教什么比怎么教更重要——“平面几何中的向量方法”同课异构的教学启示，本文主要内容关键词为：平面几何论文,向量论文,更重要论文,启示论文,异构论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2008年12月，中国科协与北京东城区教育委员会在北京开展“聚焦课堂：新课程背景下如何进一步提高课堂教学实效性”的“同课异构”活动。针对高中数学人教A版必修四第二章“平面向量”中的“2.5平面向量应用举例”，北京的两位教师与上海的一位教师各上了一节“平面几何中的向量方法”。笔者有幸参加了这个活动，感到三位教师都进行了认真、充分的准备，我们也有一些感悟与想法，所以把它写出来与各位同行交流，希望能有更多的教师分享这个资源，达到我们活动的目的。为了交流方便，不妨把北京的两节课分别记为
、
，上海的一节课记为B。
一、课例设计简介
：环节一，复习矩形的几何性质、判定方法，引导学生将矩形的性质、判定方法用向量知识进行描述。
环节二，将矩形一般化得到平行四边形，用向量知识描述平行四边形的性质与判定。
环节三，提出问题。
问题1：观察、归纳、思考平行四边形ABCD中两条邻边与对角线之间有什么样的联系。
（引导学生利用向量知识探究：在平行四边形ABCD中，有
）。学生探究用时大约15分钟，想到测量方法，但仍然没有探究出结果。教师最后和学生一起边分析边探索，完成整个探究过程，用时25分钟）
问题2：
(1)初中我们已经认识到平行四边形对角线互相平分，请大家思考一下这个结论是如何证明的。
(2)如果我们取边AB中点B′，连接DB′交AC于O′，请你想一想这时O′在什么位置，如何证明你的结论？
(3)如果在对角线AC上选取一个四等分点O″，并连接O″B交边AD于B″，请思考这时B″在什么位置。
(4)如果在对角线AC上选取一个五等分点O*，在邻边AB上选取四等份点B*，那么三点D、O*、B*是否共线？如果是，请你证明；如果不是，请说明原因。
（引导学生根据题目恰当、自主选择解决几何问题的方法，并落实解题过程。学生首选的方法是平面几何中的相似，但在问题(4)中遇到困难）
环节四，小结与作业。
作业：如果将分点改为六等分点、七等分点、……那么你会得到什么结论？
：环节一，创设情境，直观感知。
教师简介勾股定理，同时给出勾股定理最优美的证明——赵爽弦图，欧几里得证明，引导学生利用平面向量知识证明勾股定理，让学生初步感知平面几何中的向量方法。
环节二，学习应用，提升认识。
问题1：在矩形ABCD中有
，那么如果ABCD为平行四边形，会不会有同样的结论呢？
（引导学生用向量知识探究：在平行四边形ABCD中，有，然后提炼向量法解题“三部曲”）
问题2：如下页图1，已知正方形ABCD，点P是对角线AC上任意点，PE垂直AB，垂足为E，PF垂直BC，垂足为F，那么DP与EF的位置关系如何？试证明你的结论。
（引导学生体验向量法中的坐标运算法，让学生体验和感知如何在不同背景的问题中选取恰当合理的解题方法，即选取向量法中的向量几何运算法和向量坐标运算法，将几何问题转化为向量的运算问题）
环节三，反思升华，分层作业。
环节四，课程延续。
介绍初等几何问题的机器证明方法——吴方法，给学有余力的学生提供丰富的课后学习资源，进一步提高学生对计算机技术的兴趣。
B：环节一，引入。
引例：已知，|a|=2，|b|=4，a与b的夹角为
，以a、b为邻边作平行四边形，求此平行四边形的两条对角线的长度。
（教师和学生从向量运算及向量的坐标运算两个角度一起完成此题，同时教师提出以下问题）
问题1：你能发现此平行四边形对角线长度与两条邻边长度之间有怎样的关系？
问题2：任意平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有这样的关系吗？
（两个问题学生都没有探究出答案，由于时间关系教师直接给出结论，用时大约15分钟）
环节二，利用向量法解决平面几何问题。
例1 求证：平行四边形两条对角线的长度平方和等于两条邻边长度平方和的两倍。
（教师在此问题中总结出用向量法解决平面几何问题的“三部曲”）
教师引导能把三角形拓展到任意四边形，上述结论成立吗？把三角形拓展到任意多边形，上述结论成立吗？）
二、课例要求研究
对于课例的研究，我们先不考虑上述三个具体的课例，而是仔细分析、研究“平面几何中的向量方法”在课标中的具体教学要求、教材编写的意图、例题的特点和功能以及教学和学生的实际情况和问题。
1.课标要求研究
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，体会向量是一种处理几何问题的工具，发展学生的运算能力。
2.教材意图研究
“平面向量应用举例”共2节课，第一节是“平面几何中的向量方法”，第二节是“平面向量在物理中的应用”。
“平面几何中的向量方法”教学的主要任务是让学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，体会向量是一种处理几何问题的工具，掌握向量法解决几何问题的三部曲。
教材中例1的作用主要是通过本题的解决使学生明确用向量法解决平面几何问题的三部曲，同时掌握线段与向量的模以及向量的模与向量的数量积之间的关系。
教材中例2的作用主要是使学生进一步巩固用向量法解决平面几何问题的三部曲，同时体会待定系数法是向量法证明平面几何问题的常用方法。
3.向量工具的研究
向量在数学中有着广泛的应用，为我们更进一步研究数学的很多问题提供了一个平台。那么平面向量之所以成为研究平面几何问题的工具，主要体现在以下几个方面：
(1)平面向量基本定理的保障。
平面向量基本定理能使平面内的任一向量a用同一平面内的两个不共线向量两个向量
线性表示。
(2)平面向量具有相对完备的运算以及运算的不封闭性。
(3)向量可把几何结构代数化，进而程序化；
由向量基本定理引出向量坐标；
由向量的坐标及坐标运算把空间中各种位置关系数量化；
以上的分析可以说明平面向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象，自然向量就是连接代数与几何的纽带，是把平面几何问题转化为代数问题的重要工具。
4.教学实际的研究
向量的定义以及向量运算的定义都与几何图形紧密相关，引入向量及其运算的目的提供从另一个角度来研究几何问题、丰富运算的概念，进而理解数学本质，这些都是无可争辩的事实。在此我们提出适当淡化平面向量运算在平面几何中的应用，并非想削弱平面向量的几何意义，而是从教学的实际出发，考虑到学生初学时对向量的概念与运算刚刚起步，短期内难以达到熟练的程度，而且教学仅一节课，因此我们提出用有向线段表示的向量运算，应以课本要求为准，以熟悉基本概念和基本运算为主，初步体会平面向量证明平面几何问题的三部曲以及平面向量证法的简洁性，适当淡化向量运算在平面几何中的应用。
三、课例教学反思
1.教学对象研究的反思
由于学生在初中学习了三年平面几何，很熟悉平面几何问题的处理方法，对平面向量在平面几何中的应用是第一次接受，一般解决问题时是不会想到向量方法的，因此在教学中要给学生分析向量工具的特征，即向量及其代数运算可以刻画几何对象以及几何对象间的相对位置；可以刻画角度、长度、面积、体积等几何度量，因此可以利用向量工具把平面几何问题转化为向量计算问题。从这三节课来看，三位教师都没有充分考虑到学生的这个实际状况，都没有涉及对向量工具的分析，因此教学时大部分学生都从自己熟悉的方法入手，选择平面几何法解决问题，脱离了本节课研究的主题。
2.教学目标确定的反思
三位教师在教学目标中都提出初步掌握用平面向量解决平面几何问题的向量法以及向量法的三部曲，这是非常好的也是非常到位的定位，但我们在仔细体会琢磨向量法解决平面几何问题时，就会发现怎么样把几何问题转化为向量问题是这一方法的核心，也是这一节课的难点所在。分析向量工具可以得出，如果是选用向量几何运算法，则解决这一问题的根本是基底的选择，如果选择向量坐标法，则解决这一问题的根本是坐标系的选择与坐标的表示。但三位教师对向量法解决问题的核心都凸现得不够。因此在教学时我们应深入研究教学内容，抓住内容的核心进行教学。
3.教学目标实施偏差的反思
三位教师教学目标确定差别不大，但在目标的落实中差别很大。用了25分钟探究平行四边形对角线的长度与边长的关系，重心放在探究上，但最终结论学生也没有探究出来；巧妙地运用了勾股定理把结论得出，教学的重心则放在用两种不同的向量方法解决平面几何问题；B企图从引例得出平行四边形对角线的长度与边长的关系，也没有成功，但很快给出结论，花费时间相对较少，把重心放在用向量几何运算法解决平面几何的证明问题。比较这三者的教学，发现平行四边形对角线的长度与边长的关系是不适合探究的，也不是这节课的重点所在。教材选取这道例题的目的不是结论的探究，而是要通过本题的解决使学生明确用向量法解决平面几何问题的三部曲，同时掌握线段与向量的模以及向量的模与向量的数量积之间的关系。新课程的理念鼓励学生参与教学活动，鼓励学生进行探究，这是值得提倡的，但教师在实施中不能什么问题都去探究，而应有选择、有目的，围绕主题进行探究。
4.例题的选择与处理的反思
(1)例题的选取应突出向量工具的优越性
虽然向量法在某些平面几何问题解决中不是很简单，但在某一学段内，我们的教学是有特定的教学目标的。本节课我们要突出用平面向量解决平面几何问题，因此在教学时对例题的选取应充分考虑解决这个问题的平面几何方法和向量方法二者之间的差异。如果例题用平面几何方法解就很简单，那么学生自然不愿意接受新方法，不愿意用新方法来解决，因为新方法的接受是需要时间的。如果用向量法解比平面几何法简单，这样能激发学生求知的兴趣，对教学目标的实现从心理的角度讲是有好处的。再说从教学原理的角度讲，教学起初，学生在接受新事物的时候，例题的选取也都应以正面的例子为主，让学生慢慢体会，以至于爱用、会用。因此本节课例题的选取应突出向量工具的优越性。从这一点来看三位教师教学中的例题和习题，教师对例题、习题的选取更恰当一些。
(2)例题的选取应与学生的实际相结合
教学除了研究教学内容、教材、课标以外，还要研究教学对象——学生，因此在例题选取的时候应充分考虑学生学习的实际。学生是刚刚学完向量的概念和运算，用向量来解决平面几何问题也是首次，因此在例题选取的时候应充分考虑学生的这个特点，例题既能体现教学目标又能符合学生的实际。从这个角度来看，B教师例2（也是教材中的例2）难度较大，综合性又很强，与学生的学习实际有一定的距离，自然教学效果就会受到一定的影响。
(3)例题的选取应考虑学生的后续学习
向量能解决平面几何中各种问题，如数量关系（线段、角、比例），位置关系（平行、垂直、共点、共线、共圆）等。但例题的选择，以哪个为主，向哪个偏重，这也是应该有讲究的。例题和作业、练习题在本节课中不是只有一道题，而应该有四道左右。因此在教学时应进行认真的搭配，使学生能从不同的角度认识问题、解决问题。从三位教师选取的例题来看，和B教师的例题都是向量几何法，而教师的两道例题各有侧重，第一道例题选用向量几何法，第二道例题选用向量坐标法，这样不仅可以从两个纬度开阔学生的思路，而且又为后续向量法解决立体几何问题做好铺垫。
“同课异构”造就了数学课堂的百家争鸣、百花齐放。但如果教师都把重点放在“异构”上，放在寻找创新的教学策略、教学方法上，而没有深入研究教学的内容，没有定位好教学目标，教师将会在苦苦“异构”里找不到教的方向，而我们的学生也将会在教师的引领下像“猪八戒脚下的西瓜皮——滑到哪里算哪里”。
“同课异构”中的“同”是研究“教什么”的问题，是方向问题，而“异”是研究“怎么教”的问题，是技巧问题。“异”的作用是为了“优”，是为了解决“同”，因此“同课异构”的“同”的研究应重于“异”的研究，“异”的研究应围绕着“同”来进行。