从运用图形计算器探索数列看掌上技术对数学教育的影响，本文主要内容关键词为：数列论文,计算器论文,掌上论文,图形论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
以创建国际知名的T[3]（Teachers Teaching with Technology）在职教师发展计划的美国俄亥俄州立大学教授Bert K Waits博士曾经说过：“我相信图形计算器（Graphic Calculator）——被有强烈求知欲的学生和有见识的教师所使用的图形计算器，对今天积极的数学教育改革来说是最伟大的力量。”也许这句话在我们看来不免过多地带有西方人的自信，但是它从另一侧面反映了掌上技术（Hand－Held Technology）对数学教育带来的不可忽视的影响。从最近的研究报告看，人们在这一点上达到共识，即掌上技术的使用能够为学校提供更好的数学教育。掌上技术的使用已经改变并将继续改变数学教学的内容和方法，使得学校数学更能体现以学生发展为本这一宗旨。它的使用使得数学课程中的某些内容变得不像原来那么重要了，某些内容变得比原来更加重要了，某些方法成为可能。它的使用也使得以学生为主体的自主探索活动日益成为重要的教学方式。
1 笔者最近在研究用图形计算器（TI－83）对数列进行探索和建模时，感到由于迭代法成为可能，因此从递归的角度研究数列，用递归形式的通项公式表示等差数列及等比数列变得必要和富有意义。请看下例：
例1 观察数列17，21，25，…的变化规律，并用图形计算器探索这一数列的第10项。
由观察，这一数列的第1项是17，从第2项开始每一项与它前面一项的差等于4。把这句话用代数符号表示出来就是：a[,1]＝17，a[,n＋1]＝a[,n]＋4，n＝1，2，…。这就是这一数列的递归形式的通项公式。我们用图形计算器去探索它的第10项时，利用的是同样的想法，即利用图形计算器首先把计算结果存入ANS的功能进行迭代。首先键入17（a[,1]），按回车（ENTER），这时计算器把17（a[,1]）存入ANS。然后键入ANS＋4（a[,1]＋4），按回车后计算器开始进行迭代。连续按回车，计算器连续显示出数列的各项（图1），其中第10项是53（图2）。
这一探索方式给我们一个启示，即过去由于只用纸和笔的运算使得迭代法难以实现，尽管我们已经给出等差数列递归特性的语言表述（一个数列从第2项起， 每一项与它前面一项的差等于同一个常数）但是并没有对递归思想给予揭示。掌上技术给了我们新的途径，通过这一途径，我们不仅可以用递归公式表示数列，而且可以用迭代的方法探索数列。这一思想和方法的引入，必将拓宽学生的思路，使之能够在更宽广的背景下理解和运用数列的知识。
我们可以对上述探索数列的方法进行改进，使得计算器在显示数列各项的同时也显示各项的序号。这需要我们进行两个迭代，即先键入｛1，17｝，按回车，这时计算器把1存入ANS（1），把17存入ANS（2）。然后键入｛ANS（1）＋1，ANS（2）＋4｝，连续按回车，计算器连续地给出数列的各项（图3），其中第10项是53（图4）。
也可以利用变量X进行迭代，即键入17STO→X及X＋4STO→X。 总之，学生可以用他们喜欢的方式去学习。看来，用递归公式表示数列有利于用计算器进行探索，不仅如此， 它还有利于对某些数列的研究， 如Fibonacci数列等。
2 人们越来越看重用多种表达形式对数学对象进行表示，这多种表达形式包括符号的、图象的、表格的及语言的。Bert K Waits称此为“四的原则”（Rules of Four）[1]。这一原则被数学学习心理学的研究所支持。“从数学学习心理的角度看，不同的数学思维形式、他们之间的转换及表达方式是数学学习的核心。”[2 ]但是如何实现对数学对象的多重表示及他们之间的转换呢？掌上电脑给了我们技术上的支持。它不仅能够帮助我们实现对数学对象的多重表示，使我们能够方便地利用数值法和图象法解决实际问题及轻松地在它们之间进行转换，而且可以使计算结果更加令人满意。请看下例：
例2 某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降到58元。这种电讯产品平均每次降价的百分率是多少（精确到1％）（案例选自高级中学课本《代数》）？
由题意，这种电讯产品的价格构成一个a[,1]＝174，n＝4，a[,4] ＝58的等比数列。如果我们把平均每次降价的百分离设为x，则公比为1－x，我们选择用函数形式的通项公式a[,n]＝a[,1]q[n－1]来表示它，则58＝174（1－x）[3]。不进行化简，我们让计算器直接以表格的形式（数值方法）给出x的值。首先按2ndTBLSET，设置TblStart＝0，△Tbl＝0.01，Indpnt：Auto，Depend：Auto。然后按2ndTABLE，显示X和Y的对应表。从表格中我们发现当x＝0.31时，Y的值57.161最接近58 （图5）。
为了使计算更加精确，我们可以重新设置TblStart＝0.300，△Tbl＝0.001，使表格更加细化。这时我们发现当x＝0.307时，y的值57.909最接近58（图6）。这一结果使我们满意，按题目要求我们取x＝31％
这是一种运用表格（数值）的方式表示数列的方法，是一种运用技术手段进行问题解决的方法，是一种尝试改进的方法。随着人们越来越多地运用技术手段，这种方法将会变得越来越重要。
下面我们用图象的方式表示出这一例题中的对应关系y＝174（1－x）[3]。
首先按Y＝键，输入Y＝174（1－x）[3]，然后按GRAPH 键作出图象，再按TPACE键跟踪X的变化得到所需之值，利用这种方式，我们不但可以看清变量的变化趋势，而且使学习过程充满乐趣（图7）。 如果愿意的话。我们还可以把这三种表示方式（符号、表格、图象）同时放在屏幕上（图8）。
3 利用图形计算器作Web图的功能实现对数列递归公式的研究及数列的图象表示。
我们通过下例看图形计算器对数列极限过程的表示。
例3 一个热气球在第一分钟时间里上升了25米的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升的高度的80％，这个热气球最多能上升多少米（案例参考美国代数教材）？
热气球在每一分钟时间里上升的高度构成一个无穷等比数列｛25＊0.8[n]｝。设热气球上升的高度为h，根据无穷等比数列（│q│＜1）的求和公式S＝a[,1]/（1－q），有h＝25/（1－0.8）＝125（米），即这个热气球最多能上升125米。
我们让图形计算器用图象显示出热气球在每一分钟时间里上升的高度，首先写出数列递归形式的通项公式u（n）＝0.8u（n－1），u（1）＝25。按GRAPH键作出图象，然后按TRACE键跟踪n的变化， 从图中我们看到热气球在第六分钟上升的高度是6.5536（图9）。 这一图象可以表示出n和u（n）的关系，并且从这一图象我们也可以看出数列以0为极限，但是如果我们想让图形计算器以动态的方式显示这一变化过程，这就要用到图形计算器另一种表示数列图象的功能，即作Web图的功能。 在FORMAT表中选择Web方式，按TRACE键和右方向键后我们就可以发现光标迅速地向0移动，同时屏幕上也给我们留下了显示数列变化过程的Web图（图10）。
通过以上简单事实我们可以看出，掌上技术的使用使得研究数列的递归公式变得重要了，数列的多重表示及转换成为可能，迭代法成为可能。
掌上电脑进入教学将成为不可避免的事实，它的便携性和可视性已经受到人们的青睐，同时它又拥有计算机交互几何、计算机代数系统以及能够和计算机联网的特点，这使得它的使用必将对课程内容、教学方法、教学观念带来深刻的变化，必将对学生理解概念、解决问题、建立数学模型及进行数学推理产生影响。事实上，在科技高速发展和日益密集的今天，没有技术手段的支持，我们就不可能给予学生具有时代气息的数学课程，就不可能建立“关注学生发展”的数学教育，或者说就教不好数学。