“3B”教育理念下的数学核心概念教学策略，本文主要内容关键词为：教育理念论文,核心论文,概念论文,教学策略论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学是发展理性思维的学科，数学教育的核心效果主要体现在人脑意识与思维的发展上，因此数学教育应该比其他学科更关注人脑的机能，更重视基于脑（based brain）、适于脑（adapting brain）和开发脑（developing brain），也就是说，数学教育更应该贯彻“3B教育”的理念（笔者把适于脑、基于脑开发脑的教育称为3B教育）.
人脑并非是为了正规的教学而存在的，而是为了生存和发展而存在的[1]；人脑是在个体与环境相互作用中发展的[2]，只有使教育活动更好地适应大脑的活动规律，才能更有效地促进大脑的发展.
从数学知识本身看，数学核心概念指的是在某一知识体系中起到联系纽带作用和充分反映思想方法、思维方式以及数学观念的相关概念；从学习的大脑活动看，数学核心概念是阶段学习活动中起到联系学习活动的纽带作用、在促进人脑发展上有重大影响的数学概念.数学核心概念的教学与一般概念教学的最大区别在于认知加工水平的要求不同，更确切地说，是在所承担的发展人脑思维功能上的不同.
神经的同步激活扩散和神经元之间连接的可塑性变化是学习的主要神经机制，个体因自己的需要对大脑内外的环境的刺激（信息）产生选择性注意，通过丘脑，相关信息进入大脑皮层进行初步的感觉登记；然后，相关的神经细胞产生联结（神经递质的释放和同步振荡放电），如果这种连接业已存在且经过强化，就会产生通道优势；大脑总是首先激活先前存在的优势通道来联结新的神经激活而达到协调（新的神经模式与原有神经活动模式匹配），这就是通常所说的人们总是首先考虑用已有的经验认识新事物，解决新问题；如果新的神经活动模式与原有神经回路激活的神经活动始终不匹配，大脑则会通过“转接”方式尝试建立新的神经活动模式，形成新的神经联结.数学概念的形成需要整合视觉信息和听觉通道的信息，形成概念中的一系列典型模型，并用数学工具对模型的结构、特征和关系进行结构一致性和表面多样性的描述（这就是数学表征），从中忽略非本质的属性、概括出本质属性（抽象与概括），并用数学语言符号表示概念（符号化）.数学概念的最终理解，需要建立概念之间联系，纳入到具有横向联系（对应关系）和纵向联系（抽象关系）[3]的概念网络中，并在运用概念中使这些神经回路的联结得到强化.在后继的学习中，一旦这些回路中的某些局部产生振荡放电，则可以以较快的速度传导到整个网络.综上所述，数学概念学习的过程，包括注意选择、感觉登记、知觉形成、对象表征、模型建构、特征抽象、符号化、相互联系、概念运用等认知操作过程.3B教育理念下的数学核心概念教学基本策略是建立在数学概念学习的上述大脑机制基础上的.
一、充分感知策略
对数学对象的充分感知，也就是让大脑接受更多的与对象本质属性相关的特征信息，产生更多的皮层神经的有效联结，拓宽神经联结的广度，加速神经联结的髓鞘化，这为顺利进行表征、模型构造、特征抽象打下坚实的基础.
1.激发动机，引导专注策略
在感知活动中，需要提高对象刺激与个体需要的相关性，让学生在体验有趣、愉悦和比照信息变化中提高对学习对象的选择性注意，引导学生积极主动地参与数学概念的学习活动，其原因是：大脑注意遵照自然选择原则，在注意选择时，与个体生存直接相关的信息及其变化的注意加工是排在第一位的，其次是情绪和信息的新异变化[4].因此，在数学核心概念教学中，可以用概念的应用价值、对象的比照、变化的情境和有趣的数学游戏来激发学生对学习对象的专注.
2.基于实物、图形和特征语言表达相结合的视听化直观策略
人类所获取的信息有80%以上是靠视觉通道得到的，同时，数学内省语音解释图示化的对象特征可以有效提高视觉信息加工的效率.例如，“关系”是一个在日常“关系”自然概念基础上抽象出的用集合语言表达的抽象数学概念：集合A、B的笛卡儿直积的子集：C
A×B，C=｛（a，b）|a∈A，b∈B｝，如果用图1描述，则可以“看到”数学中“关系”概念的本质特征，充分利用视觉的通道优势高效率地理解概念.在高中数学中，导数是一个比较抽象的概念，如果在教学中能把曲线的割线到切线的逼近过程用动画展示，则能有效地促进学生对导数概念和切线概念的理解，如图2所示.
视听化策略既是适于脑和基于脑的需要，更是发展脑的需要.认知神经学研究表明：枕颞通路的主要功能是识别物体的形状、颜色、结构等属性，也叫what通路，始于V2，经V4达到颞下回；枕顶通路的主要功能是识别空间位置和运动，也叫where通路，始于V2，经过V3、MT到达顶叶后部；在认知过程中两条通路具有分工协作的关系，两条通路之间有神经联系；视觉刺激首先由where通路进行前注意的定位，即确定加工的对象，再将此信息传给what通路进行细节加工.前者主要起着视觉监控的作用，而后者则经过细节加工，充分而细致地体现客体的各种特征，使人产生知觉[5].根据大脑神经在与内外环境相互作用中发展的原理，动态和静态相结合的方式感知事物能促进两个视觉回路的高协同融合，从而发展视觉协同感知能力.
视觉感知最基本的功能之一是视觉分割（perceptual segregation），即分辨哪些信息属于一个整体进而把这些信息组成一个独立的目标.根据视知觉的格式塔原理，视觉信息最有可能按照邻接律、相似律、连续律、封闭律和同域律结合成整体[6].在数学学习中，从背景中分离出基本模型并把若干基本模型整合成一个新的整体是重要的感知活动.例如，在立体几何中，空间角是刻画空间线面关系的基本度量，空间图形中既有空间线面关系等高中阶段学习的新模型又涉及初中阶段学习的基本平面图形，这些基本模型交织在一起，给学生感知立体几何问题中的基本模型造成困难，而在解决立体几何问题中，从已知图形中分离出基本图形并组合成新的模型成为解决立体几何问题的关键认知操作.
（2009年北京高考卷第16题）如图3，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABCPA=AB.∠ABC=60°，∠ACB=90°，点D，E分别在PB，PC 上，且DE//BC.
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的大小；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？请说明理由.
如果采用向量方法解决问题，则根据问题中的线线垂直基本模型建立适当的坐标系，把空间角问题转化为两向量交角问题，在求相关向量的坐标时，仍然需要利用图形的基本关系（数量关系和位置关系）进行计算（如问题3中的求平面AED和平面PED的法向量的坐标）、寻找或构建直角建立坐标.
陈霖的拓扑知觉理论认为，拓扑性质的早期知觉中，人们是通过拓扑变换中的不变性质的早期辨别来对知觉对象和背景进行分离的.他认为，知觉物体就是把物体从背景中分离出来，而这种分离的依据就是拓扑变换下的不变性质；从拓扑不变性质到射影不变性质到仿射不变性质最后到欧几里得变换下的不变性质，这是限制条件添加的过程也是物体的几何性质从稳定到不稳定的变化过程[7].如在曲线的切线概念形成过程中，用动画展示从割线到切线的逼近过程是拓扑的，不涉及具体的度量，而用导数描述切线的斜率则反映的是曲线的切线的度量属性；在初中函数概念学习中，一般先用数据对应图（两个集合文氏图中数据之间的单箭头联系图示）进行拓扑图示，再用函数图象对函数关系进行度量化的描述，这是基于视知觉的从拓扑到度量原理而做出的教学决策.
数学感知过程中，用适当语言（与语音听觉相联系）解释视觉形象能为这种视觉建立简约的“文件夹”，明确和丰富感觉刺激的意义，有利于知觉过程和结果的保持.事实上，数学概念是数学现象和数学本质的融合体，它建立在直观模型基础上，一头联系丰富的概念外延，另一头联系以语言符号表述的突出数学本质的抽象简约的内涵.例如，三角函数最本质的特征是周期性，它是刻画周期现象的基本而简约的数学模型，以单位圆为概念背景呈现任意角三角函数的概念可以突出三角函数周期性这一概念的本质特征，让学生从一开始对这一本质特征具有深刻的体验，这有利于学生大脑中对三角函数表征系统的神经联结优势回路的形成，同时减少非本质属性相关信息对学生大脑的不必要的干扰，减少信息垃圾，减轻工作记忆的负荷，提高大脑信息加工的效率.另一方面，基于单位圆的任意角三角函数定义及定义的合理性解释是由数学语言符号表示的，这种语言符号不仅是定义概念的需要，也是推理的需要（数学推理依赖于语言符号）.
3.感知需要时间
认知神经学研究表明，从视觉刺激到工作记忆需要时间，接受视觉刺激后，大脑反应具有延迟性，这叫感觉反应的潜伏期.事实上，我们自己可以做一个简单实验，当我们注视一个高亮的光源一段时间后，闭上眼睛，要等一会儿才出现光源的形象.这就意味着，当我们给学生呈现感知材料时，学生的感知需要足够的时间.而不幸的是，许多教师在给学生呈现对象材料后自己马上进行滔滔不绝的讲解，实际上学生根本没有感知的时间.
4.感知是有层次的
数学对象中的特征往往具有系统性，视觉的感知也需要有一个从拓扑到度量的过程，从整体到部分再到整体的过程，动静转化的过程.在数学感知的特征整合阶段，更需要对对象进行结构、特征和关系的分层扫描，因此数学核心概念教学的感知活动应该有层次地进行.感知充分的含义是形成概念典型模型的整体结构、属性和关系的稳定知觉，为进一步的概念加工提供充足的知觉基础.例如，导数典型模型（运动学和几何属性模型）感知中，当学生形成“变化率”的整体知觉时，所进行的感知活动才算是充分的.
二、有向多元表征策略
数学概念理解的神经物理属性是产生概念外延所包含的典型对象（模型）刺激下产生具有共同模式（相同的频率）的脑电活动，取得相关脑区的神经共振并形成连接.由同层次不同的局部连接网络再进行共同模式的建构从而形成高一层次的连接，从而，产生不同层次的数学概念抽象（如图5、图6）.
产生不同层次联结的前提是个体对一类刺激对象进行有向多元的由外到内的表征.所谓有向，指的是表征时指向对象共同特征的一致性，只有这样，才能产生对象共同特征的感知，才能使相关大脑神经产生动力学意义上吸引子[8]，才能使相关神经振荡从混沌走向最终的有序，形成匹配的连接；多元，指的是采用不同的数学知识和方法描述对象的共同属性使大脑神经信号传导得更远，形成更多层次和更大范围的神经元连接网络，从而产生更多的触发点，使概念应用中模式识别更广泛，为产生学习的远迁移打下基础.
本质上，数学就是研究用数量关系和空间形式来合理描述和系统研究事物特征与规律的科学，数学包括了“数学化”的表征和对表征得到数学模型的研究，因此，“数学化”地表征在数学概念特别是核心概念的学习中具有基础性地位，而“数学化”地表征最显著的特点是使用“数量关系和空间形式”工具，在中学数学中，更多地体现为数、式、图形、表格、程序等数学工具.例如，从初中的锐角三角函数到高中的任意角三角函数，首先需要把角度范围进行推广，其次要从初中锐角三角函数定义与直角三角形的相关性中分离出来，再根据最简约的要求产生任意角三角函数的单位圆定义，到这里，还是角度与实数之间的对应关系，还不是真正意义上的函数，要把三角函数变成真正意义上的函数，需要把角度转化为实数（用弧度制），进而通过拓扑变换，把单位圆上的有向弧的长度转化成数轴上的实数，最后用坐标平面上函数图象表示弧度制下的角与实数之间的对应关系，至此，才完整地形成任意角三角函数的概念.在这一过程中，角度的推广、弧度制的引入、把单位圆上的有向弧长度转化为坐标轴上的实数，用图象刻画三角函数，所有这些活动本质上是进行有向多元表征的活动，是用数、式、图形指向一般函数定义下实数化的角度与实数之间的对应关系的匹配表征过程[9].
三、模型建构策略
所谓模型指的是通过对实物或下一层次模型的无关细节进行省略，保留一类对象的共同特征后重新组成的具有明显系统结构特征的直观对象.数学模型既是概念表征的重要方式，也是概念抽象的重要支撑物.数学关注的是数量关系和空间形式，在几何中，关注的是物体的大小、形状、位置等空间属性，而忽略物体的颜色、材质等物理属性，中学数学中，各种代数式、超越式、函数、方程、不等式、几何图形、程序框图、推理格式等都是模型.在数学概念的学习中，在对对象进行充分感知和有向多元表征后，需要建立一些典型的直观模型（如可视化的模型）作为概念的代表，以便针对新的对象进行概念辨别时可以作为比对的参照——这就是所谓的模式匹配，提高概念辨别和应用中信息处理的效率.例如，在三角函数的概念形成过程中，单位圆作为刻画三角函数的周期性模型和三角函数图象作为刻画数量关系的模型都具有典型性，是三角函数概念的重要模型；在导数概念的形成中，切线的斜率、物体位移和速度的变化是典型的模型.由于数学模型建构本质上是拓扑和拓扑变换的过程[10]，是把原有模型进行分拆、重新组合和结构映射的过程，因此，在数学核心概念的教学中，引导学生把相关模型进行分拆、重新组合和结构映射可以帮助学生自主地建构数学概念的典型模型，提高概念辨别效率，促进概念运用过程的远迁移产生.例如，幂函数
上述模型是实际问题中的数量关系的初步抽象模型，是从实际问题生成函数图象的中间可视化模型，它们弥补了函数解析式变化过程不可视的缺点，又是与现实问题比较接近的度量化的模型（没有函数图象那样抽象）.采用这些中间模型既可以让学生方便地建立函数模型与现实问题的联系（学生可以根据这些模型方便地编出实际问题），建立数学与现实的模式匹配又可以直观感知变量之间的对应关系，为函数图象的生成提供直观基础.事实上，把上述模型放到坐标平面中，利用几何画板软件，可以方便地制作模型变化动画而生成函数图像（如图8，
）.
在数学核心概念的教学中，根据学生学习的需要设计支持性可视化模型不仅能帮助学生迅速把握概念的内在机理和本质特征，而且能帮助学生形成大脑神经的丰富连接，为概念的远迁移打下坚实的基础.
四、抽象概括策略
数学概念有强抽象、弱抽象和广义抽象三种基本方式，概念的强抽象指的是从种概念到属概念的抽象，是在已有的概念上添加内涵的概念形成方式，如从一般的函数概念到幂函数、指数函数和对数函数概念的抽象过程；概念的弱抽象指的是从若干模型中归纳出共同特征，形成新概念的过程；概念的广义抽象指的是从一个概念经过类比得到新概念的过程.与概念的强抽象相联系的神经活动模式是在已有的神经连接中产生局部连接的强化；与概念的弱抽象相关的大脑神经活动是在局部神经连接的基础上产生包含所有局部连接的新连接层次，当然新网络的连接模式与原来的局部连接模式会有不同，但在新的连接层次上连接模式是一致匹配的；与广义抽象相关的神经连接是与神经局部连接的平行投射相联系的，是同层次两个局部神经网络的同步激活扩散.数学概念的强抽象过程中，模型特殊化、分类、辨别和概括是关键的认知操作；在弱抽象活动中，模型辨别、表征和归纳是关键的认知操作；在广义抽象中，模型比较、表征和类比是关键的认知操作.例如，矩形概念是从平行四边形概念经过强抽象得到的，在概念的形成过程中，平行四边形的特殊化、分类和辨别新模型与原模型的不同点就成为矩形概念形成的关键认知操作；在向量概念形成教学中，从位移、速度、加速度、力等概念模型中发现既有大小又有方向的量，再用有向线段表示，用几何图示和坐标方法表示向量的线性运算和数量积，使向量的数量属性和空间属性有机融合，这些都是关键的认知操作；在等比数列概念的形成中，把从现实问题中得到的数量关系与等差数列比较，发现把等比数列中的所有运算都降一级，就变成了等差数列，那么，以正项等比数列为典型模型，让学生进行新数列与等差数列的比较，并用适当的方法表征新数列的特征就成为概念形成的关键认知操作：
通过上述模型比较，可以让学生顺利形成等比数列的概念并能理解两种数列的本质联系.
五、相互联系策略
大脑神经之间的连接是一个巨型多层网络系统，神经连接有许多特异性回路和区域，任何一个刺激，都会引起全脑或局部的反应.因此，数学概念特别是核心概念的形成、理解和记忆需要建立在与已有的概念网络建立联系的基础上.数学核心概念的学习，既要以已有的概念及其学习经验为生成出发点，又要以建立包含新概念的新的概念网络为归宿.建立概念联系的方式有同水平横向联系（对应与类比方式）和概念纵向层次关系（强抽象和弱抽象关系），如图9所示.
六、概念运用策略
数学概念是连接知识的结点，是数学活动和思维的工具.数学核心概念与数学原理以及数学思维的联系，是概念联系的高级形式.数学概念是以“模型+特征+概念联系”的方式存在于大脑中[11]，其中的“模型”是以视觉形式建立神经之间的连接，而特征则是以语言符号的形式建立大脑神经细胞之间的连接，概念形成的认知神经学事件是建立“数学模型”这一视觉通道和“概念特征”这一听觉通道以语言符号为中介的神经元群之间的连接.概念联系就是把不同数学概念的神经元群建立联系，形成更大的包含不同神经元群的连接网络，这既是大脑与内外环境相作用形成的学习基础，也通过概念的联系发展新的神经连接，形成新的连接神经元群，从而发展神经元群的联系网络，促进大脑的发展.概念运用包括概念辨别、概念特征拓展和解决问题三种基本方式.
1.概念辨别指的是在新的情境下识别概念模型的活动，这一活动属于“模式”匹配层次.个体面对新的情境中的对象，用已有的概念典型系列模型和特征，对对象与概念的匹配性进行扫描，从而确定对象是否为概念模型，通过这种概念运用活动，可以在纠错中强化大脑中与概念匹配的神经连接（增加血流量，形成髓鞘）.
2.概念特征拓展指的是运用已有的知识经验，通过观察、实验、推理等活动丰富概念的特征.如在等差数列概念形成后，利用已有的等差数列产生新的等差数列，用一次函数的观点把等差数列看做一次函数在自变量取正整数时的函数值，研究等差数列的前n项和公式并用函数观点来审视（二次函数），所有这些活动，都是概念特征的拓展活动，其价值在于深化概念的理解，使概念产生更多的信息，形成大脑神经与概念有关的更丰富的连接，并形成更多与其他知识网络相联系的结点，形成在更多情况下问题激活概念连接网络的机制.
3.解决问题指的是综合运用相关概念研究新的问题模型，通过把相关概念重组或把问题进行分割后运用概念的特征探索新模型的特征，在这种应用中，面对的问题中概念模型不明显，需要进行搜索辨别或构造，问题往往具有新情境和挑战性，需要在分析问题结构并进行有向多元表征的基础上构造新模型，进行新的抽象概括和推理，这种概念运用可以促进大脑神经超越已有的连接模块，产生新连接，发展学生的创造性思维.
3B教育理念下的数学核心概念教学，需要通过适当的方式激发学生的兴趣，引导学生进行合理的注意选择，形成学习的期待；需要组织学生进行有层次的、系列化和视听化的充分感知活动；需要引导学生进行有向多元表征和模型建构；需要针对模型进行特征抽象并用语言符号的形式进行固化；需要建立知识之间的有效联系；需要进行匹配的有层次的概念运用活动.这些活动既与大脑信息加工机制相匹配，也是发展大脑信息加工能力，促进大脑发展的学习活动方式，是数学概念教学适于脑、基于脑和开发脑的有效教学策略.在数学核心概念的教学中，这些学习活动方式是有序的，循环往复的，从一个活动周期到新的活动周期就意味着核心概念学习进程的不断深入.数学核心概念教学中学生这些活动可以用图10表示：
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