陕西省榆林中学 719000
笔者研究发现圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线有如下美妙性质:
设F是圆锥曲线的一个焦点,A为F相应的准线L与轴的交点,过A任作一条直线与圆锥曲线交与两点M、N,过M作L的平行线交圆锥曲线与另一点P,如果AM=λAN,那么FP=-λFN。
下面我们在椭圆中论证上述性质M:
如下图,设椭圆的方程为:b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0),则A的坐标是( ,0),再设M(x1,y1),N(x2,y2),过A所作的直线方程为y=k(x- )(M、N不为椭圆顶点),则P的坐标为(x1,-y1),连P、N交X轴一点为E(x0,0)。
∵AM=λAN,∴A分MN的比为-λ,
∴-λ= = =- ,设E分PN的比为μ,
则μ= = =λ,∵EP=-λEN,∴要证明EP=-λEN,只需证明E与F重合即可, ∵x0=,将λ= 代入得x0= (1)
再将y=k(x- )代入b2x2+a2y2=a2b2,得:(b2+a2k2)x2- + -a2b2=0,x1,x2是其两根,
∴x1+x2= ,x1x2= 代入(1)得:x0=c,∴E与F重合,
∴FP=-λFN,当M、N为顶点时,P与M重合,A分MN的比为- =-,F分PN的比为,结论也成立。
综上在椭圆中结论成立,用同样的方法可证在双曲线、抛物线中结论也成立。
此结论美就美在,在此条件下P、F、N一定共线,且F分PN的比,正好是A分MN的比的相反数。
这一结论逆命题也成立,即:在圆锥曲线中,F是其焦点,A是F相应的准线L与轴的交点,过F任作一条直线与圆锥曲线交于PN(PN不平行L),过P作L的平行线交圆锥曲线另一点M, 若FP=λFN,则AM=-λAN,特别当PN∥L时,N与M重合,则过点N圆锥曲线的切线过点A。
此命题结果的前半部分用与前面论证的同样方法可证得,后半部分再以椭圆为例证明如下:
设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2(a>0,b>0),F(c,0),A( ,0),N(c,y0),则过N的切线的斜率为k=-,∴过N的切线方程为y-y0=-(x-c),令y=0,得: = (x-c),由于N在椭圆上,所以 =1- = ,∴ = (x-c),∴x=c+ = ,∴切线过A,∴结论成立。
论文作者:王锦锋
论文发表刊物:《素质教育》2018年7月总第277期
论文发表时间:2018/6/20
标签:圆锥曲线论文; 椭圆论文; 切线论文; 结论论文; 方程论文; 准线论文; 比为论文; 《素质教育》2018年7月总第277期论文;