由“分数除以分数”看计算教学，本文主要内容关键词为：分数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数与计算的意义毋庸置疑：现实世界从数学的角度讲主要是数、量、形三个方面，而量的计量和形体的量化都离不开数与计算，所以说数与计算是学生认识客观世界最基本的工具和必备技能。新课程下的计算教学力改过去注重技能掌握的单一局面，在课堂中遵循着“创设情境引课题——列式计算说算理——回归生活解问题”的教学流程，部分消解了学生对计算的枯燥感和人文性弱的垢病。然而在应试重负和人们对计算教学的误读下，计算教学在现实中仍有被边缘化和异化的倾向——一方面教师人为缩短算理的探究时间，以腾出更多的时间让位于各种变式练习；另一方面是教师在课堂将算理多样化推向极致，学生看得眼花缭乱，等到热闹过后才发觉连最基本的计算技能也没有掌握，计算成了无根之萍。那么如何让计算教学突破藩篱，还以本色，真正成为学生发展和提升的平台？我以为要准确把握教材的特点和学生学习的内在规律，找准计算教学的源点、着力点和发展点，切实提高计算教学的实效性。
“分数除以分数”是苏教版教材第十一册的内容，我想通过本实例的简析，谈谈对计算教学的实践和思考。以下是课堂中学生学习情景的片断描述：
1.创设情景，引出例题
量杯里有
升果汁，茶杯的容量是
升。这个量杯里的果汁能倒满几个茶杯？
2.独立尝试，交流反馈
生1：我通过画图的方法，知道这杯果汁可以倒3杯。（解法1）
师：通过画图寻找问题的答案是一种方法，但有时候用画图是很麻烦的。
生2：我是通过计算得出可以倒3杯的。算式是
（杯）。（解法2）
师：分数除以分数，用分母相除的商作为分母，分子相除的商作分子，这样计算可以吗？
生2：我想是可以的，因为这样计算的商和正确结果一样都是3。
师：作为一种猜想这很好，如果能够证明你的猜想是正确的就更好了。
生2：（思考片刻）我想分数乘分数的计算方法是把分母相乘的积作分母，分子相乘的积作分子，现在已知两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数，只要用积除以一个因数，可以把积中的分母、分子分别除以一个因数的分母和分子。比如：
。（学生鼓掌）
师：运用乘除运算间的关系，对刚才的猜想进行了证明，非常精彩。
生3：我先把算式中的分数都化成小数，这样分数除法就变成了小数除法，算式是
（杯）（解法3）
生4：我先根据商不变的性质把算式转变成整数乘法后再计算，算式是：
（杯）。（解法4）
生5：上节课我们学习分数除以整数时知道，分数除以整数可以用分数乘以这个整数的倒数，所以我猜想这里是不是也能用这种方法来计算。算式是
（杯）。（解法5）
师：运用类比推算分数除以分数的方法，真不简单！问题是怎样来证明你的推想呢？
生5：我是这样想的，
。
3.再次尝试，选择优解
师：这么多的解法真是琳琅满目啊。你比较喜欢哪一种？（学生发表意见，解法2、3、5得到多数人的认可）下面就请你们用自己喜欢的方法尝试计算：
（学生尝试计算并反馈）。
生6：我是选择解法2，就是分子相除、分母相除的方法。可是这里分子相除的商是个小数，而分母相除的商除不尽。于是我便试着用方法5，计算过程是
。
生7：我没有改变这种方法，既然老师让我们用这种方法来计算。
师：（笑着点头）看来你还是比较执着的，你用这种方法算出结果了吗？
生7：是的，这里分母相除不是整数，我便先通分再除
。（学生热烈鼓掌）
师：真棒，这种积极思考、不解决问题不罢休的数学精神还真是令我钦佩啊！
生8：我是选择解法3的，但是这里的除数不能化成有限小数，所以我就没有办法算下去了。
师：（鼓励）不错啊，只要认真思考、积极动脑就是好样的，有时学习的这种过程比结果更重要啊。
生9：我一开始就是选择了解法5，也就是刚才××同学所说的，这样一下子就算出了最后结果。
师：我们的同学真是出色。对于刚才的方法，请大家谈谈各自的看法。
生10：我觉得把分数先化成小数再相除的方法，适用于能化成有限小数的分数除法。如果遇到不能化成有限小数的分数除法就麻烦了。
生11：我选择把分数除法转化成分数乘法的方法，这样，只要乘以除数的倒数，计算就比较方便了。
生12：我认为分子相除、分母相除的计算方法在计算例题这样的题目时比较简便，但是遇到除不尽时也是比较麻烦的。
师：可是刚才不是通分了吗？
生12：通分之后可以算出得数，但是还是比较繁琐，转化成乘法不就得了，又不是做分数加减法。
师：（转向刚才提出通分方法的同学）你觉得他说的有道理吗？如果再让你作一次选择呢？
生7：我觉得他的意见有道理，一般情况下把分数除法转化成分数乘法的方法计算比较方便。但是有时候用分母相除、分子相除的方法计算也很方便。就像例题一样，不需要颠来倒去的，很快就可以算出正确结果。所以，我认为还是要具体情况具体分析。
师：好一个“具体情况具体分析”，看来选择什么样的计算方法还要根据不同的题目来确定，你们同意吗？（大家纷纷点头）
……
一、教学的源点是什么？
“源点”是指教学的出发点。这一出发点，是基于学生已有的知识基础和学习现实而言。那么本课教学该立足什么样的起点呢？“分数除以分数”是“分数除法”单元的例4，被安排在“分数除以整数、整数除以分数”的基础上进行教学的。从单元内容看和“分数乘法”相衔接，就本单元的内容编排而言又是遵循了从易到难、循序推进的规律；从计算法则的教学编排来看，先是分数除以整数、整数除以分数，再到分数除以分数，最后才形成包摄性强的分数除法法则。分数除法是转化成分数乘法计算的，转化的方法是乘除数的倒数，例1至例4都遵循了“转化”这一基本的计算方法。前几道例题在操作中开展形象思维，让学生体会转化是合理的；而例4是这条链子中至关重要的最后一节，它让学生通过猜想与验证，理解和体会到转化是必然的。这样的编排循序渐进，使法则的教学不是被动接受，而是主动建构；不仅是形成知识技能，还是发展数学思考、培养解决问题策略的载体。
有了对学生学习的起点和新知的逻辑起点的准确把握，就完全可以开门见山、放手让学生自主探索，而没有必要过多地渲染计算情境或在情境中兜圈子，减少和挤占学生探究和猜想验证的时间。这样做是为了让学生更从容地理解并掌握新知识，积极地体悟算理、内化技能，促进学生数学素养的发展。
二、教学的着力点是什么？
“着力点”是指教学中应着重用力之处，也可以看成是教学的重点。相比较分数除法的计算方法，我认为掌握计算的算理才是本课的着力点，算理清楚了，计算方法的掌握自然会水到渠成。由于前三组除法例题的铺垫，教学例4的时候，学生对分数除法转化成分数乘法的心向已经比较明显和强烈。学习例题时，学生先是通过画图直观地看出结果，然后利用已有知识，将“分数除以整数、整数除以分数”的算法类比推广到分数除以分数，这同样属于“猜测”范畴。正因为是猜测，所以有必要加以验证，以确认猜测的正确性。对于学生解决问题中的猜想，教师在鼓励的基础上引发学生深入探究、大胆求证，促使学生利用已有知识进行说明和推理。这样学生不仅对算理有了更深刻的理解，而且通过“直觉——猜想——证明”的过程，学习探究发现规律的科学方法。
从系统论的观点来看，任何客体都是作为一个整体（系统）而存在，系统内的要素大小决定系统的层次性。“分数除法”中的四组例题形成一个系统，相互联结、相互贯通。它和分数乘法一起又组成了“分数乘除法”这个大系统，后者比前者相对地层次要高一点。当教学到除法这个较高层次时，乘除法之间的互逆关系就明明白白地显现出来。“看除法，想乘法”，这种相互关联、相互渗透的思想正是学生猜想和证明，并将新知转化为旧知实现问题解决的哲学基础。
三、教学的发展点是什么？
“发展点”是指基于教学内容的、可让学生持续发展的“点”。我们知道，数学是从现实世界中抽象出来的。学生学习数学就是为了获得“一双数学的眼睛，一个数学的头脑”，用自己的思维方式进行自由的、多角度的思考，实现自主建构。当学生对于“
”的尝试计算，出现多种不同的思维方式：有的受到分数乘法的影响，想到用“分子相除，分母相除”的方法进行计算，甚至还发明了“先通分、再相除”的计算方法；有的学生由“分数除以整数，用分数乘整数的倒数”想到分数除以分数也可以转化成乘法来计算等等，这些足以说明每个学生是有自己的数学现实的，学生的学习总是在自己已有的知识基础上的自我构建。这种基于自身实际出发的、自己去尝试计算，自己去发现计算方法的探究心向，将帮助学生建立起相互关联、完整牢固的数学概念体系，学生一旦拥有将终身受益。当学生出现算法多样化时，教师又在前引领，启发学生思考：尽管大家的思维角度不尽相同，但是基本的想法都是相同的，那就是把新的问题转化成旧知识来解答的。如果说学生原先的转化是处于无意识状态，那么通过自己对解决问题过程的反思，就增强了有意识地运用化归思想去解决新问题的意识。
当学生呈现多种算法后，如果不及时地进行优化，学生的思维只能在原有的低水平上简单重复。因此，在鼓励学生敢于发表意见、坚持己见的同时，作为老师应适时、积极地介入，合理引导学生通过优化而自觉地放弃繁杂的、低层次的算法。课堂中我让学生选择用自己喜欢的方法计算
，学生在各种方法的对比尝试中自觉地选择了具有普遍意义的算法。值得关注的是学生7在肯定优解普适性的同时，也维护着“分子相除、分母相除”解法的合理性和独特之处，从而得出“具体情况要选择不同解法”这个朴素的辩证唯物思想观。只有学生在教学中慢慢培养了这种优化意识和思考的独特视角，才能将思维水平不断发展，认知结构不断完善，数学素养不断提升。
多年来，数学教师在教学中都非常重视将书本知识传授给学生。然而，人不是机器，学生的学习活动也不是局部和孤立的，而是以完整生命体的方式整体投入的。计算教学是小学数学内容的一个重要组成部分，同样肩负着将学生成长的可能性充分挖掘、放大的教育功效。如果只注重培养认知能力，就弱化了教学的意义，忽略了作为教育的起点和归宿的人的发展。通过以上实践和思考我们也充分认识到，只要找准计算教学的源点、着力点和发展点，让学生的认知、情感、意志、态度等都参与到学习中来，就能使学生在掌握知识的同时感受和理解计算的内在意义，获得精神的丰富和完整生命的成长。这也是计算教学真正的人文意蕴。