摘要 重视教材例题的教学同时，不要轻视教材上习题的充分研究与反思。解题之后在学生掌握基本解法的基础上，教师进一步启发、引导学生再去思考，去探讨使学生通过再思考，学会从不同角度、不同方位去审视、去思考，从而沟通知识之间的纵横联系，训练和培养发散性思维能力。
关键词 习题 研究 反思
教师若能抓住一切有利时机，经常有意识地启发、引导学生掌握基本解法的基础上，去再寻求更好的、更美的解法，这不仅有利于学生对基础知识的纵横联系和沟通，而且有利于学生对发散思维的训练和培养。在高三复习时在高考试题分析中有些题是源于课本的题型，我们重视教材例题的教学同时，不要轻视教材上习题的充分研究与反思。我在教学中，在研究课本习题方面做了一些尝试，下面试从研究的几个方面各举几例原题。
一、重视结论的应用推广，提高解题速度。
本题结合向量坐标表示和向量垂直的关系，来求参数的值。两个向量的共线及两个向量的垂直关系结论是这部分知识的重点内容。
高考应用原题1，
此题体现的是向量坐标表示及向量共线的应用。
教材原题2：设点P(x，y)在直线Ax＋By＋C＝0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x－x)＋B(y－y)＝0 。
本题采用代入法，用x、y表示C后，再代入直线一般式方程，经过整理得到直线方程的另外一种形式，我在教材中所提到的直线方程的五种形式的基础上补充为第六种，命名为“点系式”方程。
应用原题2，在求经过某已知点与已知直线平行或垂直的直线方程时，可以直接写出所求方程，如：经过点A(3,2)且与直线4x＋y－2＝0平行、垂直的直线方程分别可以直接写为4(x－3)＋(y－2)＝0、 (x－3)－4(y－2)＝0.
教材原题3：教材立体几何部分第3题，AB和平面α所成的角是θ，AC在平面α内,AC和AB的射影AB’成角θ，设∠BAC＝θ，求证：cosθcosθ＝cosθ。
本题的证明，对线面角、线线角的解答方法渗透性较强。同时，应用该题结论可以解决有关几个角度关联的问题，如：正四面体ABCD中，求侧棱与底面所成角，可以很快地根据公式列出cosθcos30°＝cos60°，然后求出该角的余弦cosθ＝。
诸如此类结论可以应用推广的习题，课本中比较多，应用推广比较典型的还有高中平面解析部分教材第5题，设A、B两点的坐标分别是(x,y)和(x，y)，直线AB的倾斜角是α，求证：|x－x|＝|cosα|，该题我将其结果变形后推广公式为|AB|＝ |x－x|＝，并应用其作为解答直线与二次曲线相交时的有关弦长问题的主要方法，这样既快又简单。总之，习题结论的应用推广，可以更进一步使学生掌握可数学教材，形成快速解答数学问题的一些技巧。
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二、一题多解、一题多变，加强知识联系，训练、拓广学生思维。
原题1：教材不等式部分，求证：|x＋|≥2 (x≠0)
学生很快可以应用均值不等式证明出来，在评讲该习题时，我将该题进行几次变化，增设如下几问：① 求函数y＝x＋的值域；② 指出y＝x＋的单调区间，并将其推广到函数y＝x＋ (a>0)的研究，即先求出函数y＝S(＋bv)，再用函数y＝x＋ (a>0)的单调性研究其最小值情况。这样一题多变，使学生在应用均值不等式进行证明时，联系到了函数的单调性、值域等知识点，并应用数学知识来解决实际问题。
原题2：求函数的值域。
教师首先肯定了学生的一种基本方法。运用这一基本方法可以解更一般的问题：，并指出这个解法是从正弦（或余弦）函数的有界性方位审视而获得的。是否还可以从其他方位，如以直线的斜率公式，复数的辐角正切方程理论（即判别式）等方位去审视而获得的不同解法呢？要求学生作进一步再思考。在教师的启发引导下，学生通过自己的深入思考，又获得了几种解法。
解题之后在学生掌握基本解法的基础上，教师进一步启发、引导学生再去思考，去探讨和寻求更好、更美的解法，其教学价值不是单纯为了使学生知识可以有多种解法，而在于使学生通过再思考，学会从不同角度、不同方位去审视、去思考，从而沟通知识之间的纵横联系，训练和培养发散性思维能力。当然，学生要能这样去再思考，并非一日之功，而必须在教师的引导下，经常性的加以训练和培养。
原题3：证明三点A(1,3)、B(5,7)、C(10,12)在同一直线上。
此题的证明，我们分析后应用了如下几种证明方法：
法一：由k＝k，而证明三点共线；
法二：求出直线AB的方程，代入点C进行验证，而证明三点共线；
法三：由x坐标计算出λ，由y坐标计算出λ，得到λ＝λ，从而证明三点共线；
法四：计算|AB|、|BC|、|AC|，得到|AB|＋|BC|＝|AC|，证得三点共线。
本题多种思路的解答，联系到了直线的斜率公式、两点式方程、线段的定比分点坐标公式、两点间的距离公式等知识点，也使学生掌握了解决三点共线问题的多种方法。一题多变与多解，可以通过一题的训练，联系到较多的知识点，拓广学生的思维，起到事半功倍的作用。
一个数学问题解决之后，教师有意识地去启发、引导学生再思考，并归纳总结基本解题规律，远比学生单纯地两道题的意义大。它的教学价值不仅使学生掌握了解这类数学问题的基本规律，而且使学生学到了由特殊到一般的数学思想方法，训练和培养了归纳思维能力。
课本习题较多，我们也要抓重点，并且从各个方面精心挖掘其潜力。反思和研究看起来用时间较多，但如果坚持下来会收到以一当十的效果。经常这样的反思与研究，不仅仅将知识、方法进行系统化，而且还能提高学习兴趣，而且在思考中不断进步。心动不如行动，快快试试噢。
论文作者:李伟
论文发表刊物:《中国科技教育·理论版》2015年第8期供稿
论文发表时间:2015/10/8
标签：直线论文; 解法论文; 学生论文; 方程论文; 习题论文; 教材论文; 向量论文; 《中国科技教育·理论版》2015年第8期供稿论文;