再论机动车辆保险的精算模型及其应用，本文主要内容关键词为：精算论文,及其应用论文,模型论文,车辆保险论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
在机动车辆保险中，常常用混合泊松分布来建立赔付次数模型。若用N(t)表示某份保单在时间[0,t]内赔付发生的次数，用Π(k,t)表示N(t)发生k次赔付的概率，考虑模型
其中U(·)是随机变量Λ的分布函数，称为结构函数，称为结构函数。当Λ为连续型随机变量时，模型(1.1)称为参数混合泊松模型，而不同的结构函数对应着不同的混合泊松分布。经典的参数混合泊松分布是负二项分布（即U(·)为伽玛分布）和泊松－逆高斯分布（即（即U(·)为逆高斯分布）。
由(1.1)式可知，E[N(1)]=E(Λ)。
与参数混合泊松模型相对应的是非参数混合泊松模型，Siman(1976)给出的非参数混合泊松模型的定义为：
其中Σ[m,j=1]p[,j]=1,p[,j]≥0,m是同质风险类的数目。
显然，(1.2)式是(1.1)式中Λ服从多项分布的情形。
各个国家在机动车辆保险业务中常常采用无赔款优待制度。粗略地讲，就是根据连续无赔款的年度递增无赔款安全优待的比例。这一制度具有明显的优越性：第一，它使得保险公司收取的保费更接近于真实的风险；第二，保险公司可以降低赔付成本和管理费用；第三，减少交通事故。
对于无赔偿优待系统，一般来说第t+1年的保费只依赖于投保人过去t年内发生的赔付次数N(t)，与赔付的时间和赔付额的大小无关。而对于投保人第一年的保费，由于还没有赔付记录，只能使用先验保费（也称基础保费）E[N(1)]。
孟生旺等(2001)（简称孟文）将三元风险模型应用于我国一家保险公司的实际索赔数据（见表2），同时构造了对应的无赔款优待系统。孟文用到的二元风险模型和三元风险模型分别是非参数混合泊松模型(1.2)中m=2和m=3的特殊情况。孟文除了考虑这两种模型外，还考虑了负二项分布、泊松－逆高斯分布、二项－贝塔分布，负二项－贝塔公布等。
本文对非参数混合泊松模型进行了分析，发现孟文给出的结论存在两个问题：(1)模型的参数太多；(2)得到的无赔款优待系统跳跃性太大，实用性差。针对这几个问题，我们改用Hofmann参数混合泊松模型对同一例子进行拟合，效果良好；在这一结论的基础上，根据Lemaire(1995)无赔款优待系统(BMS)的有关理论，给出了两种保费计算原理下的无赔款优待系统。
二、非参数混合泊松模型
在(1.2)中不妨假设0≤λ[,1]＜λ[,2]＜…＜λ[,m],Siman(1976)用最大似然估计的方法得到了m的估计，他同时指出当条件
满足时m的最大似然估计
一定存在。其中N是赔付次数的最大数目，v是赔付次数大于0的赔付次数类的数目。
Wallim(199)建议用经典的Newton-Raphson技术来求解，但此方法并不能保证(1.2)式中所有的p[,i]≥0;Siman(1976)给出了一种求得最大似然估计的算法，但因为其对数似然函数并不是处处凹的，所以这个算法常常收敛不到全局最优点；笔者发现若用矩估计值作为开始点进行计算，基本上可以避免这个问题。我们在用此算法对若干实际例子进行求解时验证了这一想法。
对于后面表2中的数据，应用非参数混合泊松模型(1.2)可得到各个参数的最大似然估计为
m=3,
λ[,1]=0.1134, p[,1]=0.722219
λ[,2]=0.67022p[,2]=0.244346
λ[,3]=2.15684P[,3]=0.033435
我们注意到在模型(1.2)中，共有2m个独立参数需要确定，根据目前国际上的赔付经验，赔付次数一般不会超过7次，因此在绝大多数实际情况中，用m≥3时的模型(1.2)来拟合索赔次数已无多大意义。
下面考虑模型(1.2)下的最优无赔款优待系统。
若设第一年的保费为100，利用期望值原理，在[0,t]发生k次赔付的情况下，此模型对应的最优无赔款优待系统保费计算公式（见Lemaire,1995）为：
若λ[,1]=0，则
与参数混合泊松模型相比，由非参数混合泊松模型得到的最优无赔款优待系统具有局部同质性的特点，即由模型(1.2)得到的最优无赔款优待系统保费表可以分为m个区域，每一个区域内的保费差别不大，而不同区域间的保费差异又偏大，呈现跳跃性，从而反映Λ的非连续性。表2中数据对应的非参数混合泊松模型下的最优无赔款优待系统见表1（略）。
对表1中的保费进一步分析我们发现，所有的保费可以分为三个区域，分别位于表的左下部、中间和右上部，对应着低、中、高三类不同风险的保单：
若以相邻两类保单的中间值为界，在表1中，(10,3)=72.69属于低风险保单，(10,4)=143.30则属于中等风险保单，赔付次数仅增加1次而保费却增加近一倍，在实际商业运营中这种方案很难被接受。当k固定而令t变化时，这种不连续性更加明显。
用其他保费计算原理得到的模型(1.2)下的无赔款优待系统也有类似的特点，其根源在于结构函数U(·)的不连续性，所以由非参数泊松模型所导出的无赔款优待系统在实际中是不可行的。在下一部分我们用Hofmann分布建立参数混合泊松模型，进一步导出无赔款优待系统。
三、参数混合泊松模型
对于这类模型，我们采用三参数的HoSnann分布。这种分布最早由Hofmann(1955)给出，Wallim& Paris(2000)对此分布做了进一步的推广和应用。
Hofmann分布定义如下：
在表2中同时给出了观测位和拟合值。
表2 赔付次数的观测值和拟合值
赔付次数 01
2 3 4 5 6 789
10+
观测值 271415789144345715556272110
拟合值 27143.6 5767.1 1479.8 446.8 148.9 52.8 19.6 7.5 2.9 1.2 0.8
为了便于和其他参数模型（包括负二项分布、二项－贝塔分布、负二项－贝塔分布、以及泊松－逆高斯分布）进行比较，在表3中综合出了各种模型X[2]检验的具体结果：
表3 各个参数模型的拟合效果
分布
负二项二项－贝塔
负二项－贝塔泊松－逆高斯Hofmann
X[2]
27.139349.9930
14.6488 15.1059
10.1595
d.f. 5 4 5
6 5
从表3可以看出，我们使用的模型在这几个模型中其拟会效果在x[2]检验的意义下是最优的，并且小于X[2]检验的临界值X[2,5,0.95]=11.070。
四、无赔款优待系统
这一部分我们以前面得得到的Hofmann模型为基础，导出期望值原理下的最优无赔款优待系统（简称最优BMS）和零效应原理下的无赔款优待系统。
（一）最优无赔款优待系统
期望值原理下的基础保费为E(Λ)=E[N(1)]。若设第一年的保费为100（即基础保费），在前t年发生k次赔付的情况下，由Lemaire(1995)，最优无赔款优待系统保费的计算公式为：
为了标准化，令基础保费为100，则在[0,t]发生k次赔付的情况下，此无赔款优待系统中保费的计算公式为：
对于表2中的实例，零效用原理下的无赔款优待系统（不妨取γ=0.25）见表5（略）。在零效用原理下，虽然不同的γ可以得到不同的无赔款优待系统，但是差别不大。
五、结论
从表1中的观测数据可以看出，经验分布的右尾很长，这是由我国旧机动车辆保险条款所决定的。我国以前使用的《机动车辆保险条款》第三十一条规定：保险车辆在上一年保险期间内无赔款，续保时可享受无赔款减收保险费优待，优待金额为本年度续保险种应交保险费的10%；不论机动车辆连续几年无事故，无赔款优待一律为保险费的10%。这一简单的无赔款优待系统大大降低了驾驶员追求无赔款优待的积极性，从而必然使得其赔付次数具有较长的右尾。随着我国保险制度与国际制度的接轨，我国的无赔款优待系统必将向着多等级、高自负额方向发展，此时赔付次数将大大减少。孟文中推荐的三元模型（即(1.2)中当m=3时）含有6个未知参数，弹性非常小，那时将不适用于索赔次数模型，又因为三元模型属于非参数混合泊松模型，由它导出的最优无赔款优待系统跳跃性很大，在商业上未必行得通。相比较而言，大多数研究人员对参数混合泊松模型更感兴趣。
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