高中几何课程标准之我见，本文主要内容关键词为：我见论文,几何论文,课程标准论文,高中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 问题的提出
高中数学课程中的几何设计应该兼顾：数学地看，到底应该给学生什么几何知识和几何思想；在现实的和未来的学习经验（知识的经验和实际的经验）中，提升学生对几何价值的认识，也就是兼顾学生接受继续教育和直接工作中，他们能否几何地认识事物和所学学科，或者说是不同的学生应该有不同的几何观。
就几何而言，几何课程从内容来看应该注意到的问题可能是初等几何的责任，与初中几何和大学数学的联系，高等几何和新的几何（如分形几何）的发展。
高中几何课程的设计应该反映数学的应用性，从几何课程来看，数学应用包括：数学问题的几何模型解释（形数结合的拓展，如递归数列的几何图像、函数与方程的关系、点边图）；物理等学科中的问题的几何处理方法（如向量、网格坐标）；学生生活经验中（如建筑、艺术、绘画等）有意义的几何现象的数学含义（透视几何、分形几何等）。应该说新技术在这些过程中可以起到一定的辅助作用。
新技术是另一个需要考虑的问题。图形计算器、 PC 、 PDA 和Internet等教育技术是教、学和做数学的基本工具。它们为数学思想提供可视觉化的图像，使组织和分析数据容易实现，计算更有效和准确。它们可以支持学生在数学的各个领域的研究。技术强大的多功能性，使得我们必须再次审视学生应学什么数学，以及如何使得学生最优地学习数学。
从几何课程来看，技术在教学和学习中，可以在以下几点超越传统教学手段：（1）几何的魅力在于运动与变化，如技术支持下的平移、旋转、伸缩和对称等。（2）更好地帮助学生理解空间图形的直观性，帮助培养学生的几何直觉。（3）互动式的几何软件或工具，使学生有机会深入地研究蕴藏在几何现象中的代数结构。（4）技术所特有的强大的数据采集和处理功能，使广义的“形数结合”成为可能。
演绎在传统的数学教育中占有绝对的地位，这个地位在较长的时间之内也许还将是主流，但是毕竟数学教育的改革使得“数学实验”进入了人们的视野，与此同时，人们对数学猜想和推理与证明的认识也在不断更新和扩展。这就使得我们面临如何处理它们之间相互关系的问题。
比如，我们是否允许一个没有严格证明的数学猜想存在，并给予适当而积极的评价，是否允许“实验几何”的存在。如果我们的高中数学课程设计希望学生在最后的3 年基础教育中获得更多更有价值的数学思想和方法，那么就应该找到演绎的数学内容、方法与以实验为背景的数学猜想、数学直观之间的平衡点。
2 过程标准
以下的过程标准，或者说是发展性纲领并不是几何课程标准制定中所独有的，事实上，它们应该是所有高中课程标准所应该考虑的，只不过相对于代数或概率等内容，它们各自在以下各个方面的份量不必相同。
以下的各个方面也不是独立的，是相互联系和渗透的。比如，问题解决中不可能缺少推理和证明。高中阶段的学生在各个方面的学习都应该有表现合作与交流的机会。
以下的过程标准并不是具体的教学内容，而是贯穿于教学内容标准之中的。
高中阶段的数学教育不同于初中和小学阶段的义务教育，它是学生在基础教育的最后阶段，所以它应该使学生有机会学习到他们将来在继续求学和直接参与社会工作时，必须掌握的重要的数学内容和方法。因此，在设计高中几何课程标准过程中，从内容和方法上看， 应该就这2点仔细研究，并搞好相应的实验。
2.1 推理与证明
长期以来，几何就承担着推理与证明的责任，这种责任并不会因为数学教育的改革而消亡，不论是布尔巴基学派的“欧几里得滚蛋”，还是“新数运动”最终都没有把几何所承担的推理与证明的责任去掉。这是因为，几何比其它数学内容能更好地使学生体会和理解数学世界的推理与证明，或者说是更明确、更符合人们认识事物的直觉。
如果说《国家课程标准（初中阶段）》并没有否认这一点，但却更多地关注直观几何的话，那么高中阶段应该使学生面对未来的继续学习和工作，有机会更多地、深入地领会数学中的推理与证明的重要意义，获得数学推理与证明的几何经验，并注意培育学生在这个过程中对自己的推理与证明进行反思，这样的反思是学生最终实现学习的主体性的根本。尤其是那些准备继续高等科学教育的学生。
同时，不论是针对哪种学生，面向未来的几何教学都应该有更为开放的观念——揄与证明的形式与内容的变化。比如，不必要求完全的公理化证明，允许较为宽泛的推理与证明的基础，借助于几何画板、图形计算器等新技术扩展学生获得揄与证明的途径。这种变化或改革应该与其他的过程标准紧密联系。
几何课程设计应该精心选择案例、创设机会，使学生在揄与证明的学习过程中的努力和付出是值得的。
案例1 等边三角形内一点到三边的高之和等于什么？
（1）静止的面积法证明：
S[,△ABC]＝S[,△PAC]＋S[,△PAB]＋S[,△PBC]（如图1所示）。
图1 点到边的距离（一）
（2）运动的几何方法证明：
首先固定PF的长度，让P点在与线段AB平行的线段MN上移动（如图2）（保持P点到AB边上的高不变）； 这时问题就变为“从一个等边三角形的任意一条边上做其它2边的高，它们的和是什么？”（如图3）。如法炮制，过P做MC的平行线，交N到MC的垂线NT于S点， 根据矩形和等边三角形的性质，PE＝ST，PG＝NS，这样，PE＋PG＝NS，最后，PE＋PF＋PG的和就是△ABC的高CD的长度。
图2 点到边的距离（二）
图3 点到边的距离（三）
（3）实验几何的方法：利用动态几何软件（几何画板， 卡式几何等）观察猜想，最后发现PE＋PF＋PG等于等边三角形的高。
●方法（1）之所以成立是因为PE×AB＋PF×AB＋PG×AB＝CD ×AB，而PE×AB＋PF×AB＋PG×AB＝（PE＋PF＋PG）×AB，从而得到（PE＋PF＋PG）＝CD，也就是说代数运算的分配律和消去律为它们的基础，第1个等号成立是几何的，第3个等号成立是代数的；反过来，这个几何命题也就是代数分配律的一个几何模型。
●方法（2）是几何的，也就是没有代数运算律的推理与证明。
●方法（3）作为技术参与下的学习方式， 使得学生很容易找到问题的答案，并且这个答案与学生的直觉是一致的。因为学生接触该问题后，第一直觉就是等边三角形的高的长度，也就是当P 点在三角形的顶点时的情形。应该说实验的方法可以帮助对严格推理与证明有障碍的学生，获得一定的几何体验，并从中发现推理与证明的方法。
●问题的拓展：比如，当P点在等边三角形外时，有什么结论？
2.2 问题解决
问题是数学的心脏。一个没有问题的学科是没有生命力的学科，同样没有问题的数学教学也是没有生气的数学教学。处于一个几何世界的学生每时每刻都被几何的现象所包围。学生对几何的直觉和接受在儿童时代就已经开始，但遗憾的是，随着学生学校数学的学习，这种直觉和非正规认识慢慢地正在消失。
高中几何课程设计应该仔细地、认真地精心挑选合适的问题，使学生能够接触各种问题——包括与学生经验相联系、具有反思价值的数学问题，有其它学科如物理、化学等科学背景的准实际问题。这种问题的设计有时可以略微超越学生所掌握的已有知识的范围，以便他们可以提出自己的几何猜想。
问题解决既可以作为概念教学的一种学习模式，也可以作为发展学生数学思维的一种手段，通过解决问题使学生获得面对问题的各种决策方法，并能够作出合理的评价。
在问题解决教学设计中，教师应该充分预估在学生解决问题的过程中可能发生的各种歧义，并有能力分辨出哪些解决问题的策略可取，哪些策略是不值得继续深入下去的。教师应该能够随时对学生的解决问题的策略作出合适的评价，并随时调整自己的教学策略。
问题解决与其它过程标准，如推理与猜想、多重表示、交流与合作紧密相关。
案例2 寻找平衡点学生的问题。
（1）在图4中找到A、B、C、D4点连杆的平衡点， 假设连杆没有重量；
图4 空间四面体重
（2）如果图4中的A、B、C、D4点不在同一个平面上， 一个在顶点有重量的四面体的平衡点在哪里呢？为了降低思维的难度，我们可以先考虑4个顶点的重量相等的情形。
（3）对以上2个问题的解决，你能够发现什么数学意义？
教师的任务
（1）弄清物理和数学，直觉与定律， 可以进一步提问“用上述模型，解释为什么三角形3个顶点到对边中点的连线共点， 并称之为重心”；
（2）寻找时机，发展学生的严格推理与证明能力。如对“四面体的重心”，“任意一个顶点”，“与该顶点相对应的面的重心”，“三点共线”等的把握；
（3）根据学生的知识水平，发展学生解决问题的多种策略， 如向量法和坐标法。比如，寻找平面上点（1，3），（－3，6）和（2，－8）的平衡点，在这些点上分别有1kg，2kg和3kg的重量。又比如，在三维空间中有4个点，分别是（1，2，3），（2，2，2），（－1，0，4）和（1，－3，－1），在这些点上分别有1kg，2kg，3kg和4kg重量，那么它们的平衡点又在哪里呢？
（4）预估学生的各种策略，作为积极的评价。
2.3 多重表示
中学数学教育中，“数形结合”是大家普遍关注的，在教学实践过程中，教师和学生也都付出了大量的努力。多重表示是“数形结合”的推广和延伸，这是因为数学对象的多样性及其相互联系决定了数学表示的多重性。仅从电学数学的范围看，数学对象就包括函数、代数式、等式与不等式、图形、数组、表格等多种形式，而同一问题往往存在着不同的表示形式，同一数学形式也可描述不同的数学对象和事实，因此就产生了数学的多重表示，这是数学本体的问题，是客观存在。
所谓“表示”是指数学和其它学科中的各种现象和事实、对象的数学化过程。高中生的数学学习应该有机会了解和接触到同一问题的不同表示形式，并能体会这些不同的表示形式之间的优劣与差异，从而学会做出自己的选择。多重表示的提法本身就蕴涵有关注不同表示形式之间的联系。
高中阶段的几何内容在实现学生学习过程中的多重表示方面，应该占有一个关键的地位，因为坐标、网格、向量、空间和平面图形等表示形式是多重表示中具有良好直观的形式，它们为数学对象、事实和过程的其它表示形式的实现提供了一个可视觉化的背景，不可否认，技术在实现多重表示方面扮演着重要的角色，甚至有时是决定性的作用。
案例3 用各种能够实现的方法，画出奥林匹克五环旗。
在这个问题中关键是“圆”表示，还有就是圆与圆之间的关系。
（1）“欧氏几何”的方法，即用图形表示“圆”；（2）用直角坐标系方程表示为x[2]＋y[2]＝1；（3）用
（4）向量形式用
（6）用极坐标方程表示为ρ＝1。进一步的问题就是，哪种表示方法更适合画出奥林匹克五环旗，也就是牵涉到“圆”的平移、对称变换等事实。
2.4 交流与合作
高中学生已经有一定的处理与他人关系的能力，这种能力可以通过数学课堂进一步得到发展。这就要求课程设计和教师为此作好准备，既有材料上的准备，也有心理上的准备。[5]
在高中数学教学过程中，创设情景使学生体会在数学学习中的交流与合作的意义和重要性，以便他们在交流与合作中获得更多学习乐趣，并同时也体会数学的实用价值和数学的美学价值。
通过观察学生学习过程中与他人的交流与合作方式，也为教师全面评价学生的数学学习提供了机会。
虽然人们生活在3维空间中， 但是空间几何的学习和认识仍然是高中学生较难理解和掌握的。针对全体的高中学生的几何课程设计，应该考虑到在其中为学生营造适于他们展开交流，并最终形成合作的问题和教学背景，这种背景和问题可以是实际生活中的几何现象，也可以是其它学科中的知识内容。