几何图形三要素——欧拉公式的发现论文_王国昌

摘要：曾经“人教版《全日制普通高级中学教科书（试验修订本?必修）?数学》第二册（下А）第九章9.9节研究性课题：多面体欧拉公式的发现。”是一个很好的课题。但教材中也仅限于对公式的认识、应用等一些几何学中的基本属性，而忽略了它所反映的图形结构中长短曲直等更本质的性质。几何学中的欧拉公式，曾经是数学史上的光辉业绩之一。遗憾的是又被现行的诸多中学数学教材所遗弃，实为可惜！现在把它呈献给读者，以引起读者（尤其是师生）对这项文化遗产的关注，或许，读者可以从中领悟数学之美妙，从而激发探究数学的兴趣。

关键词：平面几何图形（连通图①）、简单多面体②、欧拉公式

①连通图是指从图中任何一点出发，沿着边可到达任何顶点的图形.

②没有空洞的多面体称为简单多面体，或者用拓扑学解释，对于一个多面体的表面能够连续地变形为一个球面，这样的多面体就叫做简单多面体.

正文：

初等数学是人类几千年积累下来的宝贵精神财富，中学生不仅应该继承这笔遗产，而且要以它为载体，培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学建模能力和表达能力等，陶冶美好情操，培植文化素养。在几何学中，任何图形都是由点、线、面三个要素构成。因此，我们有必要探究这三个要素之间的关系，以展示初等几何的美，披露简单图形背后的深刻内涵，引发学生探索的兴趣，增强学习数学的积极性。

一、探究数学、美的享受

数学——无声的音乐、无色的图画.人们喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；人们喜欢图画，因为它描绘人和自然的美.那么，我们应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像画一样美.它在更深的层次上揭示自然界和人类社会内在的旋律，用简洁、漂亮的定理和公式描述世界的本质。哲学大师柏拉图有言:“数学语言是公民资格的前提”。自然语言是人类交流信息的工具，数学语言是描述人类思维顺序的工具.前者是具体的语言，后者是形式的语言，它们的共同属性是描述事物。当我们需要把客观事物的认识精确化的时候，必须使用数学语言。1965年诺贝尔物理学奖获得者菲曼(R·feynman)曾说:“要是没有数学语言,宇宙几乎是不可描述的！”

各个不同的民族有不同的自然语言，而数学语言则是人类共同的语言。所以，各个国家都要求每一个人从小学到中学都要学习数学，和必须学习本民族语言一样。今天，通过探究早期的数学，让我们欣赏数学的美。

二、介绍欧拉，引入课题

著名数学家欧拉（Euler，1707—1783），瑞士人.在数学家贝努利（Bernoulli）的赏识下开始学习数学，16岁就获硕士学位，后来毕生从事数学研究，是数学历史上最“高产”的数学家之一.在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇未发表的手稿，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首先用i表示虚数单位.数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想、欧拉定理等有很多，其中如欧拉公式的一个特例eiл+1=0，将数学中的五个常数0、1、i、e、π联系在一起，反映了数学中奇异美.今天我们沿着他的足迹研究几何图形中的三要素:点、线、面之间的数量关系.

三、依图填表、发现规律

附图1：平面几何图形（连通图）

上述两个欧拉公式是描述平面几何图形（连通图）和简单多面体的顶点数、面数（区域数）、边数（棱数）之间特有的重要公式，它的重要性更体现在公式发现的数学思想方法。（公式的证明更加精彩，体现一些欧拉创新的思想和方法。若加上公式的证明篇幅过长，故后续介绍。）

参考文献：

1.桂文通. 研究性学习:平面中的欧拉公式[J]. 数学教育研究(1):43-45.

2.杨学枝. 平面几何中的欧拉公式和欧拉不等式[J]. 数学通讯：教师阅读, 2014(8):40-41.

论文作者:王国昌

论文发表刊物:《教育学文摘》2019年8月第15期

论文发表时间:2020/1/15

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