高中数学知识教学设计的框架结构与案例研究_数学论文

高中数学各类别知识教学设计的框架结构与案例，本文主要内容关键词为：教学设计论文,框架结构论文,高中数学论文,案例论文,知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      数学教学设计是以数学学习理论、数学教学论等理论为基础，根据数学课程标准，运用系统方法分析教学内容和学生学情，确定教学目标，设计教学内容、教学策略和评价方案，以达到教学优化的过程.由此可见，教学内容的设计是教学设计的一个主要方面.而高中数学教学内容我们可以把它分为“概念”、“法则”、“数学方法”、“数学命题”、“例、习题”等不同类别的知识，所以教学内容的设计本质上就是对这些不同类别知识进行教学设计.笔者在高中数学课标教材中不同类别知识的教学设计的研究过程中，对“高中数学各类别知识教学设计的框架结构”做了专门研究，现将其研究成果介绍给大家，并附上相应的教学设计案例，希望对大家在进行教学设计时有所启迪和帮助.

      一、概念教学设计的框架结构

      本课题通过研究，获得了概念过程性教学设计的框架结构与思路如下：

      

      框架结构使用说明：

      （1）情境创设.要关注学生的已有知识经验和生活经验，对于一些数学原始概念还要了解教材在整个中小学对于该知识的安排与处理方式，力求从学生的已有经验出发，使所创设的情境达成新知识学习的自然导入，让学生通过相应概念的学习完善其知识结构，

      （2）背景素材.所选背景素材必须与相应概念密切相关，能够使学生在教师的启发和引导下顺利获得其概念.

      （3）抽象概括概念.教师应力求采用问题链的方式从背景素材中逐步启发和引导获得概念，让学生经历概念的抽象概括过程，了解概念的来龙去脉.

      （4）概念辨析.应从正、反两方面进行，力求学生达成对概念的透彻理解.

      [案例]“集合的概念”过程性教学设计

      我们知道，集合是一个原始概念，并且是数学学科中的一个非常重要的基本概念.由于它不能用其他数学概念来加以严格定义，所以它具有高度抽象性，学生很难正确理解其本质属性.因此，中小学数学教材分三个阶段来让学生直观感知、认识和理解集合的概念.小学阶段重在集合思想方法的应用.即让学生用集合的思想方法来理解有关数学知识，让学生直观感知集合思想方法的作用，不向学生介绍什么叫集合.如，在小学讲数的加法时就用了集合的并集思想；又如，在讲最小公倍数和最大公约数时又用了集合的交集思想.初中阶段则是用集合来定义一些数学概念，让学生意会有些数学概念可用集合来定义，同样也不向学生介绍什么叫集合.在高中阶段才向学生系统介绍集合的概念和集合论的相关知识，让学生明确集合是什么，并了解集合论在数学学科中的重要作用.于是，我们可对集合的概念做如下过程性教学设计：

      （1）情境创设.思考：“学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛；又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会这个班有多少名同学参赛？”

      这是学生熟知的一个学校生活的情境问题，解决该问题需要学生用集合圈图的思想，而运用集合圈图的思想解决问题是学生在小学阶段非常熟悉的一种数学思想方法，所以这个问题情境既关注了学生的生活经验，又关注了学生的已有知识经验.在学生用画圈图的方法解答之后提出课题，既自然又顺理成章.

      （2）给出背景素材.首先让学生回忆初中数学学习中所接触的集合实例，然后让学生看教材中所列举的8个集合实例，并模仿例举出一些生活、生产、科技领域、相关学科和数学本学科中的集合例子.

      （3）抽象概括概念.可通过如下三步来实现：

      第一步，研究组成集合的对象.

      通过组成集合对象的研究，让学生明白世间万事万物（如，数，物，人等等）都可以构成集合.

      第二步，让学生将所有集合按组成集合的对象的属性进行分类.

      通过这种分类让学生知道，不同类集合的对象属性不同，而同一类集合的对象属性相同，并且同一类集合中不同对象尽管其属性相同，但不同的集合中对象的特点却不相同.

      第三步，研究各个集合的对象特点，抽象概括出集合的概念.

      通过对各个集合的特点的研究，让学生明白同一个集合中的所有对象都具有同一个特点，从而获得集合的概念.对于集合概念的抽象概括应注意让学生用自己的语言来进行描述，这样可让学生亲身经历给数学概念下定义的过程，它对于培养学生的数学能力是很有好处的.

      （4）辨析概念.略.

      二、定理、法则教学设计的框架结构

      本课题通过研究，获得了定理、法则过程性教学设计的框架结构与思路如下：

      

      框架结构使用说明：

      （1）情境创设要关注学生的已有知识经验和生活经验，力求从学生的已有经验出发，使所创设的情境达成新知识学习的自然导入.

      （2）背景问题或事实.必须与相应定理、法则密切相关，能够使学生在教师的启发和引导下顺利发现或提出猜想.

      （3）发现或提出猜想，教师应力求采用启发和引导的方式进行教学，让学生经历定理、法则的获得过程.

      （4）推理与论证.教师不要包办代替，要让学生亲自动脑、动口和动手经历定理、法则的推理与论证过程，培养学生的推理、论证与说理能力.

      （5）定理、法则辨析.应从形与质两方面考虑，力求学生达成对定理、法则的理解和掌握.

      [案例]“正弦定理”过程性教学设计

      正弦定理揭示了一般三角形的边角关系，是解三角形的一个重要定理.学生在初中不仅研究过三角形边与角的关系，而且还学习了三角函数的定义和直角三角形的解法.因此，我们可这样来设计定理的获取过程：

      （1）情境创设.思考：在解直角三角形时，用到了什么数学知识？

      （2）给出定理、法则背景问题或事实.写出三角形的边角关系.

      

      第三步，提出斜三角形边角关系的猜想.

      （4）对所提出猜想进行推理与论证.

      这里要让学生动脑、动手亲自证明所得猜想，让学生经历猜想的证明过程，培养学生的推理论证能力，

      （5）定理辨析.略.

      三、公式教学设计的框架结构

      本课题通过研究，获得了公式过程性教学设计的框架结构与思路如下：

      

      框架结构使用说明：

      （1）提出问题要关注学生的已有知识经验，从学生的最近发展区出发，提出所要研究的问题，培养学生提出问题的能力，并且力求问题的提出自然.

      （2）推导公式.教师应放手让学生亲自动手操作，经历公式的推导过程，培养学生的探索能力与推理能力.

      （3）公式辨析.也应从形与质两方面考虑，力求学生达成对数学公式的理解和掌握，

      [案例]“点到直线的距离公式”过程性教学设计

      点到直线的距离公式是学生在解析几何中继两点间的距离公式学习之后的又一个用坐标法研究几何图形性质的重要内容，教材为了体现“课标”的教学要求“探索并掌握点到直线的距离公式”，采取了如下三步来编写该内容：

      第一步，以思考题的方式提出如何求一个已知点到已知直线的距离问题.

      该思考题的意图是要求教师在教学点到直线的距离公式时，不要直接告知学生我们今天来研究点到直线的距离公式，而是希望教师通过适当的问题情境的创设，引导学生提出“如何求一个已知点到已知直线的距离”这个问题.

      第二步，利用点到直线的距离的概念给出一种求点到直线的距离的自然思路，不给出具体推导过程，但给出了“试一试，你能求出

吗？”这样的旁白.

      教材这样编写的意图是希望教师在教学时，要引导学生根据点到直线的距离的概念获得求点到直线的距离的自然思路，从中提炼出解决求点到直线的距离的步骤，并让学生亲自推导公式，进一步让学生体会坐标法的思想，重点非常突出.而实际教学中，教师往往忽略了教材中的旁白，不仅学生不进行公式的推导，而且教师也不进行公式的推导.

      第三步，构造直角三角形，利用几何图形的性质给出公式的完整推导过程.

      教材这样做的意图是希望教师在教学该内容时，要培养学生“在用坐标法研究几何问题时，充分应用几何图形的性质可简化运算过程”的一种意识.实际教学中，教师往往把它作为教学的重点.

      根据以上对教材的编写方式及其编写意图的分析，我们可对点到直线的距离公式做如下过程性教学设计：

      （1）提出问题，为使问题的提出自然，首先应根据两点间的距离公式引导学生对初中平面几何中研究的距离问题进行回忆（两点间的距离、点到直线的距离和平行线间的距离），让学生知道在解析几何学习中有必要对点到直线的距离和平行线间的距离问题进行研究，然后根据对两种距离间的关系提出教材中所示问题：如何求已知点到已知直线间的距离.

      （2）推导公式.可按如下几步进行：

      第一步，引导学生根据点到直线的距离的概念获得求点到直线的距离的思路，让学生根据解题思路提炼出解题的步骤，并让学生按步骤实际操作经历公式的推导过程.

      第二步，引导学生对推导过程进行反思，让学生根据两点间的距离公式和推导过程提出利用整体代换的思想简化运算过程，向学生渗透整体代换的数学思想方法.

      第三步，引导学生对两种推导过程进行观察与分析，寻求进一步简化运算过程的思路与方法，提出教材中所给的第二种推导方法，让学生形成“在用坐标法研究几何问题时，充分应用几何图形的性质可简化运算过程”的一种意识，

      （3）公式辨析.略.

      [案例]“等差数列前n项和公式”过程性教学设计

      （1）提出问题.根据高斯算法提出问题：如何求等差数列前n项的和.

      （2）推导公式.可分为如下两个环节：

      ①提出猜想.可按如下几步进行：

      

      第三步，用倒序相加法证明猜想.

      （3）公式辨析.略.

      四、数学方法教学设计的框架结构

      本课题通过研究，获得了数学方法过程性教学设计的框架结构与思路如下：

      

      框架结构使用说明：

      （1）创设问题情境，既要关注学生的已有知识经验，又要关注学生已有的生活经验，力求从学生所熟知的已有经验出发，提出所要研究的问题

      （2）归纳或提炼方法，教师应引导学生从问题情境中采用特殊到一般的方法逐步归纳或提炼出数学方法，让学生经历方法的归纳与提炼过程，从中培养学生的数学地研究问题的能力.

      （3）方法理解.也应从形与质两方面考虑，力求学生达成对方法的正确理解和掌握.

      [案例]“数学归纳法”提炼过程的教学设计.

      我们知道数学归纳法是数学家们在解决数学问题的过程中提炼出来的一种重要的数学方法即数学归纳法来源于数学本身而不是来源于生活.因此，在引入设计时，应以数学问题为问题情境，学生在学数学归纳法之前已研究过等差数列的通项公式，同时学生还掌握了“合情推理”，而等差数列通过公式的推导过程就蕴含了数学归纳法的思想和原理.因此，在对数学归纳法的提炼过程设计时，可用等差数列的通项公式的推导过程为问题情境，引导学生运用“从特殊到一般”的方法从等差数列通项公式的推导过程中提炼出数学归纳法.最后，由于数学归纳法可以用“皮亚诺公理”予以证明，因此它是一个定理而不是公理，然而学生在高中阶段又未学习过皮亚诺公理，所以在教学时只能把它作为公理而不能把它作为定理来处理.但是它的“自明性”又不明显，加之学生很难理解其本质，因此，在进行数学归纳法本质教学的设计时，应从学生的生活经验中选取适当的生活问题（如，多米诺骨牌现象和鞭炮效应等）来帮助让学生理解数学归纳法的实质.即让学生弄清为什么只要解决了“递推的基础”和“递推的依据”两步就能肯定相应的与自然数有关的命题一定正确的道理.根据以上分析，我们可从等差数列的前n项和公式入手，通过如下几步提炼出数学归纳法，

      第一步，把上式改写成下式：

      

      第二步，把上式改写成下式：

      

      第三步，把上式改写成下式：

      

      第四步，把上式改写成下式：

      

      如果我们这样去教学数学归纳法，不仅可以让学生亲身经历数学归纳法的获取过程，而且也可让学生感受了数学家们提炼数学归纳法的思维过程.同时，还就可以让学生明白：数学归纳法不仅来源于数学本身，使学生形成正确的数学观，这对学生的创造能力和创新意识的培养都很有好处.

      五、例、习题教学设计的框架结构

      通过本课题的研究，获得了例、习题的过程性教学设计框架结构与思路如下：

      

      框架结构使用说明：

      （1）问题提出，任何一个问题绝不是空中掉下来的，它一定有一个产生过程.如果学生能了解问题是怎么产生的，让学生经历问题的提出过程，不仅可以深化学生对所学知识的理解，把握知识的运用，而且还可培养学生的提出问题和解决问题的能力.所以教师在教学中应力求让学生了解问题的产生过程.

      （2）分析题意.教师在讲解例、习题时，应教会学生读题、分析条件和结论，弄清条件与结论之间的关系，明确题意.

      （3）寻求思路.教师在讲解例、习题时，要引导.学生根据题意的分析，探寻问题求解的思路，把握问题解决的方向.

      （4）确定方法.教师在讲解例、习题时，要让学生依据解题思路选择问题解决的方法，并把方法程序化，将其方法转化为具体的解题步骤.

      （5）解决问题.在问题的解决时，教师不要包办代替，应让学生亲自动脑、动手和动口经历问题的求解过程.

      （6）解题反思.问题求解结束之后，教师可引导学生进行如下几方面的反思：

      第一，这个问题属于什么类型的问题？

      第二，可否对问题解决过程进行优化？

      第三，可否对问题解决方法进行优化？

      第四，解决这类问题的通性通法是什么？

      第五，问题可做哪些变式（包括：背景，条件，结论等）？并思考变式后的问题如何求解，以及对变式前与变式后的问题的解决思路与方法进行对比分析.

      现仅以问题的提出给出如下一个案例：

      [案例]设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，当时x∈[0，+∞），f（x）=2

-x.

      （1）求f（-2）的值；

      （2）求函数f（x）在（-∞，+∞）上的函数表达式.

      这是学生学习偶函数之后一个教师所举的例题.下面我们给出它的提出过程，供大家参考.

      学生通过偶函数的学习，由偶函数的性质得如下两个事实：

      ①如果知道一个偶函数在定义域内某点的值，那么就可求出定义域内与它对称的点所对应的函数值；

      ②如果知道一个偶函数在某个区间的函数表达式，那么就可以求出其对称区间的函数表达式.

      于是，我们可按如下几个步骤来引导学生自己提出以上问题：

      第一步，让学生思考，假设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，如果已知f（2）的值，我们可以求出该函数在定义内哪一点的函数值？（f（-2））.

      第二步，如果不直接告知f（2）的值，而是已知函数f（x）在[0，+∞）上的解析式（如，f（x）=2

-x.解析式最好是让学生自己给出），能否求出f（-2）的值？从而提出问题（1）.

      第三步，如果已知函数f（x）在[0，+∞）上的解析式，能否求出函数在（-∞，0）上的解析式？从而提出问题（2）.

标签：数学论文;  教学设计论文;  数学归纳法论文;  集合运算论文;  教学过程论文;