数学教育需要重视的两个问题，本文主要内容关键词为：重视论文,两个论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
有学者谈到：“学校教育到了现在，真空虚极了.单从外形的制度上方法上，走马灯似地更变迎合，而于教育生命的某物，从未闻有人培养顾及.好像掘池，有人说四方形好，有人又说圆形好，朝三暮四地改个不休，而于池的所以为池的要素水，反无人注意.”[1]数学教育改革不仅是形式化、物化的课程文本的改革过程，更是精神、思想的改革过程，尽管后者的任务更艰巨.我们以中日甲午战争为例说明之.
今日回过头来看中国人心碎的一些历史，近代中国曾饱受帝国主义列强的欺辱，但是要论对中国经济破坏和贻害于百姓的程度，则以日本发动的甲午战争最为惨烈.北洋海军的总吨位以及武器装备丝毫不逊色于日本，北洋水师的舰长都是清政府开设的海军学校的高材生，其中有些人还曾被派到海军强国英国学习，但是整个北洋水师的家底是在湘军与淮军水师的基础上发展起来的，说到底不过是一种带有地方色彩的农民武装.旧水师的训练水准和文化根基，我们只要看其创始人曾国藩写的“水师得胜歌”就可窥视其藩篱了：三军听我苦口说，教你水战真秘诀：第一船上要洁净，全仗神灵保性命；早晚烧香扫灰尘，敬奉江神与炮神……反观日本方面，自明治维新后加强教育并推行义务兵制度，向民众灌输现代国家意识，提倡整个民族的文明开化，全面引进西方的科学、技术、政治制度乃至生活方式，而不是仅仅买进洋枪洋炮.铁血宰相俾斯麦1870年在欧洲见到日本留学生和中国买办官员这两类东方人之后说过，几十年后前者的国家将称雄东方，而后者只能任人宰割，甲午战争后中国苦难的历史不幸被他言中……[2]
在数学教育改革中，重视可见的材料与文本是必要的，但不要轻视精神的力量，否则，先进的文本受制于落后的精神理念支配，我们学习到的仅仅是个“空壳”.本文谈谈数学教育应重视培养学生有条件的质疑精神与让学生认识到理性不是万能的问题.
一、培养有条件的质疑精神
有条件的质疑指不完全迷信专家与书本，但也决不是无条件的怀疑一切，质疑要坚持用逻辑的或实践的标准审查怀疑的对象.质疑不是名利驱动，而是对真理的坚持.这些主要体现了“逻辑”“对普遍法则的追求”等基本要求.在数学教育中，学生质疑什么与质疑是否有道理，均不重要，重要的是他们自认为有根据地提出了质疑意见，他们提出质疑的目的是理性的，目的在于追求真理，而不是其它.
高斯（C.F.Gauss，1777.4.30—1855.2.23）是德国数学家、物理学家.高斯敬仰前辈大师，但他并不迷信任何权威.他认为，任何人都不是神，都不是真理的化身.他说：“如果其他人也像我一样不迷信权威，持久而深入地探索数学真理，那么，他们也将做出我所做的发现.”（E.T.Bell，Gauss，The Prince of Mathematicians，The World of Mathematics，Vol，1，P326）牛顿、莱布尼兹、欧拉和拉格朗日为高斯所敬重的数学大师，但他敢于对他们提出质疑，正因为高斯具有质疑精神，他才在数学发展历史上留下了富有意义的一页.维纳（N.Wiener，1894.11.26—1964.3.18）是美国数学家、控制论专家.维纳出于对真理的追求，他在学习与研究中充满怀疑精神，敢于标新立异.罗素是维纳求学生涯中的恩师，但维纳并不赞同罗素把感觉材料的最终性质看成是经验原料的观点.维纳富有质疑精神，并鼓励学生质疑，他培养了许多具有独立思考与创造能力的学生.数学家Y.B.Chavan的座右铭是：“怀疑明显的东西.”[3]沃尔夫数学奖获得者爱尔特希拥有对别人已经确信无疑的结论的浓厚怀疑意识，这是他在数学研究中取得斐然成就的重要原因.爱因斯坦的一至理名言是：“最重要的是——不要停止质疑.”[4]大哲学家笛卡儿甚至说：“要追求真理，我们必须在一生中把所有的事物都怀疑一次.”[5]教育家杜威曾经指出：“由平常的思想态度转变为科学的思想态度，伴随着停止想当然地接受某些东西，而采取一种批判的、探究的、测试的态度.”[6]雅斯贝尔斯也谈到：“科学的最大特性是怀疑和质问一切的精神，对事物进行谨慎而有保留的判断，并对这一判断的界限和适用范围进行系统检验.”[7]苏霍姆林斯基则充满感情地建议到：“每当我看到这种态度冷淡，毫无怨言，准备好耐心地倾听教师的讥讽和训斥而无动于衷的学生时，我的心里就充满了不平和愤慨.我的年轻的朋友，请你像怕火一样避免这样的事情吧！要为这种毫无怨言、默不做声、准备接受任何训斥的学生而感到可怕.这对一个人来说是最可怕的事.当你看到学生性格执拗、爱发脾气的时候应当感到高兴，应当容许学生对你的思想似乎抱着不信任的态度，而让他去检验，去研究吧.‘执拗性格万岁！’——我真想用最鲜明的字体写下这句话，并把它张贴在教员休息室里.”[8]由此可见，无论是数学家还是教育家，尽管看问题的视角不一致，但他们均指出了“质疑对科学研究的重要性”，质疑是科学研究的始点，培养创新精神，离不开对学生质疑思维的激发与保护.
学校与其它部门相比较，拥有着人力资源的不平等地位，决定着学校应在引领与推动社会文明上做出应有贡献，学校是占有知识、代表人类先进文化发展方向、净化莘莘学子心灵中的尘埃的场所，学校应成为“精神”的岛屿，这座岛屿无疑会受到世俗的洪水的包围与冲击，但不应被淹没.其中，学校的“精神岛屿”中就应该屹立着“质疑精神”.西方的著名大学都是鼓励质疑，并引以为豪的.有以拥有爱因斯坦、冯·诺伊曼和纳什等大师而著名的普林斯顿大学，其数学系的指导方针是重视独立思考和质疑精神的培养，他们中的许多教授在课堂上都不会给出完整的证明，认为学生将教授们所讲的内容背热，那不是本事，分数没有意义，尽快能够投入到科研之中才是本事.[9]在中外大学校长论坛上，英国牛津大学第一副校长威廉姆·D·麦克米伦教授面对记者提问时直言不讳地谈到：“英国学生与中国学生最大的不同点在于英国学生具有质疑精神，勇于挑战他人观点.”他还说：“英国人喜好自由辩论，喜好用自己的分析质疑他人观点，捍卫自己的说法.英国学生善于挑战他人的想法和他们在学术上的质疑精神传承了英国的传统文化.”美国斯坦福大学荣誉校长杰拉德·卡斯帕尔，在给本科一年级学生上课时，学生们经常提醒他“教授，你错了”，但这正是他最高兴的地方.他说：“学生们的天真让我意识到我的理解并不全面，然后再把讲义重写一遍.创新就要靠这种质疑的勇气.”他还认为：“鼓励学生有勇气质疑，对全世界大学来说都是最重要的.大学的主要贡献是学生，而具有创新精神、训练有素的学生是可以通过学校培养出来的.”
反观我国一些大学的今日，“一些与经济、权力资源直接相关的专业门庭若市.很多学生……只是以外在的世俗目标规划自己，……到头来不过得到一些浅显的实用知识和技能.”[10]“个别大学的办学开始显露出重物质轻精神、重操作轻思想的危险倾向.”[10]缺少了质疑精神的浓厚氛围，科研实力受到影响也就不足为怪了.以至有学者感叹到：“进入21世纪的一些大学，财大气粗，大兴土木，规模的确日见扩大.而我国大学在世界高校中排名之低下，甚至在亚洲名校排名之落后，实在令人汗颜.”[10]有人问王元院士，问陈景润在历次运动中都挨整，居住的是6平方米的小屋，甚至住过厕所，身体又一直不好，在极其艰苦的条件下，仍做出了“世界一流水平”的成果，现在我国知识分子生活待遇不错，办公硬件条件已达到国际一流水准，为什么反而出不来世界一流成果时，王元院士回答是精神问题，他认为一个数学工作者“脑子里名利太多，数学本身的空间就挤得比较少”[11].
在我国，质疑思维是需要的，但追求真理的质疑精神更需要.柏拉图的一句脍炙人口的名言是：“尊重人不应该胜于尊重真理.”亚里士多德的至理名言则是：“我爱我师，但我更爱真理.”牛顿在笔记本中也写道：“柏拉图是我的朋友，亚里士多德是我的朋友，但是我最好的朋友是真理.”由哈佛学院时代沿用至今的哈佛大学校徽上面，用拉丁文写着VERITAS字样，意为“真理”.哈佛大学校训的原文，也是用拉丁文写的，意为“以柏拉图为友，以亚里士多德为友，更要以真理为友”.校徽和校训的文字，都昭示着哈佛大学立校兴学的宗旨——求是崇真[10].著名的哥本哈根精神的其中一条就是鼓励为追求真理的争鸣与质疑.1922年6月，哥本哈根学派创始人玻尔赴德国哥廷根讲学.当时年仅20岁的大学生海森堡（后来获诺贝尔物理奖），也随其导师索末菲赶来聆听玻尔的报告.在报告中，他对玻尔的一些观点提出了强烈的质疑.为了真理，虚荣心算得了什么，玻尔这位诺贝尔物理奖获得者，不但不反感，反而在当天下午就邀请海森堡散步，以便能对问题做出深入讨论.后来，玻尔还邀请海森堡到哥本哈根工作过一段时间.海森堡后来回忆说：“我真正的科学生涯是从这次散步开始的.”
20世纪初，全世界数学专业的学生都得到同样的忠告：“打起你的背包，到哥廷根去.”[12]因为，在哥廷根有当时被赞誉为数学界亚历山大的希尔伯特.希尔伯特精神就是：把逻辑力量与创造活力结合起来；质疑与藐视一切陈规旧俗；用一种几乎是康德哲学的意向将本质的东西转化成它的反题，最充分地运用数学思想的自由等[12]！希尔伯特不能容忍数学课向学生灌输各种数学事实而不去教会他们怎样提出问题和解决问题.希尔伯特对所有数学分支的融会贯通是后无来者的，但他的“课”并非百科全书式地灌输，而是启迪学生的思维，点燃他们对数学的热情之火，他的教学并不是将内容讲得很细，他的目标是鼓励学生质疑，目的在于把学生们卷进追求真理、发现问题的进程.听他的课，学生们会觉得数学是“活”的，比起克莱因的那种精心准备、百科全书式的“完美”讲演来，大多数学生更喜欢希尔伯特的课.但德国盛极一时的数学中心，在法西斯的浩劫下毁于一旦.1933年希特勒上台，掀起了疯狂的种族主义与排犹风潮.政治压迫着思想，学术自由受到限制，追求真理的质疑精神在强权面前跑得无影无踪.大数学家希尔伯特在极其孤寂与抑郁悲愤中去世.美国却获得了无可估量的财富——几乎所有希尔伯特学派的成员都永久移居到了美国.德国哥廷根数学的衰落，是现代科学史上因政治迫害而导致科学文化倒退的一幕典型悲剧[13].
中华民族是智慧的民族，确有许多人拥有质疑的精神，但有时不仅不受到鼓励，有时还会受到压迫.特别是受到了一些混入学术圈的政客、学阀以至普通教师和家长乃至课程的无情压抑.中国传统是学而优则仕，而现在已演变为仕者则学优，具有权力的一些人，不仅干预学术，而且以圣者或神者身份训斥着拥有质疑精神的学者，拥有学术符号的一些人，以拥有某一领域的“真理”的权威而自居，指责新观点或新思想，忽视着指出别人思想中的问题，破而不立，与追求真理是两回事情.苏格拉底有一句名言是：“我一无所知，惟一比你们知道得多的是我知道我不知道.”曾经有人问玻尔：“你是怎么把那么多有才华的青年人团结在身边的？”他回答说：“因为我不怕在年青人面前承认自己知识的不足，不怕承认自己是傻瓜.”被称赞为人间天才的诺贝尔生理学奖获得者巴甫洛夫的警句是：“决不要以为自己什么都懂.无论别人怎样看重你，你都要有勇气对自己说：‘我是无知的’.”愿这些名言警句提醒着我们悉心呵护学者、教师、学生、孩子的质疑精神.否则，我们就在有意或无意间扼杀创新思维.“求同伐异的教育还易于养成善于揣摩、善于迎合的奴性.”[1]而且，“由组织所赋予的权力不能等同于心目中的权威，组织中的地位不能等同于心理上的威信，按照组织规范所进行的交往不能等同于心灵上的交流，组织上的服从不能等同于思想上的认同.”[14]，这样，我们在有意无意地造就着反理性精神“虚伪”的一代代.
质疑少不了批判，我国不缺少批判思维，在文化大革命期间，批判已达到了登峰造极的地步，批判已演变为人身攻击.而真正拥有质疑精神的学者，在学术上针锋相对，而生活上是朋友.在这方面，爱因斯坦和玻尔给世人树立了典范.爱因斯坦和玻尔是促进物理学革命的4人中的两位，但在学术上，他们观点截然不同，玻尔提出的光谱学理论视角下的精确测量是不可能的观点得到了爱因斯坦的质疑，而玻尔也质疑爱因斯坦所提的“一切活动，只要掌握了它所有的规律，都是可以预言的”.为此，两人争论了三十多年.但观点上的分歧并不意味着他们之间有深刻的敌意，相反，两个人都真诚地称颂对方，玻尔称赞爱因斯坦的公正坦荡态度和真诚谦虚的精神，而爱因斯坦也对玻尔的勇敢和谨慎倍加赞赏，称他是当代科学家中最伟大的发现家之一[15].
尽管自古希腊始，就有“人本质是理性”的说法，但实际上在人性中理性并不占主导地位.杜威说：“理智的方法命定永远处于比较软弱无力的地位，因为人们都有习惯和情绪而有些人有追求权力的冲动而另一些人有服从的冲动，而和这些习惯、情绪和冲动比较起来，理智的方法乃是人性中一个微弱的部分.”[16]显然，杜威已深刻地认识到人性的弱点.质疑精神受到层层关卡的制约，教育是其中里层的关卡，为了使学生的理性精神得以张扬，教育工作者要主动打开这层关卡.数学研究包含着猜测、错误和尝试、证明与反驳、检验与改进等活动，质疑精神在其中发挥了重要作用，数学教育需要适时揭示质疑精在其中所起的作用.另外，要注意唤醒学生对诸如在重力作用下地球上欧氏几何意义下的直线物是否存在等常识的质疑思维.要时常教育学生记住爱因斯坦的话——“对权威未经思考的尊崇是真理最大的敌人.或许有一天我们会比现在再多知道一些知识，但我们永远无法完全了解真正的大自然.”当别人向你的观点提出质疑时，要想起张景中院士的话——“正当人们觉得已把问题弄得越来越简单，越明白，到了最后关头之际，忽然发现一切变得复杂起来了.当人们以为自己手里这一次到底捉到了‘终极的真理’时，它泥鳅一样，一滑便从指缝中溜走了.”“即使在数学这样最精确、最严密的科学中，也存在这样的事物：人们对它的认识，永远也不可能达到绝对真理的地步.”[17]任何人不可能获得终极真理，怎能不允许质疑精神的存在呢？
二、让学生认识到理性不是万能的
数学是一种理性的精神，它不排斥异己，欧氏几何与非欧几何在数学中各站一席之地，而不互相排斥.真正的理性精神并不排斥与理性精神和谐共处的其它精神，认识到理性不是万能的是理性精神的另外一个侧面.数学的文明发展到今天，在数学中不再过于抬高任何事物，而且认识到任何事物都不是完美无暇的.数学大厦的建构，得益于公理化方法、逻辑推理和抽象思维，然而，人们已经认识到所有这些都是有局限性的.
M.阿蒂亚谈到：“公理是为了把一类问题孤立出来，然后去发展解决这些问题的技巧而提炼出来的.一些人认为公理是用来界定一个自我封闭的完整的数学领域的，我认为这是错的.公理的范围越窄，你舍弃得就越多，当你在进行数学抽象化时，你把你想要研究的与你认为是无关的东西分离开，这样做在一段时期里是方便的，它使思维集中.但是通过定义，你舍弃了你宣布你认为不感兴趣的东西，而从长远看来，你丢掉了很多根芽.”[18]冯·诺伊曼和维尔都曾担心数学的发展远离它的源泉，它就会变得不育[18].这些观点，使我们认识到，我们在运用公理化方法时，会有所得，也会有所失，找回失去的，就会开辟另外一片发展的空间，非欧几何的发展，充分说明了这点.
徐利治先生指出不要过分盲目信任抽象思维的“无限威力”.他说“抽象思维（包括产生数学模式的思维）往往是对实际存在的诸环节实行了不可分离的分离（即强行分离）.即一方面抓住某个本质，视之为特征，概括为普遍属性，形成为对象概念作为精确逻辑思维的出发点：另一方面彻底摒弃其它环节，使这些环节再也不出现在往后的形式推理的内容中.抽象思维的本质必然决定了对于变化的、双相的、相互渗透的实际关系结构的反映总是不可能完全精确的和面面俱到的.这就是人们不得不承认的关于抽象思维的不完全性原理.”[19]分析原因，徐利治先生认为：“凡数学概念都要求具有确定的一意性，故也必然是单相性抽象的结果.数学概念的单相性要求乃是不完全原理的由来.”[20]依据抽象思维的不完全定理，我们就不应过于无限抬高抽象思维的地位，对它的局限性要有清醒的认识.
歌德尔定理和科恩定理则说明了演绎推理的局限性.
歌德尔定理（一）：任何包含了自然数的形式系统，如果它是协调的，那么它的协调性不可能在系统内得到证明.
歌德尔定理（二）：在包含了自然数的任一形式系统中，一定有这样的命题，它是真的，但不能被证明.希尔伯特想建立一个具有协调性与完全性的形式算术系统的希望是不可能实现的了.
1963年斯坦福大学数学家科恩在一般意义下证明了存在这样的数学命题，它既不是正确的，也不是错误的，即，是不可判定的.由于这一工作，1966年科恩被授予菲尔兹奖[21].歌德尔定理和科恩的工作让我们看到数学演绎推理方法的局限性，引发了人们对数学推理的重新认识.
张景中院士指出演绎推理的局限性还在于：“它的逻辑功能只能把真理从一个陈述中传递到另一个陈述中，这种传递原则上不增加任何新的关于自然界的知识.”[17]
“尽管数学不能在自己内部圆满证明自己的协调性，但是数学自己能证明这种证明性.这表明了数学已发展到空前成熟而深刻的阶段，像一个成熟得能对自己做出恰如其分评价的成年人——他已经不再是不知天高地厚的毛头小伙子了.”[17]数学能自己论证与承认自己的局限性，这显示了理性的力量.理性使我们认识到理性的局限性，这更显示着理性精神的伟大.数学教育是孕育成熟理性精神的最佳载体.
总之，培养创新精神，自然离不开对学生质疑思维的激发与保护，而培养学生追求真理的质疑精神，在我国更有现实意义.另一方面，数学教育需要培养学生的理性精神，但要让学生认识到理性不是万能的，认识到理性的局限性，培养成熟的理性精神更是亟待解决的问题.