分，这显然与模态结构主义的基本框架不符。 赫尔曼选择二阶逻辑作为其背景逻辑，利用数学理论的二阶公理化，即结构的单一类型可以通过有穷多个二阶公理表征为同构。由此可以直接用数学理论来表述模态结构主义解释MSI②的假设部分。在皮亚诺公理系统中，记
为有穷多个二阶皮亚诺公理的合取。(
)中的命题S就可以写为：
(1.3)具有形式精简的优势，但仍存在问题。因为其中除了纯逻辑符号以外，至少还有一个表示后继的关系常量“S”。一方面，为了不像柏拉图主义者那样对常量S做任何本体论上的预设，另一方面免于完全落入模型论的框架之下(把S当作一个表示内涵的词，在不同的可能世界表示不同函数)，赫尔曼的具体做法是在二阶框架下通过对关系进行量化来避免上述问题。如下述语句：
其中，二元关系变量f取代了上述条件句中的常量S。然而(1.4)仍是关于元数学断言的一种先验图式。于是赫尔曼使用了一个类变量X以及对该变量的相关量化，并在公式中后加入一个全称量词
X，则(1.4)变为下列形式：
以上是对
的命题A的模态结构主义解释，记为
。 对于
可以用同样的方法来表述。A是表示
的一个命题，用三元关系变量分别替代Σ和Π，则
变为：
(1.5)与(1.6)分别是
的模态结构主义的假设部分。假设部分完成了将一般数学语言向模态结构主义解释转化的表征部分，下面具体来看，模态结构主义转化模式如何对于数学实践中关于定理证明以及定理真假判定问题进行说明。 3.模态结构主义的确定部分 赫尔曼模态结构主义的目标是：数学理论的模态结构主义解释必须在某些意义下等价于它们的初始状态。那么问题的关键就在于，如何理解“等价性”以及如何确立“转化模式”。 首先，需要考虑的是如何重新实现关于定理证明的实践。对于PA中的任何定理T，如果关于T的证明实践已经在PA的标准公理系统中得到表征，则可直接得到T的模态结构主义解释
。基本步骤如下： 步骤一：采用一个二阶逻辑的标准公理系统，该公理系统包括完全的概括公式：
其中
是个体变量，R在A中不是自由的，A可以有参变量，但没有模态算子。根据(CS)可以从二阶归纳公理得到一阶归纳公理的所有例子。 步骤二：把转化模式应用到每一个PA的原始证明中，这样原始证明的公理就变为二阶逻辑的(必然性)公理。也就是说，如果T是(有穷多个)一阶公理的正确推理结论，那么在二阶逻辑与“□”的基本规则下可推出
。根据公理化模态逻辑的必然性规则，可以得到(CS)的必然性规则，其形式为
具体来看，在模态结构主义的解释下，重新实现数学定理证明的路径是：用适当类型的关系变量来代替T的原始证明中的所有关系常量；使用演绎定理来确保条件化过程的实施，得到
其中
是用于推出T的那些公理的合取；用
来代替前件；对X的量词进行相对化处理；对二阶变量进行全称概括，并使之变成必然命题。由此，普通证明仅仅是相对于任意域的自由变量的论证。 其次，转化模式的确立需要该模式的确定部分作为前提。该模式的确定部分是指“ω序列是可能的”，如果没有这一组成部分，模态结构主义就会陷入“如果-那么主义”(if-thenism)。对于如果-那么主义的情况，假定一个实质条件句表征算术语句A，形如：
，同时假定恰巧不存在真实的ω序列，即上述条件句中的前件为假，则显然原始语言中每一个语句A的转化都会是真的。其结果是，整个转化模式会因其不准确性而遭到否定。因而对于模态结构主义，模式的确定部分是不可或缺的。基于此，赫尔曼选择以下形式作为其模态数学的一个基本论述：
该论述确保了ω序列这一概念的一致性，尽管这种一致性是人们普遍接受的，但它的确形成了数学实践中所隐含的不可或缺的“实际预设”。可以说，在算术的模态结构主义重构中，它是数论推理的根本出发点。 二 模态结构主义的辩护 赫尔曼模态结构主义的解释是通过对数学进行转化模式的处理而达成，因此其转化模式本身是否具有准确性和充分性，是该种解释需要回答的首要问题。他们需要证明：对于原始算术语言
中的任何语句A，
和
“在数学目的上完全是等价的”，其中“发现真理”就是一个数学目的。因此，转化模式的“准确性”意味着，在某种适当的意义下，
成立当且仅当
成立，也就是说，转化模式是保真的；转化模式的“充分性”是指：转化模式适用于原始语言中的所有语句。 1.转化模式的保真性 转化模式是否具有保真性，这一问题与何为真理标准有关。柏拉图主义者认为，真理就是“在标准模型(自然数模型或者集合论模型)中是真的”；模态结构主义者则认为，真理就是“在任何可能的模型中是真的”，即相关反事实条件句的真。由于模态主义者并没有把关于反事实条件句的概念还原到模型论中，因此对反事实条件句使用的真理概念仅仅是去引号的。在模态主义者看来，根本不存在(现实的)标准模型，所有柏拉图主义的数学语句在严格意义上都是假的。可以用
代替
，但二者并非真正等价。严格意义上模态主义不可能接受“
成立当且仅当
成立”，而柏拉图主义也拒绝模态的概念。 在评价转化模式是否具有保真性时，模态主义和柏拉图主义者采用完全不同的框架。那么在哪一框架中，可以表明转化模式的准确性呢?显然根本就没有一个系统，既能够证明
和
在数学上等价，又完全包含两种观点都接受的假设。面对这种情况，赫尔曼的策略是：接受柏拉图主义与模态主义之间的这个僵局，让每一个系统都分别拥有其自身的假设。如果柏拉图主义者能够充分理解模态主义者，在柏拉图主义的框架下证明等价性，那么至少可以在数学上消除柏拉图主义对模态结构主义解释的反对。需要强调的是，如果模态结构主义的转换模式在哲学上令人满意，那么它至少能够包含其自身的内在证明。也就是说，人们至少从内部必须有能力辨别原始命题的真值，否则会导致模态主义本身在方法论上的不可靠[3]34～38。
2.转化模式的等价性 我们知道，逻辑数学模态的预设为S-5公理系统提供了支持，而且在模态转化中，所有相关的条件在条件句的前件中得到了明确陈述。也就是说，在判定反事实条件句的过程中，不必依靠其他因素不变的条件，也不必依靠可能世界中的任何相对的相似性概念。这些反事实条件句遵循严格蕴含的原则，因而与日常或因果反事实条件句具有显然的差别。众所周知，后者(即因果反事实)对关于“相关背景条件”的假设非常敏感，且这种敏感性在为这些背景条件提出一种语义学或真理理论时引发了深层问题。但对数学反事实条件句而言，情况完全不同。柏拉图主义者可能通过为所讨论的模态提供一种集合论语义学解释，对其做出合理说明，而无需给出集合从属关系之外的额外机制。但这实际上是把一种从模态转化转回到集合论语言去。事实上，模态结构主义已经为逻辑模态提供了一种恰当的语义学解释。根据这种语义学，某一给定类型的模型论结构表示可能世界，该结构建立在一个给定的确定域上。由于这种结构的可能性与所讨论的逻辑可能性概念具有同样的种类，因此人们会把它作为“初始语义学”(primary semantics)[4]，其中给定域上某恰当类型的(集合论意义上可能的)所有结构，都被假定处于为该模型结构所组成的世界集合中[3]38～44。 在上述初始语义学的基础上，赫尔曼约定，对于高阶量词的量化范围，非模态数学语言的结构(相关世界)本身是满的。③因此，所有世界都是相互可达的。总之，一个基于
的二阶量化模态语言
中的模态命题S，只有当它在某给定无穷域上所有满的自由模型结构中的所有指派下都成立时，才是有效的或在逻辑上是真的。其中，这种模型结构的世界都是满的二阶结构。根据这种语义学，可以把
的语句A与它的模态翻译
之间的关系表示为：
在逻辑上蕴涵了“A当且仅当
”是一条模态逻辑真理。(1.8) 上述逻辑蕴涵的左边仅仅是关于满的二阶非模态逻辑的一般模型论概念，右边的逻辑真理只是为了引入模态语句才有的概念。二者的联系为模态结构主义的定义提供了基本依据。(1.8)给出了柏拉图式的等价性定理(equivalence theorem)[3]44，它与二阶非模态的蕴涵结果共同表明，模态结构主义转化模式是准确和充分的。 三 模态结构主义的困境 1.二阶逻辑的预设问题 赫尔曼的模态结构主义试图用模态理论来重解全体数学，并说明模态结构主义数学与原有数学的等价性，用同等方式对待集合与全域V，分析与实数域R，算术与自然数系N。而作为一种消除的结构主义解释，其要消除对任何数学对象的本体论预设的宗旨不允许存在任何公理的确定集合。因此要将全序域公理与分析进行对比，并确保算术的二阶皮亚诺假设成立，模态结构主义就必须以二阶逻辑为其逻辑前提。但是，二阶逻辑并未获得学界内的普遍认可，其自身的合法性依赖于集合论的发展。在二阶逻辑的语义学中，连续统假设、良序公理是否二阶有效等问题都实质上是集合论问题。如蒯因认为，二阶逻辑披着“集合论”的外衣，因为它涉及“集合”的讨论，在论题上没有中立性，而逻辑应该在论题上保持中立，即它的有效性是不依赖于某些特殊的数学对象如集合的预设性质的。[5]此外，与一阶逻辑不同，二阶逻辑的语义是不完备的，其中存在着不完备的证明程序。对于二阶算术中的“
F”和“
F”的表达，约束变元的量化范围是所有个体域的关系类，即F的取值范围是在一阶量词范围内的所有对象集合。这意味着基于二阶逻辑表达的公理系统隐含了某些集合的存在性，显然与赫尔曼模态结构主义消除本体预设的初衷相悖。 2.初始模态事实的预设问题 赫尔曼模态结构主义转化模式是以公理系统的一致性为基础的，它强调数学理论的真是“任何可能模型中的真”而非“特定标准模型中的真”。这意味着，其理论依赖于模态假设，即某一给定类型的模型论结构表示可能世界，该结构建立在一个给定的确定域上。这导致其面临一个潜在问题：一个理论的一致性就是指它在集合论域中具有一个模型。比如，如果假定了皮亚诺公理系统的一致性，就要承认“存在无穷多个素数”等存在性断言是皮亚诺公理的推论。这就是说，皮亚诺公理一致性意味着隐含了某一特定数学对象的存在，即一个集合论模型的存在。其结果是，模态结构主义在本体论上也要承担与柏拉图主义相同的负累。当然，模态结构主义者反对将基于一致性的模态说划归为基于集合论模型存在的非模态说。但他们有必要说明，如果基于公理系统一致性的初始模态事实不能划归为集合的非模态事实，那么这些初始模态事实究竟是什么?如果承认这种初始模态事实的存在，那么模态结构主义者也必然要面临类似于贝纳塞拉夫的认识论挑战，即人们如何能获得关于初始模态事实的认识。 3.数学的可应用性问题 模态结构主义观点提供了一种关于公理化数学理论的理解，这种理论为其中的基础概念语境地做出定义，比如自然数的皮亚诺公理将符合系统中任意对象的公理系统称为一个自然数系统。比如，当一个数学家在某一数论的语境下做出语句“存在无限多个素数”，将被理解为称“如果〈0，N，s〉是一个自然数系统，则在N中存在无限多个素数”[6]。模态结构主义者主张用“初始语义学”来说明数学命题的真理性，即使用在满足公理的任意对象系统中为真的断言或能从理论的公理中逻辑推出的断言取代关于特定数学对象真理的直观断言。在纯数学理论语境中做出这种断言是合理的，但是在纯数学之外，即在科学与数学的混合情形中如何说明数学对象的真理性呢?比如，当人们说出语句“行星的个数是9”时，不可避免要对数字“9”进行直接指称，该语句中对数字单称词的指称是不能从数学公理中推出的。而该语句显然不是皮亚诺公理的结论，皮亚诺公理不会告诉我们任何关于行星的信息。因此如果想要用模态结构主义观点来回避认识论难题，就必须要说明“行星的个数是9”这一语句的真理性依据何在?也就是说“初始语义学”除了适用于数学命题以外，是否可以用来解释经验命题?是否可以合理解释数学与经验混合命题的含义? 赫尔曼的模态结构主义为规避对特殊的结构对象做出本体论承诺，提出其消除的结构主义进路，为如何认识数学提供了较为合理的解释。然而这种基于公理系统本身一致性的主张，所付出的代价是数学提供一种特殊的语义学解释，它不可避免要面对贝纳塞拉夫的语义难题，即如何为数学与科学提供一种一致的语义学。这意味着，我们应当立足于数学与科学的实践，为数学的本质提供一种恰当的解释，它既可以说明数学自身的真理性，还可以充分揭示数学不可思议的有效性。 注释： ①在S～5中，所有的模态词都可以还原为无重复性的一些基本的短词列，从而无需用重复的模态词进行表达。 ②MSI是the modal-structural interpretation的缩写。 ③赫尔曼明确指出，这里的满不能与PA的二阶非模态语言的模型的满混淆，这种满必须处理二阶量词的量化范围是否是定义域的满幂集。
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