数学经验主义及其对数学教育的启示，本文主要内容关键词为：经验主义论文,对数论文,启示论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学思维是一种高度抽象的心智活动过程，数学推理和证明并不依赖于经验事实，但这并不表明数学与经验是没有关系的.事实上，经验是影响数学发展和数学学习的一个重要因素.数学的认识归根结蒂来自经验、来自实践[1].在数学理论体系尚不成熟的时候，经验常常成为数学发展的主要动力.在数学教育中，经验也是不可忽视的因素.只是由于某些原因，人们往往忽视经验的作用.
一、数学经验主义的历史演变
在数学悠久的历史中，一直存在着柏拉图主义和经验主义.柏拉图主义认为数学对象和数学理念不属于感性世界，数学与感性经验是分离的.从而“把知识和经验不恰当地对立起来，认为经验是纯事务性质的，而知识是与事务无关的；经验表现为对物质的兴趣，而知识则是精神和理性的；经验是附属于感觉器官的低级认识，而知识则是理智的、高超的；经验在于满足一时一事的欲望和需要，知识则探求永恒的、普遍的真理[2].
经验主义认为，数学不过是又一个科学分支，所以得出这样的结论：数学是直接与现实世界打交道的.例如，亚里士多德认为“数学是搞抽象概念的，而抽象概念则来自实物的属性”[3].亚里士多德强调常识在数学中的作用.他把公理和公设加以区别，认为公理是一切科学所共有的真理，而公设则只是为某一门科学所接受的第一性原理[3].公理是不言自明的：“公设无需是不言自明的，但其是否属于真应受到所推出结果的检验.”[3]这就是说，数学受经验的检验.正如卡尔·B.波耶所认为的：“他（亚里士多德）还进一步用语法直观主义代替了柏拉图的数学理性主义……他不像柏拉图那样把一条几何的线看作一种先于和独立于实际经验的观念.”[4]
受亚里士多德学派的影响，《几何原本》的逻辑出发点就是一些没有定义的概念、公理和公设，它们完全是从直观意义上加以解释的.尽管《几何原本》在推理过程中不自觉地运用了一些没有定义的概念和方法，如几何图形运动的概念、重合法的使用、顺序关系和连续关系等，影响了它的严谨性.但是，直到19世纪大半段时间以前，数学家都把《几何原本》看成是严格性方面的典范.
亚里士多德学派对数学发展的影响，总体说来是积极的.强调经验和常识对数学发展的作用，强调数及几何形状是实物的属性，这有助于人们充分发挥感性直观能力，大量搜集、观察和整理来自生产实际活动的素材，进行初步的理论综合.几何学的初期发展需要有这样一个比较依赖经验和常识的阶段[5].
近代数学家的认识与亚里士多德学派则不同.M.克莱因指出：“近代的数学家们主要不是从感性直观和常识的角度来理解‘经验’，而更多地着眼于数学理论的应用效果.实际应用的成功被看做是最主要的经验证明.”[5]直到1859年前后，数学表现出两个显著且互相矛盾的特点：一方面，数学的展开不是逻辑的，把直观、巧妙的推测、纯粹形式上的运算和一些物理论证拼凑起来，便引导着数学家们会肯定他们所谓的定理；另一方面，甚至于数学家们自己也相信数学已经建立了理论的总体.
英国哲学家穆勒（J.S.Mill）认为，数学是一门自然科学，它同实验科学一样依赖于感性观察，数学理论是通过归纳推理而获得的经验性概括.数学命题只是近似真实，没有符合几何定义的实在的点、线和圆.如果命题不能由经验推理出来，这种论证没有用处.一事物之不可思议，并不能证明我们对它的确信没有经验上的来源[5].显然，穆勒指出不可思议事物未必没有经验来源，这个观点是有积极意义的.还有一些数学家，从根本上相信任何纯粹数学成果最终都会找到现实原型，具有现实意义.罗巴切夫斯基在他的《新几何原本》里指出：“直到今天为止，几何学中的平行线理论还是不完全的.从欧几里得时代以来，两千年来的徒劳无益的努力，促使我怀疑在概念本身之中并未包括那样的真情实况，它是大家想要证明的，也是可以像别的物理规律一样单用实验（譬如天文观测）来检验的.”[6]
集合论悖论的出现，导致了数学基础3大学派的产生，即逻辑主义、直觉主义和形式主义.它们对数学发展中的经验因素采取了完全排斥的态度.哥德尔不完备性定理说明，希尔伯特计划是无法实现的.逻辑主义试图把数学还原为逻辑也因为遇到各种困难而行不通.直觉主义反对非构造数学的存在证明，主张一切存在性证明都必须是构造的，反对使用反证法和排中律，也是大多数数学家无法接受的.怎样使数学基础研究再现昔日的辉煌呢？首先要改变对数学性质的看法，即数学并不是一门纯粹的演绎科学，而是与自然科学一样，是一门经验科学，这就是所谓数学经验论的复兴[7].
希尔伯特曾多次强调经验与应用对于数学理论发展的重要意义.他说：“理论与实践、思维与经验是最紧密地交织着.有时理论走在前面，有时实验走在前面，总是相互证实、互相补充、互相激发.”[5]冯·诺伊曼指出：“数学学科远离它的经验来源，或者说，如果仅是间接地来自‘现实性’，是由现实激励生成的第二和第三代学科的话，这是一个最大的危险.远离经验来源，一直处在‘抽象的’近亲交配之中，一门数学学科将有退化的危险.对我来说，仅有的补救是回复到源泉去：把它或多或少地重新对应到经验概念中去.”[8]冯·诺伊曼又说：“不要把数学上动不得的严密看得太天经地义了……大多数最美妙的数学灵感都来源于经验，并且简直无法相信会存在绝对的、永远不变的、脱离所有人经验的数学严密性概念.”
著名数学家R.柯朗指出：“数学必须从具体特定的实质得到启发，而且再面向某种层次的‘现实’.飞向抽象决不能只是一种逃避；从地上出发和再次回到地面都是不可少的，哪怕不可能由同一个驾驶员掌握各段航程.最纯粹的数学事业的实质时常是由可以捉摸的物理现实提供的.”他又说：“飞向抽象的一般性高空必须从具体和特殊出发，而且还要回到这里.”[9]按照莫斯托夫斯基的观点，数学就是一门自然科学.他说：“哥德尔和其他的一些否定结果，进一步证实了唯物主义哲学的诊断：数学是作为最后手段的一种自然科学.数学的概念和方法都是扎根于经验之中的，不考虑数学起源于自然科学而试图建立数学基础是注定要失败的.”[10]
匈牙利数理逻辑学家L.卡尔马（Kalmar）在《数学基础——今向何方》一文中提出数学是一门经验科学的观点.他说，任何有意义的数学分支，其公理起初都是或多或少直接从经验事实抽象出来.为什么我们不公开申明数学同其他科学相仿，归根结蒂建基于实践之上，并且必须在实践中受检验呢？许多体面的科学并不自称是“纯演绎科学”，也有极好的名声.宣传数学是一门有经验根据的科学，并不排斥用演绎方法，因为其他许多经验科学也成功地运用着这些方法！[11]为了说明相对其他学科来说的数学的特殊性，英国数学哲学家拉卡托斯（Imre Lakatos）提出了拟经验主义的数学哲学观.指出数学是拟经验的，数学理论是按照问题——猜想——证明与反驳的模式发展的，数学理论的可检验性依赖于潜在的证伪者.这里所说的拟经验是指，数学理论是一个半经验的演绎系统.
二、经验对数学的影响
经验对数学的影响既有积极的一面，也有消极的一面.
1.经验的积极作用
经验的积极作用主要是：当一种数学理论还不成熟时，经验往往支持数学理论由不成熟走向成熟；当一种数学理论在逻辑上通行无阻，但尚未找到实际应用时，经验因素起到支持理论继续发展，逐步找到实际应用的作用；当一种理论已经有了严格的逻辑体系，并已在实践中得到充分应用的时候，它的进一步发展仍然需要经验[5].17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹创立的微积分很不完善，它突出地表现在对微积分中重要的概念“无限小量”表述不清.从而导致微积分的推理过程出现了逻辑矛盾.荷兰物理学家、几何学家贝尔纳·纽文蒂公开攻击牛顿的工作阐述不清，莱布尼兹的高阶微分根据不足.法国数学家M.洛尔也认为，新体系破坏了数学的严谨性特征，应该立即把它从这门学科中驱逐出去.英国大主教贝克莱说：“牛顿首先给x一个增量，然后又让它是零，这违背了背反律，而且所得的流数实际上是0/0.”[12]意大利比萨大学数学教授格兰弟（Guido Grandi）就级数的收敛、发散含混不清的情况，提出了“从虚无到创造万有”的怪论来攻击微积分学中的无穷级数.但是，由于微积分具有明显的实际意义，在物理和其他领域得到十分广泛而又成功的应用，因而数学家和物理学家们毫不犹豫地接受了这个理论，并努力将其进一步发展.卡瓦列里说：“只要计算结果有用就行了.”莱布尼兹认为，把无穷大量和无穷小量作为一种工具就像在代数里用虚根，有极大好处.可以说微积分的进一步发展的动力主要来自经验的影响.微积分概念不断完善的历史表明：“定性的东西必须通过定量的东西来解释.”[4]数学理论的突破是以经验的支持为前提的.
2.经验的消极作用
经验的消极作用主要是由于人们恪守在旧理论过程中获得的经验，当新理论出现时，往往不接受，或不敢对旧理论进行突破.非欧几何的创立充分说明了这一点.在17世纪末和18世纪，几乎所有的哲学家都相信，数学定律和欧氏几何一样，是宇宙设计中所固有的[13].巴罗就对欧氏几何的肯定性列举了8项理由[13]：概念清晰，定义明确，公理直观可靠而且普遍成立，公设清楚可信且易于想象，公理数目少，引出量的方式易于接受，证明顺序自然，避免未知事物.可以说，欧氏几何长期以来被人视作绝对真理.根据Tasic的评论，数学真理属于“西方文化中最难以动摇的元叙述”.然而，欧氏几何的创立者欧几里得，是第一个向欧氏几何发出挑战的人.他对第五公设存有疑惑，因此尽量避免使用这一公设，而将未用这一公设的内容放在整个体系的前面.尽管如此，由于人们深深地被欧氏几何的经验、思维、常规所束缚，在非欧几何创立的过程中还是留下了很多遗憾.萨开里甚至在已取得了即将导致非欧几何的结果时，却发现这个结论与其他结论不太合情理而放弃了.高斯虽然最早得到了非欧几何方面的成就，而且根本不为传统观念所束缚，但鉴于自己的巨大声望，怕遭到众人的反对，因此一直没有勇气公开自己的成果.在罗巴切夫斯基完成非欧几何的概念表述、逻辑推理和理论构造等一系列工作后，非欧几何的支持者寥寥，反对者、攻击者却大有人在，有人甚至宣布罗巴切夫斯基的学说是邪说.然而，非欧几何的创立，是数学史上最光辉的篇章，也是人类历史上一次伟大的思想解放的典范.
三、对数学教育的若干启示
1.充分认识经验在教育中的价值
杜威指出：“教育就是经验的改造或改组.这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力.”[2]他又说：“一盎司经验所以胜过一吨理论，只是因为只有在经验中，任何理论才具有充满活力和可以证实的意义.一种经验，一种非常微薄的经验，能够产生和包含任何分量的理论（或理智的内容），但是，离开经验的理论，甚至不能肯定被理解为理论.”[2]数学课程标准提出：“高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识.因此，应该选择学生感兴趣的、与生活实际密切相关的素材，现实世界中的常见现象和其他学科的实例，展现数学的概念、结论，体现数学的思想、方法，反映数学的应用.”[14]史宁中教授建议：“将我国中小学教育的基本目标在‘双基’的基础上再加上‘两基’，即基本知识、基本技能、基本思想与基本活动经验.”[15]史宁中教授把“基本活动经验”提到与“基本知识、基本技能、基本思想”并存的程度，是对数学经验价值的充分肯定，说明经验在数学教育中的地位和价值不容忽视.马复教授从“素质教育的培养目标、学生心理活动水平、知识的形成”[16]等方面论述了数学经验的教育价值.建构主义认为：“学习是学习者在原有经验的基础上，在一定的社会文化背景中，主动对新的经验进行加工处理，建构知识或经验新的意义的过程.”[17]这些都充分说明重视数学教育中的经验价值是十分必要的.事实上，只有当数学思想和数学知识作为一个环节归入一个人的个人经验中时，数学思想和数学知识才能被他理解或掌握.
2.从学生现有经验出发组织教学
“数学是一种普遍的活动，也就是说，它存在于所有的文化和人类的活动中.在所有的文化中，都可以找到数学的影子，不管它是自发的方式还是有组织的方式.”[18]既然如此，不同的学生就会有不同的数学经验.杜威指出：“贫民窟里的儿童和有文化的家庭里的儿童，有不同的经验；乡村的儿童和城市的儿童，有不同的经验；海滨的儿童和内地草原的儿童，有不同的经验.”[19]波利亚认为：“我们是从经验里学习，或者更进一步说，我们应该从经验里学习.”[20]事实上，学生现有的数学经验，是学生学习数学的基础，是教师组织数学教学的逻辑起点.让学生从已有的知识来学习和理解数学，在已有的知识和经验的参与下获取知识，就不会形成新旧知识连结纽带的断裂，就不会给学生带来理解上的困难.美国著名教育家泰勒指出，开发任何课程的教学计划都必须回答4个基本问题：确定教育经验、选择教育经验（学习经验）、组织教育经验、评价教育计划[21].那么，在数学教学中，“数学经验”又包含哪些内容呢？张奠宙教授认为数学经验大致可以分为：日常生活中的数学经验，社会科学文化情境中的数学经验以及从事纯粹数学活动累积的数学经验[22].这样的分类是有一定道理的.显然，学生的数学经验，既包括日常生活经验，又包括在学校数学课中已获得的知识、技能，这些是保证学生顺利掌握数学知识的重要条件和学生心理活动的必要前提.从而，数学教师应该把握现实世界中数学和课堂上数学之间的联系，了解学生已经具备的个人数学知识和直接经验.正如杜威指出的：“教育者的部分责任是同等地研究以下两件事：第一，从现有经验的种种情况中提出问题，并且这种问题需是在学生们的能力范围之内；第二，这种问题能够激发学习者去自动地探索知识和产生种种新的观念.”[19]
3.发挥经验在教学中的积极作用
经验和知识是统一的，不是两元的[2].数学有其自身的特征.数学不仅具有“从最简单的出发点（不定义的元素和不定义的关系）出发，经过逻辑的演绎和证明表达出整个体系”，还具有“从具体情形上升为一般的概念和结论，又从一般返回到具体情形来加以印证和应用的特征”[23].只有融入了学生实践知识和实际经验的教学，才能激发学生的自信心和能动性.数学课程标准明确提出，数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”[24].学生学习新的知识正是借助头脑中已有的经验，通过新知识与原有知识经验的相互作用，把新知识纳入自身的认知结构.但是，遗憾的是，正如《今日数学》、《明日数学》的主编、美国数学家L.A.斯蒂恩指出的：“教师们通常把学生的脑子当成一块白板，或者是一张空白的计算机软盘，有能力的教师可以向盘中录入任何他们喜欢的信息.但是认知科学的研究成果显示恰恰相反：学生的大脑与其说像计算机软盘，倒不如说像是计算机程序更为合适.”其实，“每个学生带进数学课堂的是一整套丰富的、先前的数学经验，这些经验构成了一个独一无二的智力框架，使学生在其中得以由新的经验创造出新的模式.”[25]从而，在数学教学中，要注意联系学生熟知的事例与经历，运用语言描摹唤起并组织学生头脑中的经验储备，通过复习、提示、铺垫、引申等方式在原有知识和新学知识之间架设起过渡的桥梁.
例如，在学习函数定义的时候，由于现实生活中函数例子比比皆是.折扣是总量的函数，重量是体积的函数，飞机、火车的行程是时间的函数，利息是时间的函数，光强度是光源距离的函数等.如果发挥学生经验的积极作用，先让学生接触日常生活中的实例，再让学生去归纳什么是函数，这样学生心目中的函数就不再是枯燥的、无意义的.反之，如果先讲映射，再到函数的抽象定义，接着便是函数的性质等.习题也是涉及定义域、函数值、对应法则之类的问题.由于缺少函数在实际生活中的例子，不少学生在学完了函数后，也会觉得函数是一个看不见、摸不着、很神秘的东西，对于函数的应用更是一无所知了.研究表明，就智力与经验对概念的学习影响程度来看，经验的作用更大，丰富的经验背景是理解概念本质的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵[26].皮亚杰指出：“在任何教学水平上，概念的形式乃是儿童活动和个体经验的结果.”[27]
4.避免经验在教学中的消极作用
经验因素在数学教学中的积极作用是人们能够认识到的.但是，经验因素在数学教学中的消极作用是容易被人们忽视的.杜威指出：“每一种经验就是一种推动力.经验的价值只能由它所推动的方向来评断.相信一切真正的教育是来自经验的，这并不表明一切经验都具有真正的或相同的教育性质.不能把经验和教育直接地彼此等同起来.因为有些经验具有错误的教育作用.”[19]
事实上，一些局部的经验性认识往往制约人们对意义更为一般性的理解.例如，在学习三角形的高时，学生往往从顶点向下作垂线并视其为高.这与日常生活中对高的理解“它是到水平或直线的距离”有关.又如，平面几何的知识经验有时也会误导立体几何的学习.再如，在刚接触虚数单位i（
=-1）时，有些学生就感到不可思议.显然这是受到
≥0（a∈R）的影响.同样，在数学方法的运用和数学思维的活动中，经验有时也起消极作用.类比方法是数学中常用的方法.通过对两个以上类比对象的比较，常常能获得新思路和新结论.显然，类比的一个最基本的前提就是由已知事实（或已知经验）出发，才能发现新想法和新结论.同样，数学直觉也是一种有效的方法.事实上，直觉不是别的，直觉是以已经获得的知识或经验为依据的一种表现.但是，类比方法和数学直觉有时也起“负迁移”的作用.又如，思维定势是按照一种固有的思路去思考问题的思维形态.它有两个基本特征：一是将新问题归结为旧问题；二是扩大已有经验的应用范围.但是，思维定势有时也会抑制学生思维的创造性，妨碍学生去发现新的知识和探索能力，成为了思维的桎梏，起着消极作用.这些经验的消极作用在教学中是应该尽量避免的.
总之，数学活动是一个组织经验领域的活动，只是它的经验领域和组织方法都十分特殊[28].从而，在数学教学中，两种倾向需要注意：其一，过分强调数学的逻辑性和抽象性，在教学中充塞了大量间接经验而没有把间接经验作为经验生长的工具，从而阻滞了学生心灵的成长；其二，过分陶醉于学生的直接经验而忽视系统知识的学习，这就从另一方向阻碍了学生的发展.
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