《九章筭术》正负术“无人”辨，本文主要内容关键词为：正负论文,九章论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号 N092：0112文献标识码 A文章编号 1000-0224（2010）04-0506-05
1 《九章筭术》正负术
《九章筭术》方程章提出了正负术，即正负数完整的加减法则。其大典本①、杨辉本②均作：
正负术曰：同名相除，异名相益。正无人负之，负无人正之。其异名相除，同名相益。正无人正之，负无人负之。
其中“无人”，清戴震改作“无入”[1，2]。笔者最近在《九章筭术译注》[3]中恢复了大典本、杨辉本原文，但是囿于篇幅，对几百年来在这个问题上的不同观点，没有充分展开，现进一步讨论之，以就教于方家。
《九章筭术》正负术的数学意义是明白无误的。名：名分，指称，此处即今之正负号。同名：即同号。除：这里是减的意思。前四句是正负数减法法则。“同名相除”就是相减的两个数如果符号相同，则它们的数值相减，即刘徽所说的“以赤除赤”，“以黑除黑”，则它们的数值（这里是绝对值）相减。即
（±a）－（±b）＝±（a－b），a＞b，
（±a）－（±b）＝
（b－a），a＜b。
“异名相益”就是相减的两个数如果符号不同，则它们的数值相加。异名：即不同号。益：增益，加。这里是说，符号不同的数相减，即以赤除黑，或以黑除赤，则它们的数值（这里是绝对值）相加。即
（±a）－（b）＝±（a＋b）。
“正无人负之”是说，正数没有与之对减的数，则为负数。即
0－（＋a）＝－a，a＞0。
（1）
“负无人正之”是说，负数没有与之对减的数，则为正数。即
0－（－a）＝＋a，a＞0。
（2）
后四句是正负数加法法则。“异名相除”就是如果两者是异号的，则它们的数值（这里是绝对值）相减。即
（±a）＋（b）＝±（a－b），a＞b。
“同名相益“就是如果相加的两者是同号的，则它们的数值（这里是绝对值）相加。即
（±a）＋（±b）＝±（a＋b）。
“正无人正之”就是如果正数没有与之对加的，则为正数。即
0＋（＋a）＝＋a，a＞0。
“负无人负之”就是如果负数没有与之对加的，则为负数。即
0＋（－a）＝－a，a＞0。[4][5]
当然，关于“正无人负之”、“负无人正之”与“正无人正之”、“负无人负之”看法，学术界不尽一致。比如关于前者，钱宝琮的解释是：设b＞a≥0，则b＝a＋（b－a），a－b＝a－［a＋（b－a）］＝－（b－a）。在中间的式子里a和a对消，＋（b－a）无可对消，改为负号，所以说“正无人负之”。
－a－（－b）＝－a－［－a－（b－a）］＝＋（b－a）。在中间的式子里－a和－a对消，－（b－a）无可对消，改为正号，所以说“负无人正之”。[6]
下面将看到，钱宝琮的理解基本上与戴震一致。
2 关于“无人”的不同看法
关于“无人”，自南宋杨辉起就有不同看法。杨辉本方程章“卖牛羊”问在“一法”之“无人”下注：“古本误刻‘无人’者，非。”[7]所谓“古本”即北宋贾宪的《黄帝九章筭经细草》，它是杨辉本的底本③。宋景昌据此认为“杨氏亦从‘入’”。钱宝琮认定戴震此处参考过《永乐大典》中所引杨辉本[8]。
1774年，戴震从《永乐大典》中辑录出《九章算术》，并加校勘，据其正本抄入《四库全书》，据其副本摆印，收入《武英殿聚珍版丛书》。戴震将正负术中的“无人”改作“无入”，并写了一个比较长的校勘记。他说：
“入”原本讹作“人”，下文及注并同。据注云“无人为无对也”，“无对”之说亦未分晓。释方程者，专为遇空位起例，而左右两行相对减，或正宜变为负，或负宜变为正，往往不得其义例。今考“同名相除，异名相异”者，如下实左右俱正，所减之余属左行，则去右行；属右行则去左行。其物品以正减正，余④ 在所去之行，为“正无入”；以负减负，余在所去之行，为“负无入”。以正从负为“正无入”，以负从正为“负无入”。负对空位而负数在所去之行，与以负减负同例。正对空位而正数在所去之行，与以正从负同例。此皆所谓“正无入负之，负无入正之”也。“异名相除，同名相益”者，如下实左右俱正，并为一数，则无分于左右。其物品以负减正，余或左或右，为“正无入”；以正减负，余或左或右，为“负无入”。以正从正为“正无入”，以负从负为“负无入”。正对空位，与以负减正同例。负对空位，与以负从负同例。此皆所谓“正无入正之，负无入负之”也。由是言之，在所去之行则其数无入，而或左或右，以与无分于左右，合为一行。因亦谓之“无人”。“人”字乃传写之误，明矣。今悉改正。[1，2]
显然，戴震反对刘徽的“无人为无对”之说，在将“人”改作“入”之后，认为“正无入负之，负无入正之”与“正无人正之，负无人负之”分别是附属于它们前面两句话的，是分别处理“同名相除，异名相异”与“异名相除，同名相益”的结果的，而不是分别独立于前面两句，处理0－（±a）＝a，a＞0与0＋（±a）＝±a，a＞0的情形的。
此后不久，汪莱、李潢就对戴震的改动提出异议。汪莱说：
“无人”，“人”不误。“无人”谓有空位也。“异名相益”，并右行于左行，则右行空。并左行于右行，则左行空。右行之正亦已无也，故负之。右行之负并于左行之正，左行本无负也，右行之负亦已无也，故正之。左并右亦然。“同名相除”，余在右行，而正正矣。若改归左行，左行本空位，无正也，而右行之正亦已无，故负之。余在右行，而负负矣。若改归左行，左行本无空位，无负也，而右行之空位亦已无，故正之。余在左亦然。正负者，物也，人物通称耳。[9]
显然，汪莱尽管不同意戴震将“人”改作“入”，但仍与戴震一样，将“正无入负之，负无入正之”与“正无人正之，负无人负之”分别看成是附属于它们前面两句话的。他承认“无人”就是有空位，但是这种“空位”是由“异名相益”或“同名相除”产生的。
李潢按云：
“无人”之“人”字原本作“人”，孔刻改为“入”，非是。
李潢以孔刻本⑤ 为底本，因此，他“于经、注作‘入’，仍孔刻也”。而在自己撰写的“说”中“作‘人’，遵原本也”。李潢说曰：
云“正无人负之，负无人正之”者，此条“同名相除”为例，正宜消正，今减行无正，则以正夺其位而为负；负宜消负，今减行无负，则以负夺其位而为正。云“正无人正之，负无人负之”者，此条“异名相除”为例，正宜消负，今减行无负，则以正夺其位而为正；负宜消正，今减行无正，则以负夺其位而为负。“人”为相对也。减行直空位为无对；或减行之数不足减，反减之，亦为无对，皆使消夺者居其位也。[10]
李潢将“无人”理解成“无对”，既认为减行中的空位为无对，又将减行中之不足减为无对。这与刘徽对“无对”的理解基本一致。
然而，汪莱、李潢的看法未引起后人的重视，自1963年的钱校本[11]，到2004年的汇校本增补版[12]，40余年间的各家校勘本均从戴校。
3 “无人”辨
正负术中的“无人”就是“无偶”，“无对”。人：偶，伴侣。《庄子·大宗师》：“彼方且与造物者为人，而游乎天地之一气。”《庄子·应帝王》：“予方将与造物者为人。”《庄子·天运》：“丘不与化为人。”郭庆藩集释引王引之云：“人，偶也。为人，犹言为偶。”[13]郭象关于这几处“为人”的解释都是错误的。《淮南子·齐俗》云：“上与神明为友，下与造化为人。”[14]“为人”亦训“为偶”。因此，《九章筭术》正负术中的“无人”不误。戴震认为“无人”系传写之误，改作“无入”，是师心自用。刘徽说：“无人，为无对也。”完全符合“无人”的本义。戴震没有理解“无人”的涵义，指责刘徽关于“无人”的解释，是没有道理的。这就是《九章筭术译注》恢复大典本、杨辉本原文的根据。
刘徽说：在“无人”的情况下，“无所得减，则使消夺者居位也”，也就是（1）、（2）式。
“无人”为“无对”。但是，在刘徽看来，不同符号的数也是“无对”。他说：“其异名者，非其类也。非其类者，犹无对也。”李潢关于“无人”的理解含有空位与不足减两种意义的论述，接近刘徽的思想。而戴震、汪莱、钱宝琮的理解都有失偏颇。
收稿日期：2010-08-03；修回日期：2010-08-23
注释：
① 明《永乐大典》（1408年）抄录的《九章筭经》卷8，已佚。此据由《武英殿聚珍版丛书》本与《四库全书》本《九章算术》对校并由戴震的校勘记恢复的戴震辑录本。
② 南宋杨辉《详解九章箅法》（1261）抄录的《九章筭术》，此据《宜稼堂丛书》本并由宋景昌的《札记》恢复的原文。
③ 杨辉《详解九章筭法》实际上是为北宋贾宪《黄帝九章筭经细草》作详解，因而含有《九章筭术》本文、魏刘徽注、唐李淳风等注释、贾宪细草及其杨辉详解5种内容。见：郭书春：《贾宪〈黄帝九章算经细草〉初探》，《自然科学电研究》Vol.7，No.4(1988.10)。
④ 此“余”，聚珍版讹作“负”，依下文及《四库全书》本校正。
⑤ 孔刻本通常称为微波榭本，是孔继涵于1777年或其后在微波榭刊刻的戴震重校的《九章算术》。戴震在此本中将自己的大量校勘冒充原文，并作了若干修辞加工。孔继涵又将此戴震校本冒充北宋秘书省刻本的翻刻本，并将刻书时间提前到乾隆三十八年（1773年）。上海古籍出版社1990年影印了微波榭本。