例谈初中数学中非负数的应用
郭菁毅
摘 要： 所谓非负数，是指零和正实数。非负数是随着七年级数学中负数的引入而相应出现的一个概念性知识，它是建立在数轴、绝对值、二次根式和方程等数学范畴中的知识。常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根。非负数的性质在解题中颇有用处，对培养学生的数学思维能力非常有帮助。
关键词： 非负数；性质；应用
长期以来，非负数是初中数学不可或缺的重要组成部分，而且在历届中考命题中既属重点方向又是难点内容。应用非负数解决问题的关键在于能否识别出题目中隐含的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决。以下本人通过几个例子谈谈非负数的应用。
一、初中数学中的非负数
1. 当a 为实数时，|a |为非负数。
2. 当a 为实数时，a 2n (n 为正整数)为非负数，特别地，当n =1时，a 2为非负数。
3. 当a 为非负数时，
为非负数。
4. 当一元二次方程有实数根时，Δ 为非负数。
二、非负数的性质
1. 数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数。
2. 有限个非负数的和仍为非负数，即
若a 1，a 2，…，a n 都是非负数，则a 1+a 2+…+a n ≥0。
3. 非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数。
∴(a -1)2+(b -1)2+(c -1)2+π-3>0，
三、非负数在解题中的应用
(一) 代数中的运用
例1：(2018·广东第14题)已知
则a +1= 。
解：由非负性可知a -b =0，b -1=0，
分析：要证△ABC 为直角三角形，须求出a ，b ，c 的值，再利用勾股定理的逆定理证明。发现等式中a ，b ，c 都有平方项，于是想到用配方成平方。
则a +1=1+1=2。
例2：(2019·四川内江第22题)若
则a -10012= 。
解：∵a -1002≥0，
综合上述各种理论，Doolittle指出尽管就合作学习的构成还未完全达成一致，但其中五大要素是至关重要的：1）积极的相互依靠，2）面对面的互动，3）个人的义务4）小组&人际沟通技巧，5）团队自我评估。
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由得
∴a -1002=10012，
∴a -10012=1002。
二是现场总线技术的使用。信息技术的发展改变了自动化系统结构，基于网络集成自动化系统的信息系统得以形成，现场总线技术也就此诞生。通过一根串行电缆就能连接控制设备和执行设备，最终和中央控制器建立数据流联系[3]。当前，现场总线已受到国际社会的广泛关注，并有向工厂设备间基础通讯网络方向发展的趋势。
例3：(2019·湖北咸宁第6题)若关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有实数根，则实数m 的取值范围是
( )
A.m <1 B. m ≤1 C. m >1 D. m ≥1
解：∵原方程有实数根，
综合前述测试以及论证，大功率参量阵定向扬声器的定向音频，在室内复杂通道与空间的轨道交通车站，作为传统应急疏教引导标志的补充，有着显著的效果。其研究成果对大功率参量阵定向扬声器在其他类似场景中的推广应用，也有着积极的意义。
∴Δ ≥0，
即4-4m ≥0，
解得m ≤1，
故选B。
证明：假设x ，y ，z 都不大于零，即x ≤0，y ≤0，z ≤0，则x +y +z ≤0，
∴a =7，b =24，c =25。
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例4：设a ，b ，c 是不全相等的任意实数，若
求证：x ，y ，z 中至少有一个是正数。
分析：用反证法证明，假设x ，y ，z 都不大于零，则x +y +z ≤0，再利用配方法得证x +y +z >0，从而产生矛盾。
阿强正惊呆时，大刘说：“阿强，这些东西都是还给你的，我们小区要配物业公司，但你不愿掏钱，我们大伙儿就商量了这个办法来刺激刺激你。”
1.网络通信加密。网络通信加密，指的就是在网络传输的过程当中，进行动态加密，然后在传输通信数据的过程当中，再进行线上加密，以此来确保密匙始终处于动态的环境之下。在这种情况下，我们在加密或者解密数据的过程当中，就始终处于动态分配数据的过程当中，有效的避免了信息的泄露，确保了通信安全。
以聚氯乙烯和煤焦油为主要原材料，掺入适量的外加剂，以水为分散介质而制成的水乳型防水涂料，称为聚氯乙烯防水涂料。聚氯乙烯防水涂料在施工应用中，也需要铺设玻璃纤维布或聚酯无纺布等材料进行增强处理，以达到增强的效果。
而
“核定水域纳污容量，提出限制排污总量意见”是较熟悉的经典语句。但需要指出，这个“水域”不是指某一局部河段，而是指一条河流。按照河流的水文特征水量（径流量）及水质管理目标，是可以计算河流的纳污容量的。
=(a -1)2+(b -1)2+(c -1)2+π-3，
由非负性可知 (a -1)2+(b -1)2+(c -1)2≥0，
4. 有限个非负数的和为0，当且仅当每个加数都为0，即当a 1，a 2，…，a n 均为非负数时，a 1+a 2+…+a n =0⟺a 1=a 2=…=a n =0。
即x +y +z >0，
这与假设矛盾，所以x ，y ，z 中至少有一个是正数。
例5：实数a ，b ，c 满足
求a ，b ，c 的值。
分析：本题条件中只有一个等式，而所求有三个未知数的值，因此须考虑利用非负数性质解题。由于b =b -2+2，而
于是可配方。
解：由得
由非负性可知
∴a =3，b =3，c =3。
土木工程施工的综合性很强，在当前的城市建设中存在许多不同类型的土木工程项目，以便满足城市生活和生产中的不同功能。这一要求给土木工程的施工过程提出了更高的要求。
(二) 几何推理中的应用
例6：设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+1250=14a +48b +50c ，求证：△ABC 是直角三角形。
解得a =b =1，
证明：由a 2+b 2+c 2+1250=14a +48b +50c ，得
(a 2-14a +49)+(b 2-48b +576)+(c 2-50c +625)=0
∴(a -7)2+(b -24)2+(c -25)2=0，
由非负性可知a -7=0，b -24=0，c -25=0，
另一方面，要保持对羔羊的观察，一经发现异常，及时根据羔羊的各种症状确诊羔羊的病症，针对大肠杆菌病做出及时、准确、高效的治疗。另外，当羔羊出现神经类的症状时，标明其大肠杆菌病已经进入晚期，治愈的概率极小。做好羔羊的治疗与防范工作，能够有效抑制大肠杆菌病的发病率，控制羔羊疫情发展。促进养羊场经济效益的提升。
∵72+242=252，
∴a 2+b 2=c 2，
∴a ≥1002，
∴△ABC 是直角三角形。
(三) 求最值的应用
例7：已知a ，b 为实数，设M =7-4a 2-b 2+4a -2b ，求M 的最大值。
发病率高、治愈率高。症状没食欲，精神萎靡、体温偏高或正常，拉稀便。不过这种类型虽然发病率高，占到总发病率80%左右，但可以全部治愈。
分析：由于非负数的最小值为0，因此当非负数为减数时，差有最大值，于是可配方。
解：M =7-4a 2-b 2+4a -2b
2）监控原则。除了常规监测外，检修人员也要做好日常记录工作，对各状态参数做到心中有数，并对其进行分析，及时监控输电线路异常情况，并以此为基础设置相关台账和状态评估卡，用以综合分析和评估线路运行状态，最大程度降低高压输电线路的故障发生率。
=7-(4a 2-4a +1)-(b 2+2b +1)+2
=9-(2a -1)2-(b +1)2
=9-[(2a -1)2+(b +1)2]，
由非负性可知(2a -1)2+(b +1)2≥0，
∴当2a -1=0且b +1=0，即
且b =-1时，M 的最大值为9。
综上所述，非负数的意义及其性质对一些问题的解决有着不可替代的作用，非负数在解题时，常是“条件少，结论多”的典范，我们对其应加深认识，灵活运用，特别要重视配方的使用。
作者简介：
郭菁毅，福建省泉州市，泉州五中。