猜想与验证：不完全归纳中的合理推理--“趣味乘法计算”的教学实践与评价_数学论文

猜想与验证：在不完全归纳中合情推理——《有趣的乘法计算》教学实践与评析，本文主要内容关键词为：乘法论文,不完全论文,归纳论文,教学实践论文,有趣论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、教学思考

      新课程改革倡导培养学生的推理能力，在小学阶段尤其要发展学生的合情推理能力，让学生带着自己的知识、经验、兴趣参与课堂活动，引导学生通过观察、操作、猜测、计算、推理、验证等活动发现规律.正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实.”小学数学计算教学中，教师要重视猜想验证思想方法的渗透，让学生通过大胆猜想，智慧验证增强其主动探索和获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展.

      在苏教版小学数学教材最新的修订中，三年级下册增设了规律探究的内容“有趣的乘法计算”，安排在了《两位数乘两位数》单元之后.这部分内容的教学是在学生已经掌握了两位数乘两位数口算、笔算等知识的基础上进行的.通过这一探究活动，让学生经历探索一些特殊的两位数乘两位数计算规律的过程，并运用发现的规律进行一些简便运算，一方面能加深对两位数乘两位数计算过程和方法的理解，另一方面能进一步感受探索和发现规律的一般过程，发展合情推理的能力.

      对于“有趣的乘法计算”的教学，教材编排了四个环节：（1）探索两位数与11相乘的计算规律；（2）探索十位相同且个位上的数相加都等于10的两个两位数相乘的计算规律；（3）探索形如（a-1）×（a+1）的乘法算式与形如a×a的乘法算式的关系；（4）对活动过程进行回顾与反思.笔者认为，在探索计算规律的教学中，教师尽可能组织有厚度、有深度、有趣味、有“数学味”的探究活动，让学生在观察中猜想，在计算中验证，在思考中发现，在交流中完善，并重点感受探究问题的方法，积累研究数学问题的经验.

      二、教学过程

      （一）游戏导入，激发兴趣

      师：今天啊，老师想和小朋友们玩一个数字游戏.老师带来一个魔盒，这魔盒特别厉害：一个数字进去后，就会出来一个新的数字.今天我们比一比，看哪个小朋友能够发现魔盒的秘密.（课件演示，结果如图1）睁大眼睛观察，第1个数，进去了.再来看，第2个数，进去了，有的小朋友发现了.第3个数，我们先不进去，哪个小朋友猜猜看？

      

      生：275.

      师：确定么？

      生：（众）确定.

      师：（课件出示结果）继续瞧瞧，真厉害！你们说说，怎么知道是275的？

      生：是刚开始的两个数加起来放在中间.

      师：老师这里还有一个魔盒，这个魔盒和刚才的有点不同.（课件演示）看看，3进去了，出来的是什么数？

      生：12.

      师：4进去了，出来的是什么数？

      生：20.

      师：看来这个魔盒确实挺神奇的.如果进去一个数7，大家猜猜出来的是什么数？

      生：56.

      师：你是怎么想的？给大家说说.

      生：先用这个数乘，再加这个数.

      师：你的意思是再乘比它大1的数吗？

      生：（有些激动）是的，是的！

      师：哇，真厉害！其实呀，这些简单的数字游戏不算什么，在我们最近刚刚学习的乘法计算中也有很多有趣的规律哦.今天我们就一起来找找.

      [设计意图：利用魔盒入手，既吸引了学生的注意，激发了学生探究的欲望，也将两种乘法算式规律巧妙地渗透在游戏中，为学生学习新知做了铺垫，可谓“一箭双雕”.]

      （二）分类探究，发现规律

      师：（课件出示算式：24×11，22×28，35×35，53x11，56x54，62x11）你能把这些算式分成两类么？观察一下，同桌说一说，可以分成哪两类？

      生：乘11的分成一类，没乘11的分成一类.

      师：好的，第一类算式都是乘以11的，而且都是用几位数乘以11的？

      生：两位数.

      师：（课件出示图2）那我们看第二类算式，它们是不是也有相同的特点呢？仔细观察，上下比较.

      

      生：第二个乘数和第一个乘数的十位都是相同的.

      师：正确，你看十位相同，再看个位呢？有没有相同的特点？

      生：两个数个位上的数加起来都是十.

      师：是吗？加加看.

      （学生口算.）

      师：太棒了，像这样的算式，我们可以为它们取一个很简洁的名字：“同头尾合十”，也就是“头”一样，“尾”加起来等于10.像这样特殊的算式，存不存在着特殊的规律呢？

      [设计意图：从学生易于接受的方式出发，通过分类讨论，增强探究的层次性和可行性，让学生在不知不觉中经历从无序到有序，从一般到特殊的学习过程，体会分类的思维价值，积累数学活动经验.]

      （三）引导流程，合情推理

      师：第一组，两位数乘11，不用笔算，你能直接说出得数吗？

      生：264，583，682.

      师：他说的对么？（稍停）有的同学不敢确定怎么办？

      生：用竖式计算验证一下.

      （学生计算、汇报.教师利用课件出示图3.）

      把积的每一位上的数和原来的两位数比较，你发现了什么？

      

      师：这么厉害啊！是不是老师再说一个算式，任何两位数乘两位数，你都能直接说出它的得数？

      生：不能.我只会算两位数乘11.

      师：你认为两位数乘11的算式——

      生：简单.

      师：简单？它里面藏着——

      生：规律.

      师：藏着规律？那我们就用眼去观察，用心去比较：两位数乘11，他们的乘积有没有什么共同的特点呢？

      生：我发现，是把这个数加起来，然后两边的数不动.

      师：说得很简洁.你们听明白了么？谁来上来指一下？

      生：（上台指着图3）是把这两个数加起来，2加4等于6，再把6放到这边.

      师：把这两个数加起来放在哪？

      生：中间.

      师：然后这两个数干嘛？

      生：不动.

      师：不动？其实它们好像稍微有点动了，那边好像挤了一个数进去，是不是啊？

      生：是的.

      师：像这样的规律我们可以用简洁的语言表示：把两个数往两边一拉，也就是“两头一拉”；中间怎么样？

      生：（众）相加.

      师：是的.当然，这只是你们观察、比较后发现的结论.这个结论正确么？不敢确定.（课件出示算式：23×11，64×11，59×11）我们再来看一组练习，根据刚才的发现，快速地算出结果.

      生：第一个应该是253.

      师：把这个算式完整地读一下.

      生：23乘11等于253.

      师：对么？

      生：64乘11等于704.

      师：哦，为什么呢？这好像不是“两边一拉”啊！

      生：6加4等于10，进一个放在前面.

      师：也就是说，“中间相加”有时会出现什么情况啊？

      生：进位.

      师：对，满十要干嘛呀？

      生：进1.

      生：59乘11等于649.

      师：对吗？

      生：（众）对.

      师：目前这些只是你们根据规律直接写的得数，我们可以通过什么方法来验证？

      生：竖式计算.

      师：我们来分组验证.结果正确么？

      生：（笑着）正确.

      师：是不是任意给你两位数乘11，你都能很快地得出得数？谁来说一个？

      生：39乘11？

      师：39乘11，谁来口答？

      生：（众）429.

      师：声音很齐，再来一个.

      生：99乘11？

      师：你真会难大家.答案多少？

      生：1000多吧.

      师：这个数字太大了，我们先拉拉.两边是多少？

      师：中间是多少？

      生：18.

      师：写8——

      生：进1.

      师：9加1是多少呢？

      生：10.

      师：结果是多少？

      生：1089.

      师：刚才的数字这么大都能很快算出来，什么原因？

      生：两位数乘11有规律.

      [设计意图：遵循比较、猜测、尝试、验证、总结及运用的规律探究流程，让学生借助课件直观演示的竖式以及动脑、动口、动手的想象和推理，经历模糊到清晰，特殊到一般的过程，逐步完善对两位数乘11计算规律的认识.这一方面积极地促进了学生的数学思考，另一方面也有效地发展了学生的合情推理能力.]

      （四）自主迁移，合情推理

      师：这是我们刚刚总结的另一类特征的一组算式，它是什么呀？

      生：“同头尾合十”.

      师：大家猜一猜，这样的“同头尾合十”的算式有没有小秘密啊？

      生：（众）应该有.

      师：不确定，是不是？那我们一起来算一算.

      生：22乘28等于616，35乘35等于1225，56乘54等于3024.

      师：有什么规律呢？好像不容易看出来.请看一下教材中番茄老师给我们提出了什么问题.谁来读一下？

      生：积的末两位是怎样算出来的？末两位前面的数字呢？

      师：积的末两位是哪两位啊？

      生：16、25、24.

      师：末两位是怎样算出来的，可能与谁有关系？互相说一说.

      生：个位乘个位.

      师：举例说明.

      生：22乘28的2乘8等于16，35乘35的5乘5等于25，56乘54的6乘4等于24.

      师：哦，确实是这么回事.个位数字就是两位数的“尾巴”.我们让两个数的“尾巴”怎么样呢？

      生：相乘.

      师：“尾巴”乘“尾巴”就得到积的什么？

      生：末两位.

      师：末两位前面的数又是怎么算出来的呢？这好像有点难度哦.小组内说一说.

      生：只要把前面相同的两个乘数中的一个加上1就行了.

      师：谁明白了？

      生：一个乘数十位上的数字与另一个乘数十位上的数字加1的结果相乘.

      师：他说的对不对，我们来看一看.

      生：2乘3等于6.

      师：猜的对哦！下一题呢？

      生：3乘4等于12，5乘6等于30.

      师：全对喽，真棒！那总结一下就是——

      生：“头”乘比“头”大1的数，就是积末两位前面的数.

      师：（课件出示图4，稍停）是不是所有的“同头尾合十”算式都有这样的秘密呢？

      

      （有一半左右的学生附和，但语气有些不确定.）

      师：不确定，对不对？那还需要继续尝试.（课件出示算式：15×15，43×47，69×61）先根据你们刚刚的发现，直接写出得数.谁来汇报？

      生：15乘15，先用5乘5等于25，再用1加1等于2，2乘1等于2，所以等于225.

      师：你说清楚，5乘5是放在哪里？

      生：末尾.

      师：几位？

      生：末尾2位.

      师：然后1乘2放在哪里？

      生：前面.

      师：接着说.

      生：3乘7等于21，21放在得数的后两位；4加1等于5，5乘4等于20，把20放在前面.

      师：就是2021，对么？

      师：下一个.

      生：1乘9等于9，放在得数的后面；6加1等于6，7乘6等于42，把42放在前面，结果是429.

      师：哎？你发现问题了吗？

      生：9乘1是一位数，它后面是两位数，必须在前面再添个零.

      师：我们刚才说，“尾”乘“尾”得到积的——

      生：末两位.

      师：而1乘9只有——

      生：一位.

      师：那怎么办啊？

      生：可以用“0”来占位.

      师：从这一题我们可以发现，找到规律后验证的时候还要再进行观察比较，有时我们发现的也许不是很完善，需要去补充.“尾”乘“尾”得到的是积的——

      生：末两位.

      师：如果乘得的积是一位数，怎么办？

      生：用“0”来占位.

      师：有的同学还在计算验证呢，太细心了哦！我们来看一下，是不是4209？

      生：（众）是的.

      师：将其他的题目进行分组验证.（学生计算、验证.教师课件出示图5.）

      

      [设计意图：有了探究两位数乘11计算规律的经验，学生自主探究“同头尾合十”乘法计算的规律就水到渠成了.学生通过自主尝试、猜测、验证、计算、推理等过程，经历思维的碰撞、思考的误区和方法的完善，不仅将学习方法进行了潜移默化的迁移，还收获了成功的喜悦.]

      （五）回顾过程，积累经验

      师：回顾我们今天探索和发现规律的过程，能不能说说你的体会、感触？

      生：很高兴又掌握了一种新的算式的计算方法.

      师：很高兴，还有么？

      生：运用发现的规律计算可以又对又快.

      生：只有通过细心观察、用脑思考，才能发现规律.

      生：发现规律后，还要进行验证和补充.

      师：同学们，其实还有很多像这样有趣的规律就隐藏在乘法计算当中，不止这两种.你们觉得呢？

      生：是的.

      师：那同学们课后去观察观察、研究研究，看看谁能发现其他跟乘法计算有关的规律.下课！

      [设计意图：带领学生在回顾和交流中进一步体会由具体到抽象、由特殊到一般的思考方法，感受数学规律的魅力；激励学生进一步去探索下一节课的内容，培养学生对数学学习的积极情感.]

      《义务教育数学课程标准（2011年版）》把推理能力作为10个核心概念之一，指出：“推理是数学的基本思维方式……推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果……合情推理用于探索思路，发现结论……”苏教版小学数学教材从三年级上册开始有计划地在每册里各编排一个“探索规律”的专题活动，这有利于改变“重演绎、轻归纳”的思维习惯和教学传统，以更好地培养学生的合情推理能力.

      小学数学中合情推理的主要模式是不完全归纳.它是一种以观察、体验多个事例、活动后所获得的经验为根据，归纳出一些概括性原则的思维过程.教学中，引导学生利用不完全归纳法，自主探索一些定律和性质，能为学生今后运用其他合情推理手段发现问题、解决问题提供抓手，为其形成自学能力奠定基础.

      推理能力的形成不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等.这种“悟”只有在数学活动中，才能得以进行.因此，本节课的教学过程中，教师为学生提供探索交流的空间，组织、引导学生经历观察、猜想、验证、归纳等数学活动过程，注重探索规律的经验积累和数学思想方法的感悟，凸显了探索规律的教学价值.

      一、观察与猜想：为发现规律提供“合情推理”的基点

      归纳是从观察或体验出发的.本节课的教学中，教师创设了一个“魔盒”情境，把学生的观察焦点集中于进去的两位数与出来的积，使学生不仅进入了合适的唤醒状态，而且有了特定的观察方向.接着，教师让学生自主分类：一类是任意两位数与11相乘；另一类是“同头尾合十”的两位数相乘.由此，再次强化了观察的方向，深化了对因数特征的感知.

      学生从观察和体验出发，积累了个性化、有用的经验后，要凭借学生的直觉思维，让其合理地猜想，即为寻找数学规律而进行数学想象.本节课的教学中，教师让学生根据观察笔算竖式中所获得的经验进行猜测和联想，并用带有“儿童味”的话语表达特殊的两位数乘两位数的计算规律——如“两头一拉，中间相加”“‘尾巴’乘‘尾巴’就得到积的末两位”“‘头’乘比‘头’大1的数，就是积末两位前面的数”等.学生依据已有的材料和知识积累作出符合一定经验与事实的猜想属于合情推理，带有一定的直觉性.小学三年级正是由直观形象思维向逻辑抽象思维过渡的关键阶段，经过教师的点拨，他们能进行初步的合情推理，做出合理猜想.培养学生的猜想意识，正是培养学生进行知识“再发现”和“再创造”的良好开端，对于提高他们数学素养具有不可低估的重要作用.

      二、验证与归纳：为掌握规律创设“合情推理”的空间

      小学数学中的合情推理作为一种重要的思维过程，大体上可以划分为两个阶段：（1）特例—猜想，即特殊到一般的过程；（2）验证—归纳，即检验猜想正确性的过程.在探索规律的活动中，不仅要让学生猜想“是什么”，更要引导学生验证“为什么”，这样才有利于学生深刻理解所学的知识，有利于学生形成科学严谨的学习态度和良好的思维习惯.本节课的教学中，教师让学生经历了完整的用不完全归纳法探索规律的过程：先让学生通过列式计算、观察一些两位数乘两位数的特殊情况，接着激发学生进行猜想，发现积的规律；在此基础上引导学生感受到：光凭几道题是不能直接概括规律的，还要多举一些例子进行验证，通过验证归纳出的规律才具有一定的科学性.而且，当学生归纳出规律后，教师继续引导学生回顾刚才探索规律的过程.在这个过程中，学生不仅获得了规律，更获得了探索规律的方法，有利于培养学生的合情推理能力.

      纵观本节课的教学，学生一直在观察中思考、在思考中猜想、在计算中交流、在交流中验证.由此，笔者认为，小学数学的规律探索教学，应该分阶段渐进地构建起相对完整的归纳推理基本范式（如图6所示）：（1）通过观察、分析、比较等思维活动，抽象概括出一般结论（猜想）；（2）明确（枚举）归纳所得结论的或然性，根据学习的不同阶段和情境，来选择恰当的方法验证（评估）猜想.当然，也要注意合情推理与演绎推理的相辅相成，以便更好地将探索规律的重点落在“探索”的过程中，落在数学思想方法和数学活动经验的获得上.

      

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