摘 要：最值问题是初等数学的一类基本题型，也是教育教学的典型素材之一。解决和处理这类问题时如果能把握住基本想法和方法，再从多个角度着手，那么就既能拓展思想认识能力又能提高解题实践能力，对教育教学效果会起到巨大的推动作用。
关键词：式子的特点或性质 基本方法 一题多解
以下通过例题说明对最值问题的处理方法。
例题一：如右图，圆O的半径为r，过圆心O有两条相互垂直的定直线，过圆O上的动点P作圆O的切线交两条直线分别为点A、点B， 试求OA+OB的最小值。
分析：欲求OA+OB的最小值，先表达出OA+OB的式子，然后根据式子的特点（或性质）求出问题的解。
解法一：运用二次抛物线有最小值的特点求解，关键是变形出某个二次整式
设OA=x（显然x>r），则OB= ，记y=OA+OB=x+ 。
为了求y的最值，化简式子，先设t= x2-r2(t>0)，有y=x(1+ )，y2=（t2+r2）（1+ ）２，t2y2=（t2+r2）（t+r）2，
整理得t4+2rt3+（2r2-y2）t2+2r3t+r4=0，
分解因式得[t2+（r+ r2+y2）t+r2]·[t2+（r- r2+y2）t+r2]=0，
显然[t2+（r+ r2+y2）t+r2]>0，所以[t2+（r- r2+y2）t+r2]=0，
由于关于t的方程有解，所以△=（r- r2+y2）2-4r2≥0，即y≥2 2r。
解法二：引用基本不等式
设OA＝x，OB＝z，在图中△BOP～△BAO易得 = ，于是 ＝ ，r2（x2+z2）=x2z2。由基本不等式x2+z2≥2xz可得x2z2≥r2·2xz即xz≥2r2。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆再由基本不等式x+z≥2 xz，便知x+z≥2 2r。
解法三：利用根于系数的关系（韦达定理）
设∠AOP=a，则OA=x=，OB=z=，则 ＋ ＝1。
再设，
显然 ，
则以 ， 为根的二次方程y2- y+ =0必然有根，即△=（- ）2-4· ≥0，n≥2r2；也可写成△=(- ）2-4· ≥0，m2≥4n。所以m2≥8r2，即m≥ 2r。
解法四：进行三角变换化简式子
设∠AOP=a，则OA=，OB=，OA+OB=+（0°<a<90°)。
+＝= ，
设w=sin2a（0<w≤1），则上式=。（此式的导数为<0，所以在0<w≤1时单调递减）w=1时取得最小值2 2r。
解法五：用导数法根据函数的性质
设∠AOP＝a，则OA=，OB=，y=OA+OB=＋=，于是
y`=
= ，（0<a<90°）
=
a=45°时，取得最小值ymin=2 2r。
例题二：已知点P（1，2），在直线L：x-y+4=0上求一点Q，使得|OQ|+|PQ|（O为坐标原点）最小，并求出这个最小值。
分析：本题是一道解析几何题目，绘出图形如右：
解法一：运用几何中关于对称点的想法
先找到点O关于直线L：x-y+4=0的对称点O`，然后，连接O`P，则直线O`P与直线L的交点即为所求点Q。
易得O`（-4，4），直线O`P的方程为：y-2=-2/5(x-1)；解方程组，得Q（-8/7，20/7）。这个最小值便是线段O`P的长度：|OQ|+|PQ|= 29。
同理可找点P关于直线L：x-y+4=0的对称点P`、连接P′O，其它思路和想法同上。
解法二：运用导数方法求解
关键是建立|OQ|+|PQ|的函数，一是运用解法二中的式子；二是换作别式。首先，使得部分达到最小，在直线上确定M（-2，2）和N（0，4），则Q介于M与N之间摆动；其次，设直线的参数方程，(0<t<2)于是得到函数式|OQ|+|PQ|= OM2+MQ2+ PN2+NQ2= 8+2t2+ 5+2(t-2)2。它是关于t的一元函数，求此函数的一阶导数并令其为零，解得t= 。
论文作者:任毓华
论文发表刊物:《素质教育》2015年6月总第178期供稿
论文发表时间:2015-6-11
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