数学基本活动经验与数学欣赏，本文主要内容关键词为：数学论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
新近出版的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》），在课程总体目标中明确提出：“通过义务教育阶段的学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”[1]基本活动经验作为义务教育阶段数学课程的基本目标，与我们熟知的“双基”并列，这是数学教育研究上的一个重要进展，说明数学基本活动经验已作为数学课程和教学的核心概念提出，其地位和重要性被进一步确立.
史宁中认为“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”.[2]张奠宙等指出：所谓基本数学经验，是指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识.[3]
数学活动经验具有以下特征：
（1）个体性特征：数学基本活动经验是基于学生个体的主观认识，有非常鲜明的个体性特征，对于同一个数学活动，不同的学生有不同的感悟和体验，会获得不同的活动经验，学生已有的数学活动经验也因人而异.
（2）实践性特征：学生的数学活动经验是学生亲自或间接参与数学学习活动过程而习得的，其中包括基本操作、观察、实验、猜测、度量、验证、推理、交流、欣赏等活动获得的新的认识.
（3）现实性特征：数学活动经验是人们“数学现实”最贴近现实的部分，是人们在数学活动的过程中，从一大批生活现实步步抽象上升为数学现实.
数学欣赏是一种特殊的数学活动.首先，它是一种个人的主观认识，具有个体特征；其次，数学欣赏是一种特殊的数学实践活动，它不限于记忆、接受性的学习，而是一种发展性的思维活动；最后，数学欣赏，贴近学生的生活现实、科学素养、文化背景和艺术素质，能够在更深层次上推动数学思维、提高数学理解水平.
数学欣赏活动，依照其达成的目标，可以分为以下三类：
数学美感的欣赏活动，着重直观感知的数学美学特征；
数学文化的欣赏活动，涉及数学与人文意境的交融；
数学品位的欣赏活动，通过回味、反思的数学思维得到理性的升华.
数学活动经验，充盈于整个学习过程之中.正如春雨那样“随风潜入夜，润物细无声”.这就是说，数学活动渗透于整个教学活动的各个部分，几乎每天各处都有数学活动.然而，我们也可以有意识地集中设计一些活动，使其成为一个单独的教学板块.
同样，数学欣赏也是可以随时随地进行的活动，一声感叹，一句赞美，一丝微笑，都可以作为数学欣赏活动的体现.但是，数学欣赏也需要刻意经营，如同欣赏名画、观赏戏剧、诵读唐诗、聆听音乐一样，需要解说、指引、宣导.如何集中地组织一些数学欣赏活动，还是一个值得关注的新课题.
以下我们分别就初中数学的内容，就以上三个方面，具体设计几个案例，以供研讨.
一、数学美感的欣赏
数学美感，有许多诉诸直观的内容.常见的有美丽的几何图形、黄金分割、对称图形，以至现代计算机制作的美丽的分形图案.这些已经有很多资料可供参考，这里不做重复.我们这里提供三个案例，涉及“美妙”的欣赏.美妙，是一种发自内心的赞叹，一种拍案叫绝的愉悦.
案例1 重心：欣赏数学的美妙.
任意三角形的三条中线交于一点，称为重心.以下是一个欣赏活动设计.
（1）要求学生画任意一个三角形的三条中线，让学生发现三条中线交于一点.这是一个出人意料的结论.为什么“造化”如此安排几何规律？怎么会有如此美妙的数学结果？我们能够亲手发现一个大自然的规律，不大容易.重心的发现是一个难得的机遇.可以相信，如果不是事前预习或者课外阅读得知此结果，真的是第一次发现，学生内心的震撼可想而知.敬畏自然，感叹上苍的心情油然而生.这就是数学之美、数学之妙.
（2）接着，我们可以做实验.用一块质地均匀的三角形金属板，在三个顶点处拴上绳子.在一个顶点处让金属板自然下垂.然后在金属板上从该顶点画一条垂直于地面的线，这恰巧是中线.三个顶点画出的中线相交于一点，那就是这块金属板的重心.
于是可以问，为什么这条垂线就是中线？引导学生发现，由于重力的关系，当金属板下垂后处于稳定状态时，垂线两边的那两个小的三角形必须有相同大小的重量（面积相同），才能平衡.这可以复习“等底同高的三角形面积相等”的知识.这又是一个数学美妙的欣赏点.
（3）重心名字的来历.无论物理学是否已经学过“重心”的概念，都需要在数学课上加以联系，成为一种生活经验.我们可以设问，把这块三角形金属板用一个棍子支撑，那么棍子应放在何处？当然是重心.几何学的美妙，已在不言中了.
（4）最后，当然是要求证明.《课标（2011年版）》没有要求证明，可以在课外活动，或者拓展至教学中.借用面积方法，不难获得证明.优秀的学生可以学习多种证明方法.
（5）最后，我们可以延伸“重心”的概念，让学生画垂心、内心、外心，再一次获得几何学美妙的欣赏.
案例2 科学记数法——精确美的欣赏.
数学美感的欣赏，需要培养.精确与近似，就是一对矛盾.初中数学课本中有科学记数法一节，我们可以设计一个欣赏片断.
（1）精确与近似，大家已经有多种经验，从小学对数学计算的精确要求以及“估算”的知识，说明在某些情况下近似的必要性.
（2）近似数，有几位有效数字？精确到小数点后第几位？等等.
（3）今天我们来欣赏精确与近似的另一个意义：科学计数法.我们通常说，这两个数“差不多”大，或者“差别很大”，都是没有科学判定，只是跟着感觉走.
（4）科学记数法则给出了一个科学的表述.例如，我们将一个数字9872000000记作9.872×
，0.004538765记作4.538765×
.
（5）这到底是为什么呢？科学记数法的核心思想在于“数量级”的确定.现在有了科学记数法，关键在于看后面10的幂次.如果用科学记数法表示的两个数，它们后面10的幂次相同，我们说它们是一个数量级的，即差不多；如果彼此的幂次不同，就说它们不是一个数量级的；如果彼此的幂次相差4，就会说两者差好几个数量级呢！
数学的美妙在于精确.但是不精确或者不相同的数字，还是要有精确度区分，这就是数学不同于日常生活的美妙之处.
数学美不能仅仅诉诸视觉，而是要通过内心的感受，正如一首特别的乐曲、一幅抽象画、一首古诗，需要一定的解说才能审美一样.数学之美，需要教师点拨，通过内省的活动，才能获得美的感悟.
案例3 欣赏图形运动之美.
新课程改革以来，图形运动进入九年义务教育课程.我们可以设计如下的欣赏层次.
（1）生活中物体运动之美.我们常见的“平移与旋转”课堂设计，总是先以录像形式创设游乐园的场景：观览车、激流勇进、波浪飞椅、弹射塔、勇敢者转盘、滑翔索道等，熟悉的游戏项目，借此激发学生极大的求知乐趣，学生通过观察分类和以往的实际体验顺利感知了“平移”和“旋转”.接着，又以汽车方向盘、水龙头、推拉窗户等学生熟识的生活素材来检验学生获得新知的情况，进一步巩固经验的获得.最后，“上海音乐厅整体移动”的新闻，都是构成这类设计的华彩乐章.
但是，这样解说平移和旋转，乃是语文课的任务.数学之美，不同于语文之美.数学课程里的运动，不能停留在讲解什么是平移、旋转这样的名词含义，而是要研究图形运动下的不变性质.欣赏数学运动，离开了这个本质，数学美就荡然无存了.
（2）于是我们有第二层的欣赏活动，用几何图形的运动生成新的几何图形.
一个平面上的矩形，以其上的一条边作为旋转轴在空间中旋转，构成了旋转门的模型.如果完整地旋转一周，结果是一个圆柱体.
一个平面上的矩形，沿着和它一条边平行的（但不相同的）的直线作为旋转轴在空间中旋转，结果得到一个空心的圆柱体.
一块直角三角板，沿着直角边旋转一周，得到一个圆锥体.
一个圆，沿着圆外的直线旋转一周，得到一个自行车胎一样的圆环面.
这些活动，是欣赏几何图形通过运动以构成不同的几何体.但是，要注意，这些运动都是最简单的情形.一般的三维运动，例如地球绕太阳的公转运动，同时又有自身的自转运动已经相当复杂了，如果还要考虑月亮的引力作用，那就更复杂了.“三体运动”至今还是没有完全解决的天文数学难题.
（3）于是，我们在中学里只考虑平面上图形的运动.即图形只可以在平面上移动、旋转和反射，不得离开本平面.（例如，折纸过程就是会离开平面的，只是其折痕和移动的结果仍在本平面中）.这就是我们的运动教学限制在平面图上进行操作的缘故.很多课堂设计在平面图上标注了出租车和不同位置的两名乘客，让学生做一名出租车调度员进行实际操作.其实，这只是把出租车和乘客作为平面上的一个点来考察的结果.在一些设计中，把照镜子的成像说成是轴对称图形，也是混淆了3D（三维）和2D（二维）的区别.
（4）中小学数学课程列入“运动”的目的在于用运动来研究几何图形的变换.这里的运动只限于刚体运动，目的在于表达两个图形之间是否能够通过刚体运动得以重合，即进行全等变换.求平行四边形的面积，要将一个三角形搬到另一个地方，形状大小都不变，即是一例.
（5）以下是一个数学欣赏的活动设计.
在平面上，要想把一个点A变到另一个点B，需要什么变换呢？显然，只需要把点A“移”到点B处就行了.具体说来，就是沿着AB的方向，移动AB之间的距离.
现在我们在桌面上有两支一样长的铅笔.怎样移动其中一支铅笔使其和另一支铅笔重合？铅笔用有向线段表示，即要求将线段MN进行运动，使之和M′N′重合（如图1）.
这时，先运用平移，使得把M变换为M′，N变为N''.接着将M′固定，将M′N''绕M′旋转一个角度，就可以与M′N′重合.如果两条长度相等的有向线段方向相反，我们也只要将其中的一条掉一个头（即旋转180度），再移动一下也可以做到.
总之，对于两条长度相等的线段而言，无论如何摆放其位置，我们总可以从一条线段的位置和状态，通过平移和旋转两种变换，将其中的一条变成另外一条.
在平面上，最简单的平面图形之一是三角形.要移动一个三角形会怎样呢？
桌面上有两块相同的三角板，如何将一块“运动”到另一块呢？这相当于两个能够完全重合的三角形△ABC与△A′B′C′，由其中的一个三角形，如△ABC，变成另一个△A′B′C′.在课堂上可以操作.结果是：有用时要平移变换，或者加上旋转变换就可以做到，有时必须要加上反射变换才行.
例如，如图2所示，要将Rt△ABC变换为Rt△A′B′C′.我们先通过平移使C和C′重合，此时无论怎样旋转，都不能使得两个三角形重合.实际上，这两个三角形关于直线l是轴对称图形，通过反射变换可以使得它们重合.
一般地，平面上的刚体几何图形，尽管它可以处于不同位置，但是都能通过平移、旋转、反射三种变换及其组合，由一个位置变换为另一个位置.
这是抽象意义下的几何图形运动，但是可以借助铅笔和三角板进行操作，获得数学活动经验.
（6）运动和不变量.全等形经过刚体运动是不变的.在刚体运动下，线段的长度不变，角度不变，形状不变，因而面积不变.这样，计算面积时使用出入相补原理等其他割补的原理也就顺理成章了.要知道，我们割下来，搬过来搬过去，补上去，都是基于运动不变的原理.假如，割下来的三角形是冰做的，在搬动时融化了，割补方法还能有效吗？
关于不变量，下文还要谈到.
综上所述，有些生活情境可以创设，但只是铺垫.如何将之提升为数学知识，洞悉其本质，才是我们要努力的目标.这一关于运动的基本活动教学设计，用操作和欣赏的经历，体验到数学运动的本质所在.
二、数学文化的欣赏
数学文化的定义多得不可胜数，这里不去深究.大体上说，数学文化也就是人类文化中与数学有关的那一部分.
案例4 勾股定理的欣赏：人类数学文明的名片.[4]
晚近以来，勾股定理的教学，多从“发现”勾股定理着眼，从三边长为3，4，5的情形开始，连续使用四张、五张工作单，最后发现了勾股定理，大功告成.但是，我们是否可以换一种思路，以人类文明的进步作为主线，考察它的历史源流，看清数学是怎样对文明做出贡献的，在文化欣赏过程中进行教学呢？
（1）优秀的文化遗产（如绘画），直接欣赏（到博物馆去看）就可以了，何必非要发现它（临摹画一遍）不可？可以首先直接端出“勾三股四弦五”的中国古代说法，然后给出古希腊《几何原本》中的一般结论，并且说到古巴比伦泥板上的勾股数.由此欣赏人类文明的共性.
（2）赵爽用代数方法进行计算获得的证明，是人类利用数形结合方法获得的重要数学成果，这里有勾股图，也有代数计算.2002年的国际数学家大会在北京召开，使用的会标就是赵爽的勾股图.
（3）人类进入信息时代，为了探索外星人的存在，将勾股图作为对外联络的标志.这意味着，地球人认为，勾股定理的内涵是一切域外文明共有的标志性成果.
（4）勾股定理有许许多多的证明，都是有趣的故事.
（5）勾股定理延伸为费马定理.这是一只会下金蛋的母鸡.20世纪下半叶最重要的数学成就是费马定理最终获得证明.
这些欣赏活动，好像打开了一幅绚丽多彩的人类文明画卷，美不胜收，意识里充满遐想.这不啻一顿数学文化的大餐.
案例5 几何证明：人类理性文化欣赏.
平面几何的内容，曾经是无数数学家钟爱的课题.钱学森曾说：“我从北京师大附中的几何课中，知道了什么是严谨的科学.”随着时代的前进，过去那种芜杂、繁琐的证明题（如九点圆之类），早就离开了中学数学课程.但是演绎证明的框架在中国大陆的学校课程里一直保留了下来.2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》又进行了一次大删减，结果遭到强烈的反弹.《课标（2011年版）》又重新恢复了一些基本的逻辑框架，包括将平行公理作为基本事实而加以引用.这里我们以平面几何的学习为载体，欣赏理性数学文明的伟大与深刻.以下的设计，分为几个阶段.
（1）对顶角相等.这是第一个碰到的几何命题.说实在的，这个命题显而易见，无人怀疑，肯定接受.于是，“要不要加以证明”成为教学的重点.我们应该听取学生的想法，这样明显正确的命题为什么需要论证其正确性？如何论证？古希腊人采用“等量减等量”的基本事实作为论据，价值何在？展示《几何原本》的命题15，展示公理化的理性文明从“要不要证明对顶角相等”开始.
（2）三角形内角和为180度的证明.将三个角剪下来拼一拼算不算证明？为什么平行公理是绕不过去的基石？
（3）中位线定理.这是一个非要添加辅助线才能证明的“难题”.它的证明需要遵循固定的格式.为什么？这种演绎证明的价值何在？
（4）于是，让我们来体会徐光启翻译《几何原本》时所说的话：“此书有四不必：不必疑、不必揣、不必试、不必改；有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得.”他还说：“（此书）有三至、三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难.”他最后说：“易生于简，简生于明，综其妙，在明而已.”（《徐光启集·几何原本杂议》）.我们的教学能让学生感受到吗？这是数学欣赏的重要一课！
（5）进一步要问：中国古代数学，为何没有这样的证明？古希腊民主政治催生理性文明，中国古代的君王政治，倾向于将数学作为管理国家的技术，只求实用.以《几何原本》为代表的理性文明的火把，照亮了中国科学前进的步伐，也必将震动我们的心灵.
案例6 多项式的相乘与因式分解：欣赏“见时容易别时难”的古诗意境.
数学欣赏，有时只是一句话的事情.一种数学意境，可以被一句古诗穿越，犹如一杯新茶在手，甘醇清冽，意味无穷.这种例子已经不少，早先有徐利治先生用“孤帆远影碧空尽”的诗句描写无穷小量的极限过程.
本案例，可以在因式分解一段教学中用之.大家知道，两个多项式相乘是比较容易解决的问题，按部就班去做就是了.同理，两个素数相乘也不难做到，甚至只是按按计算器的事情.但是，要将一个多项式分拆为两个多项式，即因式分解，那就比较困难了.今日的密码学，会利用大素数难以分解的原理来作为“加密”和“解密”的一种基础.这种数学意境，不禁令人想起李煜的名句：“无限江山，别时容易见时难”.我们反过来说，因式分解之难，乃是“见时容易别时难”.如果课堂上用以解说，定会收到“画龙点睛”的妙趣.数学和古诗的意境之通，是数学欣赏中成本最低的途径之一.
三、数学品位的欣赏
数学并非只是一堆公式和技巧，数学特有的品位，需要不断回味，细细品尝，方觉其味无穷.我们常常看到一些数学教材里的“本章小结”，不过是画一张逻辑关系图，只有骨架，不见血肉，殊为欠缺.其实，在学习一个单元之后，能够将其中的内容进行回味，欣赏其特有的美学价值，往往会收到很好的效果.
案例7 算术方法和代数方法的比较：下河摸鱼和垂竿钓鱼.
学完“一元一次方程”之后，常常要将算术方法和代数方法做一个比较.这种比较当然可以是严谨地用数学语言进行表述，这里不赘述.我们觉得也可以用比较通俗的语言加以描绘，使人会心一笑，回味代数之妙，算术之巧.以下是一种回味欣赏的设计.
公元820年，花拉子米写了一本《代数学》.其中把“代数学”的本意说成是“还原与对消的科学”，也就是要把淹没在方程中的未知数x暴露出来，还原x的本来面目.这样讲，就把“方程”说活了.这好比要结识“朋友”就得通过别人介绍，借助中介关系.
试问：方程比算术好，到底好在哪里？让我们先看问题：“小明今年10岁，爸爸的年龄是他的3倍多6岁，求爸爸的年龄”.有两种解法：
①算术方法：爸爸年龄为3×10+6.这是从已知的小明年龄10出发，一步步接近爸爸年龄，最后得到答案36.
②代数方法：设爸爸年龄为x，则有方程：
=10，解之得x=36.这是从未知的爸爸年龄x出发，寻找和已知小明年龄的关系，根据关系解出未知的x，即通过对消方法，将未知数还原出来.
这一例子使我们看到用方程或算术解题的思维路线往往是相反的.打一个比方：如果将要求的未知数比喻为河中之鱼.那么算术方法好像下河去摸鱼，从我们已经知道的岸边开始.一步一步摸索着接近要求的目标，最后把鱼捉住.而代数方法却不同，好像是将一根鱼竿放到河中，鱼儿上钩，相当于和未知数建立了一种关系，然后利用这根钓竿（关系）慢慢地拉到岸边来，最终把鱼捉到.两者的思维方向相反，但是结果相同.
这种欣赏，只有在熟练地掌握了算术方法和方程方法之后，通过回味咀嚼，才能体会得到.
在欣赏数学的活动中，还有一类是数学思想方法的提炼、总结和反思.这里提供一个关于不变量数学方法的案例.
案例8 “变中不变”：不变量数学思想方法的欣赏.
科学的目的是在纷繁变化的大自然中寻求不变的性质和数量.物理学的动量守恒定律、能量守恒定律；化学中的化学反应方程式；生物学进化论中物种变异的分类依据，都是某种不变性质的探究结果.数学，则要在数量变化中寻求其中的不变因素.许多数学定理和数学运算律都是一种不变性的描述.
数学课程中最早出现的算术运算律是加法交换律：a+b=b+a，这是描写加法运算的不变结果；无论a、b怎样不同地变化，这个等式永远不变；几何课程中一个基本事实是“三角形内角和为180度”，无论三角形如何变化多端，其内角和不变，永远是一个定数.仅就此两例，便知不变性质在数学中的地位了.
这种思想在文学中的对仗里也反映出来了.试看毛泽东《长征》诗中的两句：“金沙水拍云崖暖，大渡桥横铁索寒”，从上句变到下句，整体是变了，但是许多内容没有变，名词对名词，动词对动词，“暖”恰好对“寒”.正因为有这样的不变性质，对仗才显得美妙.
文学有如此之美，数学中例子也不少.数学中的不变量，并非只有相同的数值，恒等的算式，全等的图形.不变性质是多姿多彩的.其中一个使用最普遍的则是方程变形下的“同解”性.
一个简单的一元一次方程有如下的变形：
4x-2=2x+4，①
整理得2x=6，②
于是方程有解x=3h，③
这三个式子，每一个都是等式，但是彼此都不相同.①式的左端是4x-2；②式的左端是2x；③式的左端是x，当然是不相等的.但是它们有一个共同点，即用3代x，各式都相等.换句话说，它们保持有相同的根x=3.
这使我们想起崔护的诗《题都城南庄》：“去年今日此门中，人面桃花相映红.人面不知何处去，桃花依旧笑春风.”
这首抒情诗非常优美.但是也可以从另外的角度去欣赏：人面可以隐去，桃花是不变的.上述求解方程的过程中，几个式子的原来面貌已经不复存在，剩下的只有桃花（x=3）依然“笑春风”，没有变！
函数概念体现变量之间的依赖关系，自然要谈变化.但是只说变，而找不到一定的规律，就没有什么价值了.细细想来，不同的函数纵然千变万化，但在变化之中总有一些“不变性”“规律性”，将之提炼出来，就是性质.比如某些变化会随着一个量的变化而有增有减、有快有慢，有时达到最大值，有时处于最小值，有些变化会有规律，或重复出现，或对称出现……这些现象反映到函数中，就成了单调性、最值、周期性、奇偶性等性质.知道了函数性质也就把握了函数变化的规律，掌握了函数的知识，领悟了函数的思想.
（本文写作过程中得到张奠宙教授的指导，提供大量案例，进行重大修改，特此致谢.）
张奠宙述评：
由于本文在我指导下进行，想谈谈我的一些想法.晚近以来，倡导的教学模式，仅限于“自主、合作、探究”，尤其强调联系学生的生活实际，创设生活情境.这自然也是对的.问题是，这三者只涉及学习过程的前半段，至于如何巩固、反思、升华，则基本不予关注.这显然是不够的.由此推及数学活动经验，也往往重在前期，即如何创设实际情境，进行操作的层面.然而，一个完整的学习过程，不能在探究发现之后就算完结，以后的反思巩固环节是必不可少的.本文则从数学欣赏的角度考察数学活动，意在加强学习过程的后半段，通过回顾、总结、升华，借以提升数学教学质量.
数学，作为一种文化现象，是需要欣赏的.譬如一幅画、一尊雕塑，一场戏剧、一段音乐，若能够展示其生成过程，甚至亲自参与，那当然好.不过对于大多数人来说，还是以欣赏为主.数学中的许多知识结构、思想方法、展现形态，同样需要欣赏.许多数学概念和数学思想，刚开始接触时没有办法说透，所谓体会和感悟，大多是在学习过程的后半段取得的.这就是说，只有事先已经将数学知识理解了，基本技能掌握了，然后静下心来欣赏一番，反刍消化，提炼升华，才能收到事半功倍的效果.
欣赏，是一种高级的思维活动.你要引起学生对数学的兴趣，只靠日常生活中浅薄的操作活动是远远不够的.欣赏，可以增进理解，也可以产生兴趣，而且是高级的情趣.
杜甫诗云：“会当凌绝顶，一览众山小”，回顾反思，欣赏数学的本真品位，借以提高学习者的数学素质，理应是我们追求的一项目标.