如何让边动起来，本文主要内容关键词为：让边动论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”.在研究初中平面几何时，我们基本上都是要证明角相等或边相等，所以经常都要运用到“化归思想”来进行转化，最为常见的就是把不在同一个基本图形中的两条边通过与第三边相等联系起来，并运用这种转化，就能发挥出数学中蕴含的辩证思维的魅力.数学方法之所以强有力，无论是计算方法之灵巧，还是推理论证之美妙，就思想方法而言，常常在于有意识地利用或创造了各种转化.
我们通常所用的转化手段与策略就是我们几何中最基本最主要的知识——全等、平移、旋转、对称.有一次在上《三角形的中位线》一课时，教材中给出的定理证明方法为中位线倍长法，难度相当大，学生无法理解；中点四边形的证明如何作辅助线，为什么这样做辅助线，学生理解不了，实质上就是边的转化，即利用了“化归思想”.这时我便想到这种化归思想的核心，就是边等和角等，甚至可以用于整个初中几何部分的题目.当时我给学生提出来时，学生都很振奋、很激动.通过一段时间对“边等角等”初步的研究和思考，我发现边相等更注重的结果，是一个静态的东西，我觉得应该改为“边动角动”更为合适，“边动起来”注重了线段转化的过程，并且是一个动态的过程，更符合新课标的理念.于是我发掘了“边动方法”，并开始着手以教材为突破口认真研究“边动方法”.恩格斯曾指出，从一种形式到另一种形式的转变，是数学科学的最有力的杠杆之一.这样，“边动方法”就应当是初中几何中的杠杆，是学生学习几何的桥梁.
“边动”是不是意味着完全没有规律且没有顺序地乱动呢？很明显答案非也.怎样才能产生“边动”？“边动”又能得到什么结论？我们如何运用“边动”？下面我从“因、果、用、思”四个方面对“边动理论”进行分析与阐述：
一、产生“边动”的原因
1.“全等”产生边动
（北师大教材初一下册P174想一想）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离.你能说明其中的道理吗？
分析：①根据“边角边”全等，得到△ABC≌△DEC→②边动AB=DE.
（北师大教材初三上册P202第12题）已知：如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上.求证：∠CEF=∠CFE.
分析：①边动AB=AD，AE=AF→②△ABE≌△ADF→③边动BE=DF→④边动EC=FC，从而命题得证.
2.“圆中半径”产生边动
如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.67.5°
分析：①DC与⊙O相切，且已知CO=CD→②∠COD=45°，∠PCO=90°→③边动OA=OC→④∠ACO=22.5°→⑤∠PCA=67.5°.
（北师大教材初二上册P278第33题）一辆卡车装满货物后，高4米，宽2.4米.这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？
分析：构造矩形ABCD和Rt△ODE，可采用两种方式来解决.一是定宽求高，二是定高求宽.此题的关键在于圆中的边动，已知直径为3米，半径即为1.5米，只要让半径动至斜边OD的位置即可.
3.“平行四边形内部结构”产生边动
模型一 平行四边形对角线互相平分
（北师大教材初二上册P102第2题）如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA=90°，OA=6cm，OB=3cm.求AC、AD的长.
分析：①平行四边形产生边动CO=OA=6cm，BO=OD→②勾股定理求出AD.
模型二 菱形（正方形）四边都相等
（北师大教材初二上册P275第26题）如右上图，四边形ABCD是正方形，E、F是分别是AB和AD延长线上的点，BE=DF.在此图中是否存在两个全等的三角形，它们能够由其中一个通过旋转而得到另外一个？
分析：①正方形产生边动和角动CD=CB，∠FDC=∠B=90°→②△CDF≌△CBE.
模型三 矩形的对角线相等
（北师大教材初二上册P113例1）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB=OA=4cm.求BD与AD的长.
分析：①边动AC=BD，AO=OC，BO=OD.→②边动AO=BO→③边动AB=AO=BO→④勾股定理求出AD.
4.“平移”产生边动
模型一 “平行四边形”对边平行且相等
如图，在
ABCD中，E，F分别是AB，CD中点.
求证：△ADE≌△CBF.
分析：①“平行四边形”产生边动AD=BC，AB=CD，∠A=∠C→②中点产生边动AE=CF.从而命题得证.
（北师大教材初二上册P120例1）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4，高DF=2，求腰DC的长.
分析：①把AB平移至DE，产生边动，得AB=DE，AD=BE→②等腰梯形产生边动DE=DC→③“三线合一”产生边动EF=CF=1→④勾股定理求出DC.
5.“旋转”产生边动
（北师大教材初二上册P139第17题）（1）任作一个梯形，绕其某条腰上中点顺时针旋转180°，请画出旋转后的图形；
（2）旋转后的图形与原图形构成什么图形？为什么？请说明理由.
答：平行四边形.
分析：①旋转产生边动，得AD=CE，DF=BC，AB=FE→②边动AF=BE，命题得证.
（北师大教材初二上册P276第28题）任意剪一个梯形纸片，利用对折的方法找到两腰的中点E，F按图中所示的方法过两腰的中点分别将含∠A，∠B的部分向里折，得到两个折痕（如图所示），沿折痕剪下①②，并按图中箭头所指的方向旋转180°.你能得到一个怎样的四边形？由此，你能发现关于线段EF些特性？
答：矩形.
分析：①旋转产生边动，AH=DG，BN =CM→②矩形边动GM=HN=EF→③EF=
（DC+AB）.
6.“对称”产生边动
模型一 “垂直平分线”
（北师大教材初三上册P201第4题）如右上图，已知DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，点E，G在BC上，BC=10cm，求△AEG的周长.
分析：①“垂直平分线”产生边动，EB=EA，GA=GC→②△AEG的周长=BC长.
模型二 “角平分线”
（北师大教材初三上册P38例题）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
（1）已知CD=4cm，求AC的长.
（2）求证：AB=AC+CD.
分析：（1）①“角平分线”产生边动，DC=DE→②∠EDB=∠B=45°→③边动，ED=EB=CD→④求出DB=4
cm，即可求出AC.
（2）①“角平分线”产生边动，AC=AE→②第（1）小问证明EB=CD，则命题得证.
二、边动产生的结果
1.边动产生等腰
（北师大教材初二上册P121第1题）如图，将等腰梯形ABCD的一条对角线BD平移到CE的位置.△CAE是等腰三角形吗？为什么？
分析：①“等腰梯形”产生边动，AC=BD→②边动BD=CE→③等腰AC=CE.
2.边动产生全等
（北师大教材初二上册P121第2题）如图，在等腰梯形ABCD中，E是AB的中点，△ADE与△BCE全等吗？为什么？
分析：①“等腰梯形”产生边动，AD=BC，∠A=∠B→②由AE=BE，可得△ADE≌△BCE.
三、实际综合运用
1.如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE.求证：AB=DF.
分析：①“矩形”产生边动和角动，AD=BC，∠DAF=∠BEA→②由AE=BC得第二次边动AE=AD→③△ADF≌△EAB→④边动AB=DF.
2.如图所示，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形.
分析：要想证明四边形ADFE为平行回边形，可以从判定方法的两组对边相等、两组对边平行、对角线互相平分来选择适当的方湛.从结构上看首先能排除对角线平分；再看平行能否成功，没有同位角、内错角，只有同旁内角，图中除了等边三角形的60°以外就没有其他的度数了，欲证同旁内角互补就很困难了；于是只剩下证明两组对边分别相等.欲证EA=FD，就一定要让这两条边动起来.EA仅仅在△EAB中，FD在△FDC中.很明显这两个三角形不全等.①“等边”产生边动，EA=AB，只需证明△ABC≌△FDC即可→②“等边”产生边动和角动，BC=FC,AC=DC，∠FCB=∠DCA→③角动，∠ACB=∠DCF.同理可证EF=AD，从而命题得证.
3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
（1）求证：△AMB≌△ENB.
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由.
（3）当AM+BM+CM的最小值为
+1时，求正方形的边长.
分析：（1）大家一看便知，运用等边边动和旋转边动就可解决.
（2）①由两点间线段最短可知.
②这一问运用边动就很简单了，旋转边动AM=EN，等边产生边动MB=MN.则要求AM+BM+CM的值最小，也就是要求EN+NM+MC的值最小，因此只要在同一条直线上即可.
（3）过点E作BC的垂线，构造两个直角三角形.边动EB=AB=BC.从两个直角三角形的公共边突破，便可轻松解决.
四、反思总结
综上所述，我认为“边动法”贯穿于整个初中平面几何，是几何证明与计算的基础与核心，是化归思想在初中几何中的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和增强学生的信心有很大的促进作用，培养了学生全面把握几何题的能力.
新课程标准指出，“图形与几何”的教学目标是“帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力.”事实上，在做几何题通常选用的是综合法或分析法，只要一步一步地去推理，就很有希望做出来，当学生掌握了“边动理论”以后，学生就无须从一个方向一步一步地向前走，可以从已知或未知的各个条件，快速地让边动起来，让整个题目的各个环节都动起来，彻底地活起来，站在全面的高度来重新看待几何题，这样学生就会感到无比开心，会觉得自己特别地聪明，也增强了学生学习数学的热情和信心.