肖 燕 成都市实验外国语学校（西区） 610213
立体几何中二面角的求法知识综合性强，方法灵活性大，需要学生将二面角问题转化为其平面角问题，在培养其空间想象能力和分析、解决问题能力的前提下，求解过程中又要利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。因此，二面角的求法是一个重点及难点内容，以下便谈谈解决该问题的方法：
一、传统方法解决二面角问题
传统方法求解二面角，关键在于准确作出二面角的平面角，从而化归为求三角形内角大小。主要有以下几种作法：
1.定义法
二面角的定义——以二面角的棱上任意一点（点O）为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线OA、OB，则∠AOB叫作二面角的平面角。
例1：如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=2，CC1= ，求二面角C1-BD-C的余弦值。
解析：由∠C1CB=∠C1CD及底面ABCD是菱形可得△C1CB≌△C1CD，则C1B=C1D，即△C1BD与△CBD是两个同底的等腰三角形；取BD中点O，得到C1O⊥BD、CO⊥BD，则∠C1OC为二面角C1-BD-C的平面角。
2.三垂线法
三垂线定理——平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线逆定理——平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点。求二面角A-PD-C的余弦值。
解析：易证AE⊥平面PCD，过点A作AM⊥PD，垂足为M，连结EM，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD（三垂线逆定理），因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角。
3.垂面法
根据二面角平面角的定义知两个半平面α、β的公垂面γ与棱垂直，则公垂面γ与两个半平面交线所成的角∠AOB，就是二面角的平面角。
例3：如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F为BP的中点，求二面角E-PB-C的余弦值。
解析：在线段PC上存在点M，构造平面EFM使PB⊥面EFM。
证明如下：在Pt△AEB中，AE=1，AB=2，则BE= 5；在直角梯形EADP中，AE=1，AD=PD=2，则PE= 5；所以BE=PE，F为PB的中点，所以EF⊥PB；当PB⊥FM时PB⊥面EFM，则∠EFM为二面角E-PB-C的平面角。
4.射影面积法
设二面角大小为θ，则cosθ= 。从其中一个半平面内找出多边形在另一个半平面上的射影，用射影图形的面积除以原图形的面积求解cosθ。
例4：正△ABC边长为10，A∈平面α；B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2。求平面ABC与α所成角的余弦值。
解析：因为△ABC在平面α内射影图形为△AEF，则平面ABC与α所成角的余弦值为△AEF与△ABC的面积之比。
二、空间向量法解决二面角问题
1.基底法
根据空间向量基本定理，选取空间中三个不共面的向量作为基底，则空间中任一向量都可以用基底表示，转化为向量问题解决。
例5：二面角α--β为60°，Ａ、B是棱上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥，BD⊥且AB=AC=1，BD=2，求CD的长。
解析：选取向量CA、AB、BD为基底，则|CA|=|AB|=1，|BD|=2，CA·AB=AB·BD=0，CA·BD=-1。因为CD=CA+AB+BD，则|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·BD=4，即CD长为2。
2.坐标法
如果几何体中存在三条两两垂直的直线，则可建立空间直角坐标系，转化为向量的坐标运算，找出两个半平面的法向量n1、n2。设二面角大小为θ，则cosθ=±cos<n1，n2>。观察图形判断取<n1，n2> 或其补角，将几何问题化归为代数问题，从而减少思维难度。
解决二面角问题时，学生只要对上述几种方法了如指掌，平时做题时有意识地练习一题多解，培养自己的空间想象能力、转化和化归能力及运算能力，根据题中条件灵活选取相应方法，便能有效地克服这一难点。
论文作者:肖燕
论文发表刊物:《中小学教育》2016年4月总第240期
论文发表时间:2016/5/19
标签：平面角论文; 平面论文; 射影论文; 向量论文; 余弦论文; 求法论文; 垂线论文; 《中小学教育》2016年4月总第240期论文;