常利率环境下带干扰风险模型的破产估计，本文主要内容关键词为：利率论文,干扰论文,模型论文,风险论文,环境论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O211.6
一、引言
在保险公司的日常经营中，公司的主要资金往来为保费的收入和索赔的支出，Grendell的书中对这种情况进行了全面的讨论，还有一个不可忽略的因素就是利率，它必定影响到公司的经营状况，[3,4]充分的考虑到这种情况对模型进行了改进，[3]中给出了破产的相关估计。另外公司还或多或少存在一个小额不确定付款流，由于这个因素的存在使保险业务更加复杂。现在引入本文要考虑的风险过程。
我们考虑如下保险业务，[0,t)时间段来到的索赔次数为N(t)，N(t)的强度系数为λ的齐次泊瓦松过程，Y[,i]代表第i次索赔，索赔为正并且各次索赔均相互独立，且分布为F(x)，
代表索赔的各阶矩，W(t)代表布朗运动，t时它具有均值为0，方差为2Dt的正态分布，W(t)，N(t)及Y[,i](i=1,2,…)三者独立，保险公司的连续保费率为c，我们假设c＞λμ，其中μ=μ[,1]，设利息系数为常数δ，
为[0,t)内的索赔总额，假设t时保险公司的资金余额为U[,δ](t)，初始准备金为u，引起保险公司资金变动的因素除保费率c外另有三个因素索赔额X(t)，不确定付款（或收益）W(t)及利息收入，我们容易推得以下关系：
dU[,δ](t)=cdt+U[,δ](t)δdt-dX(t)+dW(t)
即
注 风险过程(1)是[5]中风险模型(2.4)的一个特殊情形，把r换成δ，并令λ[,R]=σ[,R]=0，则从[5]中的(2.4)得到上述模型(1)。
在t时的折现为
根据随机积分的一般理论，我们易知U[,δ](t)，V[,δ](t)均为马氏过程，且具有独立增量，由于利率的存在，使其并不平稳，但马氏过程的一般理论仍可应用，只不过较没利率时更为复杂，至于马氏性的证明，可以参数[4]做类似证明，本文就不做论述，我们考虑无限时生存概率。设为Φ[,δ](u)，则
由于布朗运动的存在，使其与经典模型并不相同，由布朗运动的相关知识，易推得：Φ[,δ](0)=0。令Ψ[,δ](u)=1-Φ[,δ](u)，即Ψ[,δ](u)为风险过程(1)的破产概率，[5]证明了在一定的条件下某些积分－微分方程的边值问题的解就是Ψ[,δ](u)。[7]还把风险过程(1)的破产概率Ψ[,δ](u)分解成两部分：由索赔引起的破产概率和由波动引起的破产概率。本文讨论破产问题及与破产有关的其他方面问题，本文的第三部分对Φ[,δ](u)所满足的积分－微分方程进行了离散化处理，引进适当的递归关系并找到了生存概率Φ[,δ](u)的上下界。但该上下界中有一个参数Φ′[,δ](0)未知，因此在第四部分就通过对第一个积分方程进行Laplace变换的方法找出了该未知参数，第五部分对该参数Φ′[,δ](0)进行了有关的估计和进行了有关的δ泰勒展开，第六部分找到了类似古典风险模型破产概率的林德伯格估计的估计，最后一部分给出了一个简单的例子。
二、生存概率的积分程
本文讨论的出发点是Φ[,δ](u)所满足积分－微分方程
积分－微分方程(2)是[5]定理2.1(i)所给出的边值问题的一个特殊方程。王过京(1999)也给出了积分－微分方程(2)，并且在一定条件下还证明了Φ[,δ](u)是二次连续可微的。
(2)两端从0到v积分得
三、递归计算
计算Φ[,δ](u)的一种方法是利用以上所得得积分方程(6)，进行离散化处理，对
当δ=0时，用该算法及Φ′(0)=(c-λμ)/D可估计Φ(u)，但当δ≠0时，我们需要求Φ′[,δ](0)，为此我们考虑拉普拉斯变换。
四、用拉普拉斯变换计算Φ′[,δ](0)
我们对(4)进行拉普拉斯变换，令
由(9)及第3部分内容，对于任意的δ就均可利用递归来计算估计Φ[,δ](u)。
五、有关不等式
在M[,δ](r)及Φ′[,δ](0)的表达式中最基本的一个函数为M(r)，它是一个减的凸函数，因此对
六、林德伯格界
我们假设-σ＜0为M(r)收敛的一个界，也就是当r＜-σ时存在，当r≥-σ时不存在，因此我们有理由假定
我们以下的主要任务就是利用导数求极值的知识找到准确的最小值点及相应的界，由(12)可见，最小值点为以下方程的负解
uM[,δ](r)=-M′[,δ](r) (13)
由(7)及(13)得
我们讨论(13)式的解来确定(12)的上界，满足(13)的r与u有密切的关系，它依赖于u，我们记为r[,δ](u)，r[,δ](u)类似于古典模型的调节系数，(13)类似于求调节系数的方程，与经典模型不同的是，调节系数r[,δ](u)随着u的变化而变化，并不是一个常数，[3]中曾证明是一个u的减函数，为确定收敛的界，我们引进Δ(r)=-M′[,δ](r)/M[,δ](r)，[3]中指出Δ′(r)＜0，Δ(r)是一个减函数，若u=Δ(r[,δ](u))＞Δ0，则(13)式有负解。由(7)式知
Δ0=δ[-1](λμ-c+DΦ′[,δ](0))(15)
我们假设
七、指数索赔
当索赔为指数分布时，我们可以处理(8)式，我们有M(r)=(1μr)[-1]，因而有
