多样性与创新：2015年北京中学入学考试开放试题赏析_北京中考论文

多样与创新：2015年北京中考开放题赏析，本文主要内容关键词为：北京论文,中考论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、写在前面

      南京大学哲学系郑毓信教授一直倡导从开放题到“开放的数学教学”[1～3]，并指出：“事实上开放题的应用，只是为我们改进数学教育提供了新的更大的可能性，但其本身却并不能保证这种可能性的实现，这也就是指，学习空间的开拓并不等于已经取得好的教学效果.”近十年来，各地中考卷中虽然都少不了一两道开放题，然而都是层次较低的开放题，鲜有“高质量”的开放题.研习2015年全国各地中考数学卷，北京卷的确让人眼前一亮，全卷安排了多道开放题，而且这些开放题的呈现形式丰富多样，命题组对开放题的经营与创新，让笔者十分感动.本文列举该卷中典型的开放题，并跟进赏析，与命题爱好者研讨.

      二、2015年北京卷开放题赏析

      考题1（第14题） 关于x的一元二次方程

=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=________，b=________

      思路：由于关于x的一元二次方程

=0有两个相等的实数根，得到

，找一组满足条件的数据即可.

      赏析：考题考查一元二次方程根的判别式，属于代数方程领域核心概念，设计成开放式问题，同时让不同的学生有不同的速度，比如像上面思路中那样的一般解法：计算出Δ=0带来的“

”再写出一组可能的解；而有些思维深刻的学生如果认识到“

”是完全平方式，则可以直接写出一组可能的解.

      考题2（第16题） 阅读下面材料：

      在数学课上，老师提出如下问题，“尺规作图：作一条线段的垂直平分线”.

      小芸的作法如下：

      （1）分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD.如图1所示.

      老师说：“小芸的作法正确.”

      请回答：小芸的作图依据是________.

      

      思路：通过作图得到CA=CB，DA=DB，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理判断CD为线段AB的垂直平分线.所以依据主要是“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”.当然，从严谨角度看，还应该补上依据“两点确定一条直线”.

      赏析：课标（2011年版）规定的基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线.这次北京卷用填空题最后一题强势引导广大师生重视尺规作图，而且重视作图依据的考查，体现了命题组对几何教学中尺规作图的教学引领：不仅会操作，更关注操作背后的依据.

      考题3（第26题） 有这样一个问题：探究函数

的图象与性质.

      小东根据学习函数的经验，对函数

的图象与性质进行了探究.

      下面是小东的探究过程，请补充完成：

      （1）函数

的自变量x的取值范围是________；

      （2）、（3）限于篇幅，略去；

      （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是

，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________.

      思路：对陌生函数的图象与性质进行探究，可以采用“列表、描点、连线”法，并在得出函数图象之后，归纳函数的其他性质：①该函数没有最大值；②该函数在x=0处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限.

      赏析：引导探究陌生数学知识，而且又是根据此前学习过程中积累下来的学习经验或函数研究的“基本套路”，基于学生“最近发展区”的探究引领是本题最为积极的导向价值.

      考题4（第28题）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作HQ⊥BD于点H，连接AH，PH.

      （1）若点P在线段CD上，如图2.

      ①依题意补全图2；

      ②判断AH与PH的数量关系及位置关系并加以证明.

      （2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）

      

      思路：（1）①根据题意画出图形即可；②如图3，连接CH，先根据正方形对称性质得出AD=HC，再结合△DHQ是等腰直角三角形，由“SSS”定理得出△HDP≌△HQC，故PH=CH，∠HPC=∠HCP，由正方形的性质即可得出结论.

      （2）如图4，根据四边形ABCD是正方形，由QH⊥BD，可知△DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性质得出PD=CQ.作HR⊥PC于点R，由∠AHQ=152°，可得出∠AHB及∠DAH的度数，设DP=x，则DR=HR=RQ，由锐角三角函数的定义即可得出结论.

      

      赏析：这道题的解题策略体现了“并列式问题与递进式求解”，即第（2）问在图形变式之后，仍然有等腰直角三角形APH，这有助于问题突破和思路贯通.另外，让人叹为观止的是中考中竟然出现了可以不写出“答案”，而只要给出求解思路，这在笔者近十多年研习中考命题的视野之中是比较少见的，北京卷也是近十年来的首次.细想一下，我们的试题或练习都是功能、结构良好的试题，而日常生活中的问题却大多是结构不良的问题，像本题这样能否规划出求解思路就显得十分重要，可以说这道考题既有效承担了中考的选拔、区分功能，又发挥了极佳的导向作用：在数学的研究与探索过程中，也许规划出正确的方向和思路是更为关键的.

      三、进一步的思考

      1.开放题命题方式是多样的，北京考题提供了极好的示范

      从上面摘引的北京开放题来看，一份试题找到这么多形式各异的开放题实在难得，而且4个开放题的开放层次、新颖程度、创新水平，一个比一个高，北京命题组对开放题的研究功夫深厚，为我们研究开放题的命题提供了有益的视角.特别是“考题4”形式上开放，倡导了一种解题导向，不能仅仅关注答案，过程同样重要，因为有时学生的思维品质往往是通过解题过程展现出来的.

      2.从开放题走向开放式教学，北京卷的命题导向值得深思

      郑毓信教授曾指出，与追求开放题的设计相比，走向开放的数学教学显得更为迫切.那种满堂灌、满堂问、填鸭式教学则需要反思，如果能借鉴开放题中的开放视角，引入到教学活动的设计中来，则往往会让自己的课堂密度下降，客观上也限制了教师的多讲，促进了学生的多思.此外，像上面的“考题3”“考题4”还是倡导一种探索未知领域的教学取向，即变“告知式”为“探究式”，让解题教学变成学生自主探索，允许路径差，提倡对他人解法的思辨或自己思路的辩护.想来，如果真能深入研究和体会北京卷开放题背后的立意与导向，则对广大一线教师践行开放式教学应该是具有重大意义的.

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