汽车保险的精算模型及其应用，本文主要内容关键词为：精算论文,及其应用论文,模型论文,汽车保险论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O212;F840.63
我国某家保险公司1996年35072辆投保车辆的第三者责任保险索赔次数的统计结果如表1所示。可以看出，该分布的一个显著特点是分布的右尾很长。这是由我国汽车第三者责任保险条款所导致的一个必然结果。我国汽车第三者责任保险的无赔款优待条款规定，只要保单持有人在一年的保险期内发生过索赔，不论索赔次数多少，第二年续保时的保费都将是全额保费，不再享受任何优待。在这种制度下，曾经发生过一次以上索赔的投保人再次发生索赔的可能性在某种程度上会有所增加。因此这种制度必然使得我国汽车第三者责任保险的索赔次数具有很强的正向传染性，亦即具有较长的右尾。
从我国汽车第三者责任保险索赔次数的观察分布容易判断，它肯定不适于使用同质性保单组合的索赔次数模型（即泊松分布）进行拟合，因此本文直接讨论混合分布即负二项分布模型、泊松－逆高斯分布模型、二元风险模型、三元风险模型、二项－贝塔分布模型和负二项－贝塔分布模型及其拟合效果，并在此基础上选择最佳的拟合分布，构造调整保单持有人续期保费的最优无赔款优待制度。
一、索赔次数模型
（一）负二项分布模型
假设给定个体保单的索赔次数X服从参数为λ的泊松分布：
上述u(λ)也称作保单组合的结构函数。
（二）泊松－逆高斯模型
假设给定个体保单的索赔次数X服从参数为λ的泊松分布，而保单组合的结构函数服从参数为(g,h)的逆高斯分布，即
（三）二元风险模型
假设给定个体保单的索赔次数X服从参数为λ的泊松分布，而保单组合由两种类型的风险构成，其中高风险的保单（泊松参数为λ[,1]）占α[,1]，低风险的保单（泊松参数为λ[,2]）占α[,2]，且α[,1]+α[,2]=1，则从保单组合中任意抽取的随机个体保单的索赔次数分布为
（四）三元风险模型
假设保单组合由三种类型的风险构成，其中高风险的保单（泊松参数为λ[,1]）占α[,1]，中等风险的保单（泊松参数为λ[,2]）占α[,2]，低风险的保单（泊松参数为λ[,3]）占α[,3]，且α[,1]+α[,2]+α[,3]=1，则从保单组合中任意抽取的随机个体保单的索赔次数分布为
（五）二项－贝塔分布模型
假设给定个体保单的索赔次数服从参数为(n,p)的二项分布，即
（六）负二项－贝塔分布模型
假设给定个体保单的索赔次数服从参数为(r,ω)的负二项分布，概率函数为
二、在我国汽车保险中的应用
应用上述各种模型对我国一家保险公司1996年的35072辆投保车辆的第三者责任保险索赔次数的拟合结果如表1所示。
表1 索赔次数的观察值和拟合值
在负二项分布中，参数的极大似然估计值为：α=0.6117,β=1.926。x[2]统计量的查表值为x[2,0.95]=12.592，小于实际值27.53，因此负二项分布的拟合效果不甚理想。
在泊松－逆高斯分布中，参数的极大似然估计值为：g=0.3176,h=0.5790。x[2]统计量的查表值为
，略小于实际值14.66，因此泊松－逆高斯分布的拟合效果还算可以。
在二元风险模型中，参数的极大似然估计值为：α=0.112356,λ[,1]=1.46908,λ[,2]=0.171853。二元风险模型认为，大约11.24%的投保车辆属于高风险组，索赔频率为1.47；88.76%的投保车辆属于低风险组，索赔频率为0.1719。x[2]统计量的查表值为
，远远小于实际值28.21，因此二元风险模型的拟合效果很不理想。
从x[2]统计量来看，三元风险模型对上述保险公司第三者责任保险索赔次数的拟合效果最好，因此下面用三元风险模型构造相应的无赔款优待系统。
如果假设初始投保人所缴纳的保费为100个货币单位，那么当他在t年发生L次索赔后，次年续期保费的调整应如表2所示。
表2 三元风险模型下续期保费的调整
上述续期保费的调整系统从统计学的角度来看是公平的，也就是说，基于统计分析的结果表明，高风险投保人应该缴纳很高的保费，而低风险的投保人应该缴纳很低的保费。但这种高度的奖惩在商业上未必行得通。这里可以采用Ferreira(1977)提出的一种效用函数对上述系统进行调整。基本思路是，适当减少高风险组的保费，而相应提高低风险组的保费，从而增加投保人之间的互助性并保持保险公司的财务稳定性。这个过程是现实可行的，因为高风险组的保单持有人毕竟是少数，所以适当增加低风险组的保费是可以接受的。表3是根据投保人的经验索赔频率所作的模拟结果。从中不难看出，当t=3时，为使第5组(L=5)的保费减少40元，第0组(L=0)只需增加不到1元。
表3 在t年内发生L次索赔的车辆模拟数
运用Ferreira模型进行调整的过程可概括如下：
对于所有的t，令L为总索赔次数，m表示索赔次数L的最大值，譬如在表3中，当t=1时，m=9；当t=2时，m=10等，等，对于所有的t，令N[,L]为各组的投保车辆数，譬如t=1时，N[,1]=27141,N[,2]=5789,N[,3]=1443等等。
由上式确定的保费既能保持保险公司的总保费水平不变，同时还可以通过对c的不同取值对续期保费的调整系统进行修订。表4给出了三元风险模型当c=23.5时续期保费的调整系统。在具体应用时，可以根据市场的可接受程度，选择不同的c值，从而得到可供实际操作的保费调整系统。
当然，对于其他风险模型，也可以很方便地构造出相应的保费调整系统，限于篇幅，本文从略。此外，需要说明的一点是，本文所采用的数据只是一家保险公司的数据，不一定能代表其他保险公司的情况，因此在具体应用时，不同的保险公司可以对自己的数据分别进行拟合，从中选择适合自己的模型，并构造相应的保费调整系统。
表4 考虑市场因素时续期保费的调整系统(c=23.5)
