“数学思想”面面观（下），本文主要内容关键词为：思想论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
二、“数学思想”“数学思想方法”及其教学
以下再转向一般意义上的“数学思想”与“数学思想方法”.
（1）正如《数学的精神、思想和方法》这一书名，除去“数学的精神”以外，米山国藏在这一著作中也谈到了“数学思想”和“在整个数学中使用的重要的研究方法、证明方法”.总体而言，米山国藏对于自己所说的“数学的精神、思想和方法”持有一种层次性的观点.
以下就是米山国藏所提到的若干“重要的数学思想”：①数学的本质在于思考的充分自由；②传统思想与数学进步的关系；③极限思想；④“不定义的术语组”和“不证明的命题组”的思想；⑤构成了近代数学基干的集合及群的思想；⑥其他新思想；⑦高维空间的思想；⑧超穷数的思想；⑨数学家头脑中的空间；⑩数学的神秘性和数学的美.
具体地说，米山国藏所说的“数学的本质在于思考的充分自由”与“传统思想与数学进步的关系”在很大程度上与“创新的思想（精神）”直接相关联.另外，所谓的“学科相关性”可被看成米山国藏所提到的其余多个“数学思想”（“极限思想”“集合及群的思想”“其他新思想”“高维空间的思想”“超穷数的思想”等）的一个共同特征：它们被看成是由具体的数学分支直接引申而来.
笔者认为，后一特征清楚地表明：数学知识应当被看成“数学思想”的直接载体；进而，这又正是数学最为重要的一项文化价值，即除去具体的数学知识以外，数学学习也会对人们的生活方式与行为方式产生重要的影响，后者就是我们在及“数学思想”与“数学思想方法”时的一个主要涵义.
再则，这也是米山国藏在这一方面工作的又一重点，其主要关注的是数学的现代发展，也即主要聚焦于“现代数学”.与此相对照，我们主要是从基础教育的角度进行思考的，在此，有必要从更为广泛的角度谈及“数学思想”，应当更加关注与初等数学直接相关的各个“重要数学思想”，从而更好地理解“数学思想”的性质与作用.
例如，与“集合思想”相类似，基础教育中经常提到的“函数思想”“统计思想”等都能体现一定的研究视角，即主要体现了观察世界、认识世界的一种方式.另外，所谓的“代数思想”与“极限思想”看成是同一类型的，即主要体现了一定的研究方法——这事实上也就是人们何以更加倾向于将“极限思想”与“代数思想”称为“极限方法”和“代数方法”的主要原因.再者，与“高维空间的思想”与“超穷数的思想”相类似，历史上关于负数与虚数的引入同样也体现了一种新的研究立场，即基本观念的根本性变革.
由所说的“学科相关性”我们又可看出：就“数学思想”的把握与教学而言，重要的并不是如何能够“由上至下”（“由基本到一般”）逐一列举各个“数学思想”，而应更加重视针对具体的知识内容“由显及隐”揭示其中所蕴涵的“数学思想”，包括所谓的“数学基本思想（数学精神）”与“数学思想方法”.在下一小节中我们还将通过一些实例对此作进一步的说明.
就米山国藏所提到的各个“数学思想”而言，显然还包含一些超越各个具体数学分支的共有思想.例如，所谓的“‘不定义的术语组’和‘不证明的命题组’的思想”就是这样的一个例子.所说的“跨学科性”也是“数学基本思想”（“数学精神”）的一个重要特征，因此，我们可从这一角度对这些思想与“数学基本思想”的关系作进一步的分析.例如，在笔者看来，米山国藏所说的“‘不定义的术语组’和‘不证明的命题组’的思想”事实上可被看成“组织化、系统化的精神”的“具体化”与“操作化”.
当然，作为相反方向上的研究，我们也可以“数学思想”为基点去研究相应的“数学思想方法”.例如，与“‘不定义的术语组’和‘不证明的命题组’的思想”相对照，“公理化方法”显然就是人们更为熟悉的一个词语，而这又正是人们更加倾向于使用“方法”这一词语的主要原因，即更加突出了这一思想的方法论意义：我们不仅可以利用“公理化方法”对初步建立的数学理论进行组织并使之系统化，也可从抽象层面更为深入地去揭示隐藏在具体数学内容背后的数学结构，包括数学知识的内在统一性.这也就如希尔伯特所指出的：“一个理论的建立一旦成熟时，就开始服从于公理法方法……通过突进到公理的更深层面……我们能够获得科学思维的更深入的洞察力，并弄清我们的知识的统一性.”（克莱因：《古今数学思想》，第四册，上海科学技术出版社，1979，第100页）另外，法国布尔巴基学派关于“基本数学结构”的分析可以被看成后一方面工作的一个典范.
在笔者看来，应当强调的是，上述分析清楚地表明：尽管关于“数学基本思想”“（一般性）数学思想”与“数学思想方法”的区分有一定道理，但这种区分也有一定的相对性，与研究者的意图或主要关注有很大关系.
（2）就一般性的“数学思想”而言，我国数学教育界、特别是中学数学教育界应当说早就表现出了对于“数学思想方法”极大关注.这方面的具体成果可见“数学方法论”的相关论著.在此要指出的是，与波利亚的相关研究类似，中国的数学方法论研究在很大程度上主要集中于“问题解决”；然而，由于后者并非“数学活动”的唯一形式，因此，上述研究就具有较大的局限性.
例如，正如人们现已普遍认识到的，这就是唯一强调“问题解决”的一个明显弊病，即在很大程度上忽视了“提出问题的方法”，后者与“解决问题的方法”相比甚至可以说更加重要.例如，以下就是“问题解决”研究在现代的主要代表人物之一——舍费尔德在这方面的一个自觉反思：“现在让我回到‘问题解决’这一论题.尽管我在1985年出版的书用了《数学问题解决》这样一个名称，但我现在认识到这一名称的选用不是很恰当.我所考虑的是，单纯的问题解决的思想过于狭窄了.我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题——特别是由别人所提出的问题，而是帮助他们学会数学地思维.”（“What is all the fuss about problem solving”，ZDM，1991，No.1）
另外，除去“问题的提出与解决”以外，“概念（与命题）的生成、分析与组织”显然也是“数学活动”的一个基本形式.从而，这也就是我们在当前开展“数学思想方法”研究的一个重要方向.
例如，从后一角度分析，我们应特别重视“类比的方法”与“特殊化方法和一般化方法”，因为，它们不仅可以解决问题和提出问题，而且也可用于概念（与命题）的生成、分析与组织.
最后，还应强调的是，这应被看成我们从事“数学思想方法”学习和研究的一个基本立场，即“不应求全，而应求用”，也即我们应当始终立足于自己的教学工作，并以改进教学作为主要目标.显然，从这一立场分析，我们就不应过分强调关于“数学基本思想”“数学思想”与“数学思想方法”的层次区分，而应更加关注相关的认识对于改进教学究竟具有怎样的启示或指导意义.
正因为此，以下论述不再特别强调“数学基本思想”“数学思想”与“数学思想方法”的区分，而是将它们统一纳入“数学思想”这样一个概念.
（3）就深入揭示隐藏于具体数学知识背后的“数学思想”而言，这主要关系到认识的深度.
正如人们普遍了解的，“数感”是“数学课程标准”始终特别强调的一个“核心概念”；但在笔者看来，又只有联系相应的“基本思想”进行分析，我们才能很好地理解与把握这一概念的内涵.具体地说，“数感”在很大程度上是“数学化的思想”的具体体现，即在（单纯的）数量这一层面上反映了“应当重视事物或现象的定量分析”这样一个思想.也正由于这是“数学化的思想”在较低层面的体现，因此，与后者相比较，“数感”更多地包含一些“感性”的成分.这也就是指，除去“对于数（与数量关系）的较高敏感性”这一基本涵义以外，“数感”还带有一定的感情色彩，即是指乐意从事数（和数量关系）的分析，而不是感到厌恶或恐惧……
在笔者看来，值得指出的是，我们也可从同一角度对“模型的思想”作出理解；依据“抽象的思想”理解与把握所谓的“符号意识”；等等.
如果说“数学思想”的把握主要反映了认识的“深度”，那么，我们同时又应清楚地认识到这样一点：只有从较为广泛的角度进行分析，也即十分重视理解的“广度”，才能真正达到较大的“深度”，深入揭示相关知识内容所蕴涵的“数学思想”.
应当指出，以上所提到的理解的“深度”与“广度”正是中国旅美学者马立平女士所提出的关于“数学知识的深刻理解”的两个主要内涵：“我将‘深刻地理解一个专题’定义为：将这个专题与该学科的更多的概念上很强大的思想联系起来.……‘广泛地理解一个专题’，就是与那些相似的或概念性较弱的专题相联系.”（文[1]第116页）马立平指出，这可被看成中国数学教师与美国数学教师相比的一个主要优点，即较好地做到了对于“数学知识的深刻理解”.由此可见，对于“数学思想”的很好把握事实上也关系到对于“中国数学教育传统”的继承与发展.
例如，只有将自然数、小数与分数的运算联系起来加以考察，我们才能很好地理解这些内容集中体现的“数学思想”：①逆运算的思想；②不断扩展的思想；③类比与化归的思想；④算法化的思想；⑤客体化与结构化的思想.另外，也只有从更大的范围进行分析，并非仅仅着眼于“方程”的引进，而是将各个相关的内容（包括方程的引入、方程的求解、方程的应用等）都考虑在内，我们才能清楚地认识相对于“什么是方程”而言，“为什么要引入方程”（或者说，“方程究竟有什么用”）更为重要的，而且，在这一内容的教学中，我们又应始终突出这样一些“数学思想”：①抽象的思想；②等价的思想；③解决问题过程的必要分解与“序”的思想（优化的思想）；④算法化的思想.
（4）以下分析读者可以更好地理解“数学思想”的层次区分与主体的关注有很大关系.
如果我们所采用的是“化归的思想”这一词语，往往可以通过将新的、较为复杂和困难的问题转化成已经得到解决的、较为简单和容易的问题来解决问题；与此相对照，如果我们所强调的是“化归的方法”，这就意味着已将关注点转移到了如何才能实现所说的转化，例如，所谓的“分割法”“映射法”“求变法”显然都可以被看成“化归方法”的一些实例.
进而，所谓“化归法的核心思想”（“联系的思想”“变化的思想”）则又可以被看成代表了相反方向的运动，即由具体的方法重新上升到了一般性的“思想”.（详见文[2]第一章）
由此可见，与严格强调所谓的“层次区分”相比较，我们应更加重视思维的辩证运动，或者说，这是真正掌握各种“数学思想”（包括“数学基本思想”和“数学（思想）方法”）的一个基本途径，即我们不应停留于被动的“接受”，特别是，按照某个专家的论述或某部著作机械地认识各种数学思想，而是通过自己的深入思考，特别是具体与抽象、特殊与一般之间的辩证运动，真正获得亲身的感受并逐步建立起相应的“实践性智慧”.
就“数学思想”的教学而言，笔者以为，上述数学思想的“学科相关性”已表明：我们应当密切联系具体的知识内容进行“数学思想”的教学.更为具体地说，正是“数学思想方法不应求全，而应求用”这一主张的一个基本内涵，即我们应当努力做到以思想方法的分析带动具体知识内容的教学，从而真正做到“教活”“教懂”“教深”，不仅能让学生看到真正的数学活动，真正体现教学工作所应具有的“鲜活性和质感性”，也能帮助学生很好地掌握相应的数学知识，包括深层次的数学思想与方法.（文[2]第152页）
应当强调的是，除去与各学科分支密切相关的各个“数学思想”以外，上述的主张对于那些具有明显的跨学科性质的“数学思想”，所谓的“数学基本思想”同样也是适用的.例如，在笔者看来，这事实上也就可以被看成以下一些论述的核心所在：“数学思想是数学教学的核心和精髓.”（文[3]第14页）“数学基本思想应当成为学习掌握各部分数学内容的魂，成为形成数学概念、建立数学知识体系、思考和解决问题的主线.”（文[4]第41页）
当然，相对于较为具体的数学思想，特别是数学（思想）方法而言，那些较为抽象的“数学思想”、特别是“数学基本思想”的形成是长期的过程，并且是一个潜移默化的过程；这也是新一轮数学课程改革特别强调“数学思想”的一个主要作用，即促使广大的数学教育工作者、特别是一线教师更为清楚地认识帮助学生掌握“数学思想”（包括“数学基本思想”和“数学思想方法”）的重要性，并进一步在教学中自觉地加以落实与强化.
就后一方面的具体工作而言，我们应十分重视学生认知发展水平的分析，从而有针对性地采取较为恰当的方法，如由“深藏不露”逐步过渡到“画龙点睛”，由“点到为止”逐步过渡到“清楚表述”，由“教师示范”逐步过渡到“主要促进学生的自我总结与自觉应用”，等等.
做好上述工作的一个必要前提，即教师自身对“数学思想”的很好理解与自觉应用，包括切实加强这方面的理论学习，在教学中很好地发挥言传身教的作用.值得指出的是，这也正是“文化研究”的一个重要结论，即应当明确肯定“范例”对于“文化继承”的特殊重要性.也正是在这样的意义上，我们可以断言，如果一个教师自身缺乏对“数学思想”的很好了解与深入思考，更缺乏这方面的切身体验以及由此带来的深刻情感，根本不可能帮助学生很好地理解与掌握“数学思想”.