编制初中数学原创题的几点反思，本文主要内容关键词为：几点论文,初中数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一个生活场景或一个好创意都可能产生一道经典的数学试题.数学试题应当有生活味，它不能脱离现实生活，给学生一个假、大、空的感觉.同时，试题也应符合数学的特点，探索题应当具有探索的价值，太难或太易都会使得试题失去数学味或考查的价值.概率试题应当符合概率事件本身的特点，不能违背概率的这些特点，否则会成为错题.下面是笔者在编制试题时的一些反思.
反思之一：命制的试题应有生活味
数学来源于生活，又服务于生活.将数学试题与现实生活紧密相联，让试题具有生活味，可以让学生感觉到数学就在我们身边，就在我们的日常生活中.与现实生活相关联的试题不仅可以是应用题，同样可以是统计题、概率题、几何题等.千万不能为了编题而脱离生活实际，远离学生的生活，给学生一种虚无缥缈、空洞的感觉.
例1 为提高棉花的产量，棉农要采用间苗的方法.在未采用间苗技术以前，每亩地可种植棉株2万棵，每棵棉株可产棉桃30个，若采用间苗技术，平均每拔除1000棵棉株，可使每棵棉株平均增加5个棉桃.
（1）要想每亩总产量达到800万个棉桃，则需要拔除多少棵棉株？
（2）当拔除多少棵棉株时，棉花的产量最高？
学生在学习的过程中，已经见过太多的“降价、销量增加”或“涨价、销量减少”这一类的习题，他们的头脑中已经形成了用固定的模式来思考问题，解决问题，用这种固定套路解答的试题并不能真正考查学生的建模能力，基于这样的考虑，就改换了一种问题背景，命制出了例1.但这道题在出炉后，考虑再三，还是认为这道题并不合适，它不仅是城市学生非常陌生的生活场景，同时也是现在的农村学生同样不熟悉的场景，并且题中所有的数据均是人为编造，是闭门造车的产物.它仅仅是为了编题而编题，远离了现实生活，缺少生活味.
例2 某单位在一次评选中，要从6名候选人中选出三名先进个人，并进行排序，单位负责人采用了一种快捷的统计方法：本单位职工每人限投一票，票上所选人数不限，但必须按顺序排位.统计时，按每位候选人的得票数与得票分数分别进行排序，得票分数的统计方法是：每张选票上的名次即为该候选人所得的分数，如：第一名得1分，第二名得2分，其余依此类推，落选者不得分，最后统计结果的得票分数按从低到高取前三名，即得分最低者第一名，得分次低者第二名，得分最高者最后一名.
（1）统计结果显示，得票数第二名的候选人按得票分数排位为第六名，差异太大，单位负责人大惑不解：这到底是怎么回事？请你帮助他分析一下：按得票数排序与按得票分数排序为什么会有一个矛盾的结果呢？
（2）这种统计方法是否合理？如果不合理，请你改进统计方法，使它更趋于合理.
这是笔者亲身经历的一件事，由于当时的负责人不懂统计而导致她用一种错误的统计方法统计出了一个错误的结果.笔者将这件源于生活的真实事例编成了一道统计题，题中没有一名候选人的数据出现，有的只是统计方法的描述，它仅要求学生找出出现矛盾的两种结果的原因，并改进统计方法，它不是考查学生对统计数据的处理能力，而是考查学生对统计方法的理解程度.只要学生真正理解了统计的涵义，解答此题就变得非常简单.让学生在将来的工作中学会用正确的统计方法进行统计也是我们数学教师的责任.
命制的试题的背景应当来自于学生所能理解的生活现实，能够在当今学生的实际生活中找到原型，避免在试题的背景或解答中出现与生活经验或其他科学原理相悖的情形[1].
反思之二：命制的试题应有数学味
义务教育数学课程标准在总体目标中要求“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”[2].
由这段文字可知，数学教学的核心是“思维’.因此编制的数学试题应体现数学的抽象性、推理性、探索性、问题性及数学语言表达等特点，要达到能让学生主动思考的目的，能考查到学生的总结概括、归纳推理能力，也就是要求试题应有数学味.
例3 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，对角线互相垂直的平行四边形的面积等于两条对角线长的乘积的一半；
②如图2，对角线互相垂直的梯形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.
然后，他们运用类比的思想提出了如下命题：
③如图3，对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.
任务要求：（1）证明命题②；
（2）命题3成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由.
这道题在出炉以后，从表面看，很有点课题学习的“架势”.但仔细品味该题的答案发现，三个命题的证明方法与证明过程如出一辙，没有从易到难、层层递进，给人一种向纵深发展的感觉，缺乏探索的价值，少了点数学味，因此，只能把此题束之高阁.
例4 多多带着一只小狗以3米/秒的速度在跑步，发现前方33米处有一根骨头，小狗以6米/秒的速度冲上前去，多多继续以原速度前进，小狗到达了目的地后，花了1秒钟的时间叼到骨头，然后迅速掉头，仍以6米/秒的速度回到多多身边.求小狗从离开多多到与多多重新会合，花了多长时间？
这是学生非常熟悉的生活场景，有很强的趣味性和很浓的生活味.很多学生根据自己的理解列出的方程是6（t-1）+3t=33.但仔细思索之余，我们发现，要想解决好这道题，需要借助图解法，才能较好地将这一实际问题转化为数学模型，才能正确地列出方程6（t-1）+3t=33×2，此题既有很浓的数学味，又考查了学生的建模能力.
一道数学试题，总要有一两个能引起学生思考的、有价值的数学问题，才能有效地引导学生学习数学.我们不能为了突出数学的生活味而忽视了试题的数学味，试题的生活味是辅，数学味是主.
反思之三：命制的概率题应符合概率事件的特点
随着社会的不断发展，概率的思想方法也越来越重要，让学生了解随机现象有助于他们形成科学的世界观和方法论[3].概率事件的一个显著特点是随机性，另一方面，中学阶段学习的是古典概率，特点是基本事件具有等可能性.如果不注意到概率事件的这些特点，在编制试题时就有可能出现纰漏，甚至是错题.
例5 某电视台为了与观众互动，设计了一个如下页图4所示的游戏框，标有字母的部分是小球的可能入口，图中“T”字为小球挡板，以保证小球只能从入口处下落，如果观众从适当远的地方随机将小球投向这个游戏框，试画出树状图说明：小球最终落在最下面的四个区域的概率是不是相同？如果不是，请说明落在哪个区域的概率最大？落在哪个区域的概率最小？概率分别是多少？
这是根据当时某个电视台热点播出的游戏进行编制的一道题.在这道题出炉以后，笔者的自我感觉良好，认为这道题新颖、有趣，符合生活现实，观众从适当远的地方投掷小球也具有随机性，并且也通过了编辑的审查.但在用这道题考查学生时，有一位老师发现了问题，认为该题有错.信息反馈到笔者处，经过仔细分析发现，观众从适当远的地方投掷小球都是尽可能投向中间，不具有随机性.即使改为观众是蒙着眼睛投掷，使得事件具有随机性，但小球从A、B、C、D四处落下的可能性也不相等.因为A、B、C、D四个空缺处的距离相等，如果小球直接扔到这个缺口，其可能性相同，但如果扔到“T”字挡板上，则从A、D处落下分别只有一种可能，而小球从B、C处落下就分别有两种可能，也就是从A、B、C、D四个空缺处落下的可能性不相等.因此，此题失去了考查学生的意义.
例6 小敏到超市买了两种蔬菜，这两种蔬菜应付的价钱分别是11.23元和5.64元，而超市的规定是“五舍六入”，即价钱的最后一位数“分”按“五舍六入”计价到角，如果把这两种菜分别计价，则小敏应付16.8元，对小敏有利；如果把这两种菜合在一起计价，则小敏应付16.9元，对小敏不利.由此，小敏产生一个疑问，对于顾客而言，以顾客买两种菜为例，哪一种计价方式更有利（即顾客少付钱）呢？
（1）分别计价时，与原价相比，顾客能够少付钱的概率是多少？
（2）合计计价时，与原价相比，顾客能够少付钱的概率是多少？试列出表格或画出树状图说明.
这是一道与我们的日常生活息息相关的试题，由于所购买的蔬菜价格的“分”位到底是几，这是买蔬菜前无法预计的，“分”位上的数字是随机出现的，因此这个事件是随机事件.“分”位上可能出现的十个数字的可能性是相等的，因此，这个概率事件符合命题的要求.通过列表或画树状图可求出分别计价与合计计价时，顾客能少付钱的概率均为0.5，两种计价方式均同样有利.
编制的概率试题要着眼于对学生的概率思想的考查，关注对学生能力的培养和概率思想的渗透，所选取的素材应当是初中学生所熟悉的生活场景，应能被他们所理解，同时编制的概率试题也应该符合概率事件本身的特点，才能使试题有较好的效度.
反思之四：命制的试题应关注考查的有效性
由于课程标准对平面几何作了较大的调整，作为中考中传统难点的几何推理论证已被大大削弱，取而代之的是观察与比较、操作与解释等新颖的几何考题.这类考题是通过动手操作、图形的旋转、翻折运动及文字语言、符号语言、图形语言的转换等，引导我们切切实实让学生体验学习的过程，重视知识的发生过程，而不是死记硬背.[4]因此编制的这类几何探索题应有助于考查学生的探究能力，提高学生的数学素养，但编制的试题一定要循序渐进、有梯度地逐渐增加难度，充分体现不同的学生在数学上得到不同的发展这一目的，不可太难或太易，否则会使编制的试题失去考查的有效性.
例7 某课外学习小组发现了如下结论：
（1）如图5，在正△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F、G分别是BD、EC的中点，易证△AFG是等边三角形.若将△ADE绕A点顺时针方向旋转到图6的位置，其他条件不变，判断△AFG的形状，并证明.
（2）如图7，在正方形ABCD中，E、G分别是边AB、AD的中点，四边形AEFG仍是正方形，H、M、N分别是EB、FC，GD的中点，易证四边形AHMN是正方形.若将正方形AEFG绕A点顺时针方向旋转到图8的位置，其他条件不变，判断四边形AHMN的形状，并证明.
命制这道题的本意是让学生在解题的过程中领会类比思想的妙用，在类似的条件下，不仅结论可以类比得到，而且证明过程也可以类比得到.在解题时，第（1）小题的结论很快得到了证明，但第（2）小题的证明却卡壳了：第（1）小题可以证明△ADB≌△AEC，然后用全等三角形对应边的中线相等得到AF=AG，并且能证明到∠FAG=60°，于是△AFG是等边三角形.但证明第（2）小题时用类比的方法只能证明到AH=AN，∠HAN=90°，再也证明不出其他的边与AH相等.请求同事帮助也没有下文，通过几何画板验证此结论是正确的，利用解析几何的方法证明也是正确的，但用初中几何的方法无法证明，于是，笔者试着向学生发出英雄帖，终于在第三天，一名女同学在她父亲的帮助下一共添加了5条辅助线才解决了这一难题.笔者在大力表扬这名同学以后选择了放弃这道题，因为这道题太难，连老师在长时间内都无法解决的试题，更遑论学生在区区两个小时内解决.一套试卷的优劣不是看它考倒了多少学生，而应该是在有一定的区分度的基础上，让学生对数学学习充满了信心和战胜它的勇气.因此笔者将这道题重新编制，变成了以下例题：
例8 如图9，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是DB、EC的中点.
（1）易证△AFG∽△ABC，其相似比为________；
（2）若AB=AC，将△ADE绕A点逆时针方向旋转到如图10的位置，判断△AFG的形状，并证明：
（3）若AB≠AC，将△ADE绕A点逆时针方向旋转到如图11的位置，△AFG与△ABC有什么关系？请说明理由.
（4）在（3）的条件下，若旋转角为90°，试探究△AFG与△ABC之间存在什么数量关系？画出图形，写出探究过程.
经过改编后的试题呈现了从易到难的梯度：在解答第（2）小题到第（3）小题时尽管结论不能类比得出，但证明过程可以采用类比方法，第（2）小题可证明△ABD≌△ACE.第（3）小题可以类比证明△ABD∽△ACE，从而得出
，且夹角相等，比较容易得出△AFG∽△ABC.第（4）小题则着重考查了学生的猜想、探究、逻辑推理、计算能力以及数形结合的思想.在这一题中有简单问题，有中等难度的问题，也有考查学生数学思想、数学能力的较难问题，但又不是让绝大多数学生望而生畏的难题.体现了“人人在数学上得到不同的发展”的理念.
编制的数学探究题应当能有效地考查学生数学能力与数学素养，不能太难，否则学生望尘莫及；太容易，学生不需要动脑筋就能解决，也起不到培养思维能力的作用.所命制的习题应该具有层次性，不同学习能力程度的学生，都能够动手，以调动全体学生的学习积极性.