重建三角 全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个建议，本文主要内容关键词为：结构性论文,全局论文,初中论文,建议论文,数学课程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学课程中，三角至关重要。三角是联系几何与代数的一座桥梁，沟通初等数学和高等数学的一条通道。函数、向量、坐标，复数等许多重要的数学知识与三角有关，大量的实际问题的解决要用到三角知识。因此，国外国内的许多数学教育改革，删这个减那个，却对三角谨慎从事，不敢轻举妄动。相反，三角在初等数学中的地位越来越重要。
那么，我们可不可以换一个思路，给三角学重新定位，将三角、几何、代数有机地结合在一起，进行逻辑结构的改造，重新构造课程体系呢？
在传统的课程中，三角函数是作为直角三角形的两边的比值而引进的。这样的定义，依赖于有关相似三角形的知识，而且只能定义锐角的三角函数。其实，三角函数的定义，无非是给三角函数提供一个几何模型。几何模型有多种选择，可以是“直角三角形的边角关系”，也可以是平行四边形、三角形的面积，本文试图用面积方法建立三角学，它并不影响三角函数的数值，但有利于展开三角学的内涵，帮助进行几何中的推理和论证。
一、认识正弦
我们从小学数学课程里的三角形面积的计算公式出发。
1.基本命题
类比矩形面积公式，把平行四边形分成若干边长为1的菱形来计算其面积，如图1。
定义 把边长为1，有一个角为A的菱形面积记作sinA。
于是，容易得到平行四边形的面积公式
这样用单位菱形面积引入正弦，小学生不难接受。
2.正弦的基本性质
由定义得出：
【命题1】（正弦的基本性质）
(1)sin0°=sin180°=0；
(2)sin90°=1；
(3)sinA=sin(180°-A)。
上面(1)和(2)显然，(3)如果单位菱形有一个内角为A，那么必有一个内角为180°-A，于是可得 sinA=sin(180°-A)。
马上可以看出，这样引进正弦至少有三个好处：不依赖相似的知识和比的概念，难度降低了；锐角、直角和钝角的正弦都有定义，范围拓宽了；不必像传统定义中用逼近的办法来解释直角的正弦，表达更严谨了。
更大的好处，还在于下面展示的推理体系的简捷和有力。
3.直角三角形中锐角的正弦
小学数学中，有三角形面积等于“底乘高的一半”的结果。如图2，若∠ABC=90°，用两种方法计算
。
于是有
【命题2】在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边。
和命题“三角形内角和等于180°”相配合，已知一边和一锐角，就可以解直角三角形了。
在实际的教学中，上述命题的学习和“用字母代替数”以及“等式变形”的教学和练习应当穿插进行。三角知识的发生和发展为代数方法的应用提供了天然的例子。为举例而精心编写的例题也许还要有一些，但那将显得勉强和不太重要了。
二、正弦定理及其应用
1.正弦定理
把三角形的面积公式
同用2乘，同用abc除，得到
【命题3】（正弦定理）
这里又一次显示，等式的变形是多么有用。
正弦定理本来是高中数学课程的内容，现在用简单的等式变形，在初中一年级学习，看来是轻而易举的。有了正弦定理，解任意三角形的问题解决了一半。在解三角形的计算中，计算机和计算器的使用有了充分的理由。
2.用正弦定理解几何问题
学生一旦掌握了正弦定理，学起几何知识来就如高屋建瓴，更为主动了。
传统的数学课程，学生正弦定理是在学习相似三角形之后，正弦定理对几何的内容的展现，几乎没有关系。现在不同了，正弦定理成为推导许多几何命题的有力工具：
(1)三角形中等角对等边；
(2)若两个三角形的三个角对应相等，则对应边成比例；
(3)三角形全等的“角边角”判别法。
有了这几个命题，可以解决大量的几何问题了。
当然，凡是用这3个命题可以解决的问题，用正弦定理也可以解决。正弦定理来自面积公式，所以这些问题也可以直接用面积法解决。这样一来，几何知识不但更容易掌握，而且更加丰富多彩了。
3.正弦和角公式
【命题4】（正弦和角公式）对于锐角α和β有
证明 如图3，设∠BAD=α，∠CAD=β，过D作AD的垂线分别和直线AB，AC交于B，C，则由面积公式可得：
4.特殊角的正弦与简单的方程
在正弦和角公式sin（α+β）=sin αsin(90°-β)+ sin βsin(90°-α)中，分别给α和β以特殊值，可得
(1)α=β=30°，得到
sin60°=sin30°sin60°+sin30°sin60°。约去 sin60°，把sin30°看成求知数解出
【推论】直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半。
5.勾股定理
【命题5】（勾股定理）直角三角形中，斜边的平方等于另两边的平方之和。
证明 若在三角形ABC中，∠ACB=90°，则 A+B=90°，在正弦和角公式中，取α=A，β=B，得到sin90°=sinAsin(90°-B)+sin Bsin(90°-A)，可推出
证毕。
这样简单地推出勾股定理，显示出代数方法的力量。有了勾股定理，解直角三角形的问题完全解决了。以后引入余弦和正切，只是使得计算起来更方便而已。
三、正弦的增减性与不等式初步
在传统的中学课程中，正弦函数的增减性没有证明，只是直观地说明一下。这里则可以给出简单的证明。
1.正弦的增减性
【命题6】设有两个0°和180°的角α和β如果两个角之和α+β小于180°，且α＜β，则较大的角的正弦也较大，即sinα＜sinβ。
证明 如图4，设∠BAC=α，∠BAD=β，则∠CAD=β-α。设AE是∠CAD的平分线，过点E作AE的垂线l，分别交AC，AD于C，D。
【推论】
(1)当x由0°到90°变化时，sinx随x的增加而增加；
当x由90°到180°变化时，sinx随x的增加而减少；
(2)sinx≤sin 90°=1，等式仅当x=90°时成立；
(3)在三角形中，大角对大边，大边对大角，等角对等边，等边对等角；
(4)在三角形中，钝角或直角所对的边最大。
这时可以讲等腰三角形的性质，以及轴对称。
2.三角形不等式
【命题7】（三角形不等式）任意三角形ABC中，两边之和大于第三边。
证明1 只要证明a+b＞c即可。
若A和B中有一个为直角或钝角，显然。
若A和B都是锐角，则：sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sin Asin(90°-B)+sin Bsin(90°-A)＜sin A+sin B.
再用正弦定理：
将sin A=ka,sin B=kb，sin C=kc代入上面的不等式，即可得所要的结论。
证明2 如图5，过点C作AB的垂线，设垂足为D，得两个直角三角形ADC和BDC。由于在直角三角形中斜边最大，故AC+BC＞AD+BD≥AB，证毕。
3.负角的正弦
在一些公式中，出现sin(90°-A)，若A是钝角，就没有意义了。
如果约定sin(-A)=-sinA，上面的公式还成立吗？
容易检验，如果这样约定，正弦和角公式中可以仅仅限制两角和不超过180°，而不必限制都是锐角。正弦和角公式的适用范围大大拓宽了。
所以，今后约定
四、引进余弦
1.余弦定义
定义2 设A为0到180°的角，A的余角的正弦叫做余弦，记作cos A；
也就是说，cos A=sin(90°-A)。
前面经常遇到sin(90°-A)一类的式子，用这个新记号可以简化它。
当A不是钝角时，cosA=sin(90°-A)=sin(90°+A)=cos(-A)；
当A是钝角时，cos A=sin(90°-A)=sin(A-90°)；
这样，对于0到180°的角A，cosA都有意义。
根据正弦的性质可推出余弦的性质：(1)cos(180°-A)=sin[90°-(180°-A)]= sin(A-90°)=-sin(90°-A)=-cosA；
(2)当x从0°增加到180°时，cos x从1减少到 -1；
3.余弦定理
运用平方和公式，从正弦定理推导余弦定理
于是得到
【命题8】（余弦定理）若以a，b，c顺次记三角形 ABC的角A，B，C的对边，则有：
证毕。
五、全等三角形和相似三角形的判定和应用
如果需要，不学平面几何，也可以用三角证明以下结论（当然，这并非好的选择）。
1.相似三角形的判定定理
原来已经知道，从正弦定理可以推出相似三角形的基本定理。
“若两个三角形的三个角对应相等，则对应边成比例”，有了余弦定理，立刻可以推出：“若两个三角形的对应边成比例，则对应角相等”，以及相似三角形的“边角边”判定法则。
2.全等三角形的判定定理
把全等三角形看成是相似比为1的相似三角形，自然就得到一系列全等三角形的判定定理。
当然，从正弦定理和余弦定理直接推出这些判定定理也容易。
这时，可以利用全等三角形复习等腰三角形性质，以及轴对称图形和轴对称变换。
3．圆和正多边形
圆和点、直线、圆的位置关系，垂径定理等有关的线段计算；主要是勾股定理和等腰三角形性质的应用。
圆半径为R时，大小为A的圆心角所对的弦长的计算公式：
这个公式也是“正弦”名称的由来。
圆周角定理；圆幂定理；圆内接四边形等仍如传统教材。
在直径为D的圆中，大小为A的圆周角所对的弦长的计算公式：
我们还可以引入弧度制，讨论圆周的弧长，内接外切正多边形性质等几何问题，将另文讨论。
有了上面的几何、三角和代数的准备，学习下面的内容是顺理成章的事：直角坐标系和函数的图像。一次函数和二次函数，直线和圆的方程，极坐标和参数方程初步等。这样的结构性改革，优点是显而易见的。
(1)从小学生熟悉的三角形面积计算入手，学生容易接受。
(2)推理具有简捷严谨的代数风格，容易理解和记忆。
(3)系统展开明快，可以用较少的课时学到更多的数学知识，给学生留下更大的思考讨论的空间。
(4)三角、几何和代数密切联系相互渗透，有利于提高学生的数学素质和思维能力。
(5)更早更多地体现方程和函数的思想，有利于学生今后学习高等数学和用数学知识数学方法解决实际问题。
总之，这样的改革，使初等数学课程变得更容易、更清楚、更严谨、更丰富，也更有力量。
本文初稿完成后曾就教于张奠宙先生，并根据奠宙先生的建议作了少量的压缩和修改。作者在此谨向张奠宙先生表示诚挚的谢意。
【后记】本文中的基本思想和方法，开端于1974年。当时作者到中学教数学。我发现用面积方法讲几何和三角颇受学生欢迎，且有助于学生成绩的提高，曾计划以面积法为基础进行教材改革，后因“反右倾翻案”运动不了了之。
1979年任教于中国科大时，为合肥市参加全国数学竞赛的中学生做过一次关于面积方法的讲座，其中说明了用单位菱形面积定义正弦的好处，讲稿发表于安徽省的《中学数学教学》双月刊上（1980年1，2期），题为“改变平面几何推理系统的一点想法”。
1980年，为上海教育出版社的《初等数学论丛》 （第1，3辑）写过两篇有关面积方法的文章，后来进一步写成《面积方法帮你解题》一书，在1982年出版。
以后，我把面积方法和教材改革更多地联系起来，在郑州的《数学教师》月刊发表长篇连载《平面几何新路》共18章。后来修改补充，按教材形式写成为同名的书，先后于四川教育出版社(1992)和台湾九章出版社(1995)出版。其间还将用面积定义正弦的想法，写进四川教育出版社的《从数学教育到教育数学》一书(1989)。
后来，这些思想方法进一步得到系统化，写在中国少年儿童出版社出版的《几何解题新思路》 (1993)和《平面三角解题新思路》(1997)两书中。而“重构三角，对数学课程进行结构性的改革”的思路，则是近三年内形成，第一次正式发表。
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