山东省寿光市上口镇第一初级中学 262700
推理是一种数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理思想贯穿于高中数学的整个知识体系,是新课标教材的亮点之一。推理一般包括合情推理和演绎推理。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程;演绎推理是逻辑证明的工具,人们可以选取确实可靠的命题作为前提,经过推理证明或反驳某个命题。
以下介绍演绎推理证明问题的基本技巧:
题型一:应用演绎推理概念分析问题
例1:下面几种推理过程是演绎推理的是( )。
A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质
C.某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过了50人
D.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+)(n≥2),由此推出{an}的通项公式
解析:根据演绎推理概念可得B是类比推理,C、D是归纳推理。
点评:本题考查演绎推理的概念,常见演绎推理有假言推理和三段论推理等,其本质是由一般性结论得出特殊命题成立的一种思维方式。
题型二:利用三段论推理证明
例2:用三段论证明函数y=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数。
分析:证明本题所依据的大前提是增函数的定义,即函数y=f(x)满足:在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2,若x1<x2,则有f(x1)<f(x2);小前提是在(-∞,1]满足增函数的定义,这是证明本题的关键。
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证明:任取x1、x2∈(-∞,1],所以x1<x2,f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(-x22+2x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)。
因为x1<x2,所以x2-x1>0。
又x1、x2≤1,x1≠x2,所以(x2+x1-2)<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)。
于是,根据“三段论”,得y=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数。
点评:三段论推理是演绎推理的基本类型的大前提是一般性的规律,小前提是具体事物的性状。由于一般包括了个别,凡是一类事物共有的属性,其中每一个别事物必然具有。所以当前提正确、推理形式合乎逻辑的时候,推出的结论必然是正确的。
例3:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1、x2…xn都有
≤。
若y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,那么在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为______。
解析:由题意知,满足 ≤
,又y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,则sinA+sinB+sinC≤3sin=3sin =。
点评:根据一般性的结论推理特殊函数的结论,属于三段论。
例4:“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=( )x是指数函数(小前提),所以y=( )x是增函数(结论)”,上面推理错误的是( )。
A.大前提错误导致结论错
B.小前提错误导致结论错
C.推理形式错导致结论错
D.大前提和小前提错误导致结论错
解析:应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提。本题中指数函数的单调性是大前提,当指数函数为增函数时,底数是有条件的,故大前提错误。
大前提应改为当0<a<1时指数函数y=ax是减函数,故结论也改为y=( )x是减函数。
点评:本题考查三段论推理的应用,注意大前提指的是一般性的原理,必须是正确的。
题型三:利用传递性关系推理
例5:某校对文明班的评选设计了a、b、c、d、e五个方面的多元评价指标,并通过经验公式S= + + 来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好。若某班在自测过程中各项指标显示出0<c<d<e<b<a,则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位而使得S的值增加最多,那么该指标应为_____。(填入a、b、c、d、e中的某个字母)
解析:从分式的性质中寻找S值的变化规律,因a、b、c、d、e都为正数,故分子越大或分母越小时S的值越大。而在分子都增加1的前提下,分母越小时,S的值增长越多。因为0<c<d<e<b<a,所以c增大1个单位会使得S的值增加最多。
总之,做演绎推理题目必须紧扣题干内容,以题目中的陈述为依据,根据形式逻辑的推论法则推出正确结论。题中的陈述是被假设为正确的,不要对其作出怀疑或否定,给自己解题带来不必要的干扰。对于演绎推理题目中比较难的,多种条件相互制约或是数理逻辑的题目,可以忽略其具体情境,在草稿纸上抽象出其数理模型,加以逻辑运算,这样比较容易得出结论。
论文作者:赵玉霞
论文发表刊物:《教育学》2016年9月总第104期
论文发表时间:2016/10/25
标签:函数论文; 大前提论文; 结论论文; 小前提论文; 指数函数论文; 三段论文; 本题论文; 《教育学》2016年9月总第104期论文;