地理学多视角研究方法——Braess网络车流分配过程的理论分析与数值计算，本文主要内容关键词为：地理学论文,车流论文,数值论文,视角论文,分配论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
修订日期：2008-07-11
文章编号：1000-0585(2008)06-1367-14
1 前言
地理学的研究对象是复杂空间系统，没有适当的方法很难取得理论的突破和应用的长足进步。实际上，对于理论探索而言，关键在于寻求复杂中的简单，揭示简单的规则之后再去处理复杂的行为。在这方面，物理学的一些处理方式具有启示意义。物理学家研究滴水龙头的滴水过程，从中发现混沌规律[1]；研究沙堆的累积过程，从中揭示自组织临界性的问题[2，3]。简单的事物往往隐含大自然运行的普遍规律。实际上，地理学家常常从物理学的简单实验中获得理论建设的灵感，例如通过贝纳德元胞(Bénard cells)类比研究中心地系统的演化规律[4，5]。其实，地理学也会面对一些非常简单的模型，Braess网络就是一例[6]。这类系统虽然不够复杂，但隐含的道理却足够深刻[7，8]。
由于地理系统过于复杂，不论我们采用何种方法得出一种结论，都很难令人心悦诚服。但是，如果我们采用多种方法得出的结论都不约而同的时候，其结果就不会是偶然，其结论的可靠性就会大为加强了。举例来说，大气压和空气含氧量都会随着海拔高度的改变而变化。那么大气压与含氧量之间的数值关系如何表示呢？理论上应该为异速生长关系，而观测数据往往不能给出明确的结论，经验模型介于线性关系和异速标度关系之间，并且线性关系的拟合优度有时更高一些。但是，如果我们分别建立大气压和空气含氧量的高度衰减模型，则会得到两个负指数分布。从这两个负指数函数出发，可以推导出幂指数关系。由此可以判断，大气压与含氧量之间应该选择异速标度关系，而不是线性关系。类似的问题在地理学研究中经常遇见。为此我们需要多维视角的研究方法。下面以有关交通网络的Brasess佯谬为例，开展系统的多视角分析。现实中的交通网络广大而且复杂，我国学者分别从经验、技术和定量分析等角度开展了大量的研究工作[9～13]。本文是纯粹的理论方法研究，仅仅讨论简单的交通系统抽象出来的一个模型。整个过程将运用6种数学工具，解决同一个网络车流分配的问题。我们用到的方法包括条件极值分析、数值计算、数值模拟、Markov分析、最大熵分析、对偶规划理论，并且用到平均熵分析。多种方法自然而然地结合在一起，形成一个完整的研究案例。
图1 Braess交通网络模型(B-C连通之前)
Fig.1 Model of Braess' traffic assignment problems (No connection between B and C)
(图片来源：根据德文版自由百科全书“Wikipedia”上有关“Braess-Paradoxon”的图片修改。参见：http://de.wikipedia.org/wiki/Braess-Paradox)
2 Braess模型的车流预测
2.1 Braess模型及其车流分配问题
Braess模型是一个典型的城市与区域地理学问题，但模型的建立者却是一个数学家，即德国波鸿鲁尔大学(Ruhr University Bochum)的Dietrich Braess教授[6～8]。该模型的基本思想如下：假定一个区域，有一个村庄A，一个房屋或者聚落B，一座小山C和一个城市D。在这些地物之间有两条公路，这两条公路分为四段：从A到C和从B到D是两条高质量的高速公路，无论有多少车辆都可以顺利通过，且在50分钟之内走完各段路程；但是，从A到B或者从C到D之间的路况较差，随着车辆的增多通过的时间也线性增加：1000辆车需要10分钟，2000辆车需要20分钟，其余依此类推(图1)。现在的问题是：假设有6000汽车从A村庄开往D城市，如何在这个简单的交通网络上分配车辆才能使得每辆汽车的运行时间最短？这个问题涉及车流的空间优化分配。
2.2 基于自组织优化的问题求解
如果不考虑Braess网络在BC之间修建高速公路导致的非线性相互作用及其后果，则上述车辆分配问题是比较简单的问题[6，8]。根据图1所示的Braess网络的拓扑结构特征，我们可以将其抽象为一个具有奇对称结构的简易网络模型(图2)。根据这个奇对称结构可以判断，车辆的最终分配将会是均衡分布。
假定人文地理系统是通过自组织过程寻求优化，即追求成本最小，或者效益最大，则可以借助高等数学中求极值解的方法证明如下结论：对于具有图2所示的奇对称结构的交通网络而言，车辆的均衡分配即为最优分配[8]。为了分析的简明起见，下面的解析过程没有考虑下行车流——即没有涉及从D到A方向的汽辆。实际上，由于网络结构的对称性，下行的情况与此完全类似。
根据假设，从A到C和从B到D的汽车运行时间是一个常数，即有
现在要求所有汽车运行时间之和为最小，上述问题可以表示为一个简单的规划问题。目标函数是
也就是说，在每条路线上平分车辆——各走3000辆车，方可使得运输效率达到最高。此时，每辆汽车的运行时间是80分钟。全部车辆的运行时间是80×6000=480000分钟。上述分析方法乃是高等数学中求条件极值的方法，通常称作La氏乘数法(Lagrange Multiplier Method，LMM)。
那么，有谁来指挥车辆的分配呢？答案是无需任何交通警察，车流的平衡通过自组织过程就可以实现。原因在于，这两条路线没有任何一条路线具备特殊的优势，司机必然通过观察路上车辆的数目和自己的行车经历决定自己对路线的选择，他们总是偏向于选择车辆相对较少的路线，从而使得不同路线的车辆数目趋于等同。当然，对于微观层面的车辆个体而言，这个选择过程具有一定的随机性；但对于整体来说，宏观层面却会形成某种稳定的分布格局。不论怎样，城市和城市体系都是复杂的自组织系统[5，14，15]，自组织演化过程也就是一种通过微观层面相互作用形成宏观秩序从而达到整体优化的发展过程。
3 多种方法的综合分析
3.1 Braess车流的动力学模型
为了考察上述理论判断是否可靠，我们从多个角度对Braess网络开展分析。首先建设动力学模型，基于这个模型可以开展数值计算和模拟分析。出于将问题简化的目的，我们假定每天有固定的车辆从A到D，不妨假设车辆仍然为6000辆，并且这些车辆都是当地车，或者对这一个区域比较熟悉。现在以两条道路都已完工的时间为起点(
=0)，考察车辆如何通过自组织达到优化分配与动态协调。设从t==0时起算，第n天走A—B—D路线的车辆为
，走A—C—D路线的车辆为
。上一天走A—B—D路线的车辆下一天有一部分转移到A—C—D路线，转移的数量与上一次的车辆数量成比例，不妨设比率为b；上一天走A—C—D路线的车辆下一天有一部分转移到A—B—D路线，转移的数量与上一次的车辆数量成比例，比率也设为b。假设两条路线车辆转移的比率相同的依据在于：两条路线的综合路况相同，没有哪一条有特别的优势。于是第n+1天两条路线的车辆数可以用一阶齐次差分方程组表示
这意味着两条路线的车辆数目达到动态平衡。可见，对于这样简单的问题，从动力学方程中可以直接观察出问题的答案。不过，作为一篇研究方法的论文，我们更关心不同方法的分析结果之间是否彼此印证。
3.2 数值模拟
有了上述动力学方程，数值计算和模拟分析就成为可能。计算机模拟在现代地理学研究中具有非常重要的地位[16～19]。数值模拟的第一步是建立模型，第二步是寻求算法，第三步是基于适当的算法编程运算。对于本例，模型如式(9)所示，算法可以采用迭代法。至于计算，由于研究对象简单，利用电子表格微软Excel即可开展工作，当然可以在Matlab里面编程运算。假定最初的车辆不平衡，其中一条路线的车辆为4000辆，另外一条为2000辆。不失一般性，令
=4000，
=2000，以此为初始值；并取10％的车辆转移率，即b=0.1，从而a=0.9，以此为参数值。作为实验，参数可以根据假想设定，根据需要调整。对于本例，研究者也可以采用其他参数值，最终结果都一样。将参数值代入式(9)，得到
利用电子表格或者数学软件非常容易实现这个简单的数值实验过程。结果表明，在不太精确的情况下，当n=40的时候，基本上达到了式(11)、式(12)描述的平衡条件(表1)。改变初始值，例如取=5000、=1000或者=6000、=0，迭代计算的最终结果不变：x趋于减小而y渐趋增大，最后两条路线达到均衡状态(图3)。进一步地，取=0、=6000，或=1000、=5000或=2000、=4000，最后的结果依然如故。改变参数b值，最后收敛的结果仍然不受影响，只不过收敛的速度有所不同。总之，不管初始值如何，也不论转移参数取值大小，只要没有忽略两条路线路况相同的奇对称事实，即假定两条路线的车辆转移率相同，最终的结果都会一样，所不同者在于迭代收敛的速度即达到平衡点的时间不同：b值越大，迭代过程收敛越快，系统达到稳定状态的时间也就越短。
3.3 数值计算分析
上面是通过数学实验给出的模拟解，接下来借助基于线性代数的有关计算数学的知识寻求数值计算解。这里用到的代数知识比较平常，从美国数学及其应用联合会(CO-MAP)编写的基本数学教材里都能见到[20]。设
例如当n=35时，x=3000.406，y=2999.594；当n=70时，x=3000，y=3000。与表1和图3对比可知，代数解析的结论与模拟分析的结果完全一致。实际上，数值计算过程和数值模拟过程是一个问题的两个方面：前者基于代数运算，后者基于数值和相应的图像表示。这两种分析方法没有本质的不同。
3.4 Markov链分析
如果将上述车辆的自组织平衡过程视为一种Markov过程，则通过Markov链进行分析可以达到相同的结果。Markov链的运用有一个前提，即研究对象是具有无后效性的随机过程[21]。在Braess网络中，车流的变化基本上是上一步影响下一步，对下下步没有影响。因此，至少可以近似视为无后效性的一种演化过程。根据我们的参数设定，转移概率矩阵即所谓状态空间为
根据前述假设，初始状态为
与表1对照可知，这正是n=8的车辆分配情况。在式(18)中，取n=8，得到的结果完全一样。可见Markov矩阵与数值模拟以及代数解析的结论没有区别。
4 理论基础诠释
4.1 最大熵解释
数值计算、模拟实验和Markov分析的结果与优化分析的结论完全一致，而且模拟实验表明系统的确可以通过自组织过程达到优化的动态平衡。那么这种平衡的地理理论意义又是什么呢？人文地理系统的优化过程通常与信息熵最大化过程有关[22～25]，现在看看这个过程与最大熵的关系何在。实际上，在Braess网络中，车流的分配涉及有序划分，有序划分的状态可以用热力学熵度量；车流转移涉及概率，概率分布特征可以采用信息熵刻画。热熵和信息熵在数理上并无本质区别[26]，在数值上则为线性比例关系，亦即等价关系。
地理学的熵最大化不同于经典物理学的热力学熵增：物理系统的热力学熵增意味着系统退化，而地理系统的熵最大化则暗示着系统优化[22]。根据假定，现在有N=6000辆车，这些车辆将分布在A—B—D和A—C—D两条路线上，即宏观状态只有两种，
目标函数为熵最大，约束条件或守恒条件为车流总量一定。为求解，构造Lagrange函数
此时热熵即微观状态熵为S=4154.307，相应的信息熵H=ln2=0.6931nat，熵值达到最大。理论上，状态熵S与信息熵H数理等价，即有S=NH。容易验证，S/6000≈H。由于计算信息熵涉及的自由度远远小于计算热熵牵涉的自由度，简便易行，在具体操作中可采用信息熵H代替热熵S，最终分析结论完全一样。
根据前述概率转移过程，容易计算每一个步骤车辆分布的信息熵值，包括状态信息熵和平均信息熵。可以看到，系统的信息熵一步步趋于最大，最后达到
=ln2=0.6931nat时进入平衡状态(表2)。这时系统的平均(信息)熵等于状态(信息)熵。将上述过程标绘到坐标图中容易看出，当系统接近平衡态时，转移的过程越来越慢(图5)。图表的结果明确显示，系统的演化机制与基于最大熵方法的论证结果完全一致。
4.2 熵最大化模型的对偶分析
那么，熵最大究竟意味着什么呢？根据线性规划和非线性规划的有关原理可知，交换上述非线性规划模型的目标函数和约束条件，可以得到对偶模型
(26)
这个模型意思是说，在车流分配的熵一定的情况下，寻求车流总量最小。这个式子有些不可思议：为什么系统追求车流总量最小而不是最大？于是问题返回到前述2.2节的讨论。对于我们的问题，车流总量始终是一个常数——N=6000辆。追求车流总量最大抑或最小均没有意义。真正有意义的是车流运动的总耗时最小。
规划中的对偶问题本质上是一种对称问题。所谓对称，其实是一种变换中的不变性。一个规划模型转换为对偶模型，在数学上是一种变换。然而，经过这种变换之后，模型的解没有变化。换言之，在目标函数与约束条件的位置变换过程中最优解不变。设La-grange函数
取λ=1/γ，则可以看到，原始规划模型的结果与其对偶模型的解完全一样。
上面讨论的结果表面上是车辆数目的均衡，其实不然，系统追求的乃是每辆汽车运行时间的均衡。当上面的两条路径发生对称破缺，即一条路况优于另外一条路况时，较好的道路将会拥有较多的车辆，但最终会达到所有辆汽车以相同的时间走完全程的平衡状态。对前面的假设条件稍做修改，不难模拟对称破坏以后的情况。
4.3 理论和方法的启示
作为一个非常简单的模型，Braess网络之所以超越纯粹的数学问题在学术界引起广泛的兴趣在于其背后隐含的深刻道理。这篇文章的主旨不是要研究一种简单的交通网络模型本身，而是为了发展一种系统的地理分析思路，即单目标多视角综合分析法。为了预测Braess网络车流量的空间分配格局，本文采用了6种数学或者定量分析方法，分别从不同的角度进行探讨。这6种数学方法既具有一定的联系，但并非完全等价的方法，也不是在任何情况下都可以互相替代的方法。这些方法各有不同的分析视角，在不同的情况下可以提供不同的时空信息。La氏乘数法是一种条件极值法，本质上是一种规划方法。动力学模型是一种基于连续变量的微分方程组，这个方程组可以帮助我们寻求问题的解析解，其缺陷在于，一旦出现非线性项，多数情况下无法直接找到解答。数值计算和模拟是基于微分方程的离散结果开展分析。数值计算主要是借助代数运算寻找方程的解，但其计算过程可能对具体问题没有任何物理意义。数值模拟在逻辑上与数值计算等价，但二者并非可以彼此替代：数值计算能够快速给出求解结果，而数值模拟则可以给出直观的求解过程。Markov链是一种随机过程分析，它可以提供连续的预测过程，但据之难以解析系统演化的动力学机制。最大熵方法主要用于理论分析，可以用它揭示问题背后的物理本质，但该方法不能用于数值预测(表3)。
在具体应用中，不同的方法各有优势和不足。条件极值分析用于初步的预测和理性判断，动力学分析用于演化判断，数值模拟和计算用于动力学分析的检验，Markov链用于过程预测分析和辅助检验；至于最大熵方法，主要是揭示系统演化过程的数学基础和物理本质。方法不同，揭示问题的视角也不一样，但给出的结论是一致的，即对于二道路、奇对称的Braess线性网络，车流的发展和最优分配方案是平均分配。基于上述方法的Braess模型分析对于地理研究的理论启示和应用方法方面的启发都是明显的。至少有三个方面值得强调。
第一，地理系统的自组织优化问题。在Braess网络中，车流会自动向着均衡分配的方向演化。对于对称网络而言，平均分配车流可以使得总的行车时间降到最低。换言之，均衡分配将能导致所有车辆在一定时期内的运行时间总和最小。由此可以看到，地理系统的最优是一种兼顾公平和效率的概念。对于整体而言，系统追求的是全部车流的总体耗时最少，而不是个别车辆行车速度最快；对于个体而言，各个车辆运行的时间相等，而不是一些车辆耗时少而另外的车辆耗时多。整体追求的是效率，而个体追求的则是公平。这种追求是在一定规则支配下自下而上自发实现的，是一种自组织的过程。
第二，地理系统最大熵的本质问题。最大熵方法在地理学理论研究中有着非常重要的应用[22]。地理学的许多重要模型，如城市人口密度的负指数模型即Clark定律，城市规模分布的Zipf定律[25]，城市空间相互作用的引力模型[23]，其基础理论问题都可以借助熵最大化思想给出解释。然而，最大熵的地理意义究竟是什么，却是一个令人感到似是而非的问题。Braess线性网络的最大熵对称分析清楚地表明：车流分布的熵最大化意味着全部车辆运行的时间总和最小和个别车辆运行时间的均衡。由此可见，地理系统的熵最大化本质上是一种宏观意义的系统最优化过程——个体的公平和整体的效率趋于最佳状态。
第三，本文真正要强调的是，同一个地理问题可以找到许多不同的分析方法。综合利用这些方法，有助于我们在实践中更为有效地解决问题。有人可能会提出疑问：既然多种方法解决的结果完全一样，采用其中相对简单或者自己比较熟悉的一种即可，为什么还要从不同的角度开展多视角分析？问题在于地理系统的复杂性。对于复杂的地理空间系统，理论上可以采用不同的方法解决同一个问题，但在现实中却会遭遇其中某些方法失效的问题，而且我们无法预知何时、何地、何种方法失效。特别是，当直接分析方法失效的时候，非常可能导致偏离实际的结论。下面举出一个简单实例说明问题。
作者曾经研究河南省1971年到2000年人均总产出与人均地区生产总值(GDP)的关系。有两种备选模型。其一是线性模型，拟合优度为0.999；其二是幂指数模型，拟合优度为0.998，标度指数为0.929。在统计学意义上，两种模型都可以接受；从散点分布与趋势线的匹配效果上看，分不出优劣。线性模型的拟合优度较之于幂指数模型的拟合优度要好一些，但从预测效果上看，这种优势可以忽略不计。我们感兴趣的是，人均总产出与人均GDP之间究竟是什么关系：如果是线性关系，则意味着某种简单的区域经济结构；如果是幂指数关系，则意味着异速标度，暗示一种复杂的区域经济结构。
在直接建模难以确定结构的情况，可以采取两种间接建模的方法。以时间为虚拟自变量[27]，分别拟合人均总产出与人均GDP的增长模型，看看它们是不是线性变化。如果是线性增长，则可以导出人均总产出与人均GDP的线性关系；如果是指数增长或者幂指数增长，则可以导出人均总产出与人均总产值的幂指数关系。结果表明，在1971-2000年期间，河南省的人均总产出与人均GDP都是指数增长，并且相对增长率的比值为0.933，与前述标度指数估计值0.929大体一致。
还有另一个解决的办法，就是分别考察人均总产出和人均GDP与城镇人口比重的关系。理论上，城镇人口比重与人均总产值以及人均GDP之间可能满足幂指数关系即双对数线性关系[28]。当然，有可能是更为常见的单对数关系[29]。无论幂指数关系成立还是对数关系成立，都可以导出人均总产出与人均GDP的幂指数关系。另一方面，如果人均总产出与人均GDP之间为线性关系，则要求城镇人口比重与人均总产出以及人均GDP之间都满足线性关系。检验的结果表明，城镇人口比重与上述两种人均产值之间都是幂指数关系。城市化水平与人均产值或者产出之间不能拟合线性关系。而且，利用城镇人口比重与人均产值和产出之间的标度指数间接地估计人均总产出与人均GDP之间的标度指数，结果为0.931，与前述0.929更为接近。至此结果已经清楚：河南省1971-2000年间的人均GDP与人均总产出之间理当是异速标度关系，而不是简单的线性相关关系。
关于河南省人口总产出和人均GDP关系模型的判断过程可以整理如下：(1)直接建立两者之间的经验模型。理论上，结果应该明确，然而，在实验中，两种结果孰是孰非却无法单纯从经验上判定。(2)引入中介变量——时间，分别建立人均总产出和人均GDP的增长模型。结果得到两种指数函数，由此导出人均产出—产值的幂指数方程；(3)引入中介变量——城镇人口比重。之所以选择城镇人口比重为中介变量，是因为国内外对城市化水平与人均产值或者产出的关系研究较多[28,29]，实证基础可靠。分别建立人均总产出与人均GDP的关系，结果得到两种幂指数模型，由此还是导人均产出—产值的幂指数方程。进一步地，还可以开展理论分析和数值模拟计算。总之，直接分析无法判断的问题可以通过两种间接的分析作出裁定。这个问题与本文讨论的Braess车流分配问题异曲同工。
Braess网络与河南人均产值—产出关系表面看来毫无关系，但它们在地理研究方法中却代表同一类别的现象：可以采用多种彼此等价或者关联、互补的方法进行探讨。当观测数据结构复杂、结论不清的时候，我们可以从其他视角的分析结果中取得旁证，从而明确问题的答案。本文之所以选择Braess问题作为分析对象，主要原因在于Braess网络是一个简明的理论模型。借助Braess车流问题说明作者的思路，有助于读者理解，更重要的是，Braess网络在未来地理研究中具有非常重要的隐喻(metaphor)意义。隐喻对于模型建设和理论发展而言具有特殊的作用[30，31]，有关问题可能会引起对未来地理学理论研究的注意。
在地理研究中，存在两类数学方法关联的现象。其一是不同方法的互补，其二是不同方法的等价。图论中的最小支撑树和聚类分析的最短距离法都可以解决网络中的最小连接问题，但图论和聚类分析并不等价；最小支撑树问题也可以采用线性规划求解，但图论与线性规划也不等价。图论、线性规划和聚类分析在最短路径连接方面形成了逻辑交汇，但不表明三种数学方法可以彼此替代。这些方法交叉、互补，可以从不同的视角解决不同方面的问题，或者提供不同角度的理解。还有一些数学方法，它们彼此等价，但可以提供不同角度的地理信息和洞察(insight)。以城市化logistic过程背后的城乡人口转化速度为例，为了计算最大城市化速度在logistic曲线上的位置，我们可以至少采用三种不同的数学方法推出相同的结论：其一是偏微分求导[32]，其二是抛物线分析，其三城乡人口比重的最大“面积”分析。这三种分析方法在数学上等价，但是，它们提供的地理信息却不尽相同。偏导数分析最为严谨，便于逻辑推理；抛物线分析最为直观，便于读者理解；最大“面积”分析最为简捷，有助于城市化速度问题的几何解释。
有人可能怀疑，前述Braess网络分析的多种方法之间并非相互独立，这些方法的结合是否具有实际意义？其实，如果不同的方法彼此独立，则不可能用于解析相同的问题。如果多种方法可以解决相同的问题，则它们之间一定存在某种逻辑关系。可是，我们不能因为这种逻辑上的联系否认多种方法协同分析的实际用途。在物理学中，矩阵力学与波动力学彼此等价，但矩阵分析并不能代替波函数分析，反之亦然。虽然不同的数学方法刻画的是相同的数学问题，但它们提供的物理解释视角和系统信息范围不同并且互补。在地理学中也是如此，多种彼此关联的方法可以从不同的角度解决相同的问题，从而为我们提供不同的逻辑支撑，或者解释不同的地理时空信息。
5 结束语
人文地理系统是复杂的空间系统[22]，城市和交通网络具有非常复杂的演化行为。对于这类系统，单一的研究方法往往不能提供可靠的分析结论。最近10多年来。物理学家和理论地理学家通过城市和交通现象的探索，逐步形成了一套完整的研究方法[33～36]，这套方法可以概括为如下三个步骤。第一步是基于经验数据建立模型，并且给出模型参数的估计结果；第二步是基于第一步的观测结果构造假设、建设方程并求解，求解结果要与第一步的经验模型及其参数一致；第三步，基于第二步的理论假设开展计算机模拟，模拟结果要与第一步的观察现象一致。随着这套方法的发展和完善，地理学理论研究将会更加严谨和规范。然而，上述研究并非到处适用，对于Braess网络这类，上述“三步分析法”就会受到局限。正因为如此，作者才考虑提出多视角的分析思路，以期补偿“三步法”的某些不足。
本文的研究方法可以在交通网络研究中作如下推广。第一步，从奇对称网络推广到不对称的二道路网络。这个时候情况将会复杂一些，有些分析方法如动力学模型的直观判断可能失效——需要开展相对复杂的动力学分析。最大熵理论也可能不再适用。第二步，从二道路网络推广到多道路网络。这个时候动力学模型分析将会比较复杂，但数值模拟和计算将会显示优长。对于简单的系统，我们可以采用许多不同的方法进行分析和预测。但是，当系统的维数升高和结构变得复杂的时候，数值计算和模拟实验的优势将会凸显出来。第三步，由线性分析发展到非线性分析。在网络中连通B、C，两条道路之间发生相互作用，线性动力学过程就会变成非线性动力学过程。对于第三种情况，数值模拟实验的作用将会更为突出。
事实上，本文讨论的方法不限于交通网络。凡是涉及空间分配的问题，都可能需要类似的多视角研究方法。典型的例子之一就是人口城市化过程，涉及人口在城市和乡村中流动和分配问题。其他类似的问题很多，如不同城市对资源的竞争、游客在不同旅游地之间的转移和分配，诸如此类的问题不胜枚举，因此上述方法具有普遍的意义。问题在于，今后如何发展出一套完整的研究模式，将其应用到高维不对称的情形。实际上，只要形成一种思路，后面的发展就相对容易了，深入的研究仍在进行之中。
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