巧设问题情境，提高课堂效率——“一元二次不等式恒成立”教学案例与思考，本文主要内容关键词为：不等式论文,情境论文,课堂论文,教学案例论文,效率论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、案例背景
在近几年的教学实践中我们发现这样的现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难，太抽象、太枯燥，学得很苦，要不是升学，才不会去理会，况且将来用数学的机会很少.这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心.这样的心态怎能在学习数学的过程中有所创新呢？即使有所创新，也与学生所花的代价不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长.布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者.教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程.
在课堂教学中，教师应该创设适当的问题情境，来激发学生的求知欲.“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动探究，体验数学发现和构建的过程，完全符合《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）的要求.因此，“问题教学法”在高中数学的教学中尤显重要.
下面结合“一元二次不等式恒成立”的教学过程就高中数学问题教学法谈一些个人体会.
二、案例过程
1.创设情境
师：上节课我们学习了一元二次不等式在实数集R上恒成立的问题可以用数形结合法解决.若一元二次不等式不是在R上恒成立，而是在一个区间上恒成立，又该怎么解决呢？
2.例题剖析
例 不等式
-2ax+2-a≤0在x∈[0，2]上恒成立，求a的取值范围.
问题1：-2ax+2-a≤0在x∈[0，2]上恒成立，能否转化成-2ax+2-a≤0的解集为x∈[0，2]？
（学生议论纷纷，有的说能，有的说不能，我特意提问了一个持否定态度的学生）.
：-2ax+2-a≤0的解集可能比[0，2]大，比如-2ax+2-a≤0的解集为[0，4]也满足条件.
师：根本原因是转化不等价.-2ax+2-a≤0在x∈[0，2]上恒成立应该等价地转化成-2ax+2-a≤0的解集包含[0，2].
问题2：-2ax+2-a≤0的解集包含[0，2]可转化成-2ax+2-a=0的根有什么要求？不妨设-2ax+2-a=0的两根为
、
，且＜.
：应等价转化成≤0，≥2.
（然后我引导学生用求根公式求和，利用≤0和≥2求a的取值范围，由于过于复杂，3分钟后问学生结果时，都没能算出来）.
问题3：≤0，≥2这一条件，能否不直接用求根公式，而是通过其他途径间接使用呢？
（大多数学生都很茫然，想不出办法，因为这个知识的迁移有点难，我顿时有点灰心，是提的问题不好吗？一时也没有想出该如何引导，不过一会儿，有一个前排的女生发出细细的声音：根的分布.然后我就接着讲了下去，并且简单回顾了一元二次方程根的分布，令f（x）= -2ax+2-a，只需使
）.
问题4：我们已知道一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数是紧密联系的，刚才我们用了一元二次方程的知识解决了一元二次不等式恒成立问题，上述解法能否用一元二次函数去理解呢？
（考虑到这个问题不是很具体，我引导学生观察抛物线在[0，2]的部分与f（0）和f（2）的关系，为了便于观察，画了各种情形的图象，特别用红粉笔标出（0，f（0））和（2，f（2））两点，然后提问学生）.
：f（0）和f（2）一定有一个是f（x）= -2ax+2-a，x∈[0，2]的最大值.
师：-2ax+2-a≤0在x∈[0，2]上恒成立，也可以等价地转化成f（x）= -2ax+2-a，x∈[0，2]上的最大值小于等于0，而f（x）= -2ax+2-a，x∈[0，2]的最大值为f（0）或f（2），所以同样得到上述解法.
问题5：-2ax+2-a≥0对x∈[0，2]恒成立，求a的取值范围.
（由于有了例题的解法，这个变式题学生明显有信心多了，也有各种各样的想法，我提问了两种比较典型的想法）.
：用一元二次方程根的分布来解.
（我结合图象说明根的分布情况多样，解法过于复杂）.
问题6：为什么把“≤”改成“≥”后，端点就不能控制这部分抛物线呢？
：根据图象可知，由于抛物线开口向上，即使f（0）≥0，f（2）≥0抛物线也有可能在[0，2]的部分凹到x轴下方去.
师：他是从形上分析的，而从数上分析是由于-2ax+2-a≥0在x∈[0，2]上恒成立，等价于f（x）= -2ax+2-a，x∈[0，2]上的最小值大于等于0，而其最小值除了f（0）和f（2）外，还有可能为f（a）.
问题7：按照上述分析，
的解法能否进行改进？
师生一起得到正确解法如下.
解：设f（x）= -2ax+2-a，x∈[0，2]上的最小值为m.
若a≤0，m=f（0）=2-a≥0，解得a≤2，所以a≤0：
若0＜a＜2，m=f（a）=-
-a+2≥0，解得-2≤a≤1，所以0＜a≤1.
若a≥2，m=f（2）=6-5a≥0，解得a≤
，所以a∈
.
综上所述，a的取值范围是a≤1.
问题8：对比的解法、
的解法和正解，三个结果有什么关系？原因是什么？
（学生对这个问题特别感兴趣，马上动手在草稿纸上做起来，引导他们从集合入手，他们也很快发现了三者之间的包含关系.根据前面的分析，原因就很明显，由于缺少f（a）≥0条件弱了，范围大了，而是直接加f（a）≥0条件强了，范围小了.这时学生也有了心服口服的感觉了）.
问题9：上述两个例题只是不等号的区别，但解法却差别很大，能否有一个统一的解法呢？
3.方法规律总结
问题10：一元二次不等式恒成立问题的常用解决方法有哪些？
（由于时间紧张，没给学生太多时间，师生一起总结：分离变量法，数形结合法，比较解集法）.
三、案例分析
1.本案例课堂教学特点
（1）重视课堂提问的设计，激发学生的求知欲.
（2）充分调动学生学习的积极性和主动性，体现了学生的主体性.
（3）培养学生分析问题和解决问题的能力，努力养成严谨的数学思维习惯.
2.本案例教学反思
（1）巧设问题情境有利于激发学生的学习兴趣.
一元二次不等式恒成立问题是高中数学的一个重难点，方法很灵活，学生往往难以掌握.本案例旨在通过对一个例题的分析和发散，总结解决此类问题的一般方法.教学过程中通过问题引导学生积极思考，激发他们的学习兴趣，课堂教学基本达到预设的效果.以前在这个班上课课堂气氛不是太好，但是这一节课通过10个问题的探究，圆满完成了课堂教学任务，并且教师讲的并不多，学生的积极性和主动性被充分调动起来.学习潜能和学习兴趣被激发，取得了较好的教学效果.这给了我一次震撼：教师多讲，把知识强加给学生，是没有用的，只是教师的一厢情愿，学生并不会因为教师讲得有多卖力而买账.
（2）巧设问题情境有利于教学目标的达成.
在整个教学过程中，内容由浅入深，环环相扣，不仅使学生在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程，也使学生体会到了其中的数学思想方法.本节课的重点是一元二次不等式恒成立问题，目标是要掌握一元二次不等式恒成立问题的几种处理方法.很多教师认为直接记住每种题型所对应的方法，甚至列一张表让学生记，不必花太多时间安排学生探索研究.但这样不但内容本身学生不易掌握，教学目标难以达到，而且容易让学生养成被动学习的习惯.学生在自主探索、研究问题的过程中锻炼了分析问题和解决问题的能力.只有让学生亲身经历，才能比较深入地理解各种方法的内涵，应用才能得心应手，教学目标才能更好地实现.正所谓：问渠哪得清如许，为有源头活水来.
（3）巧设问题情境有利于培养学生的思维能力.
本堂课通过对“提出问题→分析问题→解决问题→归纳总结”流程的反复使用，不但使学生的知识得到升华，学习欲望得到提高，而且培养了学生严谨的思维习惯，通过问题情境的设置把部分问题错解与正解进行辩证分析，使学生对这类题型有了更深层次的理解，提高了他们思维的批判性.最后两个题型有了关联点，顺理成章地形成了一个知识体系，这也符合学生的认知规律.
3.问题教学法应注意的几个方面
（1）问题的设置是问题教学法的关键.
问题5的设置与剖析，使学生对这类题型有了系统的理解，可见问题的设置是问题教学法的关键.
问题的设置除了备课过程中的预设外，教师在教学过程中还要根据课堂的实际情况进行调整，如本案例的问题8是备课过程中没有准备的，但在上课过程中发现部分学生对错解理解不透，通过问题8的提出和回答使学生能够心服口服.
问题的设置还要特别考虑学生的实际，否则可能是事倍功半，如问题9的提出对学生难度较大，在备课中也没有考虑到学生的情况，所以在上课过程中加上最后时间紧张，处理得很仓促.如果问题9不提出，就会有时间认真总结，本堂课可能更完整，效果更好.
因此教师在备课时要考虑到课堂提问的设计，不仅要使问题具有可接受性和挑战性，更要使问题有利于教学目标的达成和重难点的突破.
（2）采用灵活多变的提问方法.
教师在提问过程中，不能拘泥于某一特定的模式，要善于灵活运用多种方式，通过教师与学生的密切配合，让学生的主体作用得到发挥.例如，让学生自由讨论、自由发言、不点名提问等可以活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性，提高学生的口头表达能力.遇到比较复杂的问题时，可以将此问题分解为几个比较简单的问题让学生思考，引导学生得出正确的答案，从而培养学生的分析与综合的思维能力.
（3）问题提出后，要特别注意引导学生.
引导学生的主要目的是使学生的回答与预设吻合.如问题1特意提问了一个持否定态度的学生，问题6回答后故意引导学生得出生7的错误解法.而且问题提出后还要努力创设学生研究、讨论、交流的环境.这样能培养学生探索和团结协作的精神.
（4）学生回答完问题后，应给出及时、合理的评价.尽可能地表扬、鼓励学生，否则容易扼杀他们的积极性.即使回答有误时，也要委婉地给出解释，并加以引导.
（5）课堂提问与时间限定之间存在矛盾.
因为必须给学生思考问题的时间，而且部分问题还要学生回答，所以课堂提问与时间限定之间存在着矛盾.另外，当学生的回答与备课的设想差别较大时，对教师的灵活应变能力要求比较高，教师也应该努力培养这方面的能力.