考虑不完全维修的装备单元维修与更换策略优化
陈阳隆， 马彦恒， 侯建强
(陆军工程大学石家庄校区无人机工程系， 河北 石家庄 050003)
摘 要： 针对装备单元维修与更换策略优化问题，采用齐次马尔科夫模型描述了装备单元的退化规律，结合准更新过程建立了考虑不完全维修的装备单元维修与更换策略权衡优化模型，并利用模型对装备单元的维修费用与更换策略进行了优化，旨在实现装备单位时间的净效益最大化，最后通过算例验证了模型的有效性，研究成果可为制定装备单元的维修与更换策略提供理论参考。
关键词： 不完全维修; 齐次马尔科夫模型; 准更新过程; 更换策略
传统的预防性维修主要是指定期维修，它存在维修不足或维修过剩的问题[1]。随着现代科学理论与技术的发展，视情维修逐渐发展成为预防性维修的主要方式。基于认知测试性设计[2]的装备可以实时的评估自身状态。当装备状态不满足任务要求时，可视情制定维修策略，安排相应的维修措施，使装备及时、准确地消除潜在隐患，提高运行的可靠性，降低突发故障带来的经济损失及安全问题。
决算报表仅仅反映非偿还性资金的收支情况，未考虑高校的特殊性，例如高校教学评估所需要的相应教学经费、生均办学经费等办学指标的报表。满足不了高校会计核算和财务管理的需要，不利于为领导专项决策提供准确的数据。
在视情维修决策建模中，维修效果是对失效单元修后性能恢复程度的衡量。维修效果主要包括完全维修(修复如新)、不完全维修和最小维修(修复如旧)，其中基于完全维修和最小维修的建模理论相对较为完善[3]。由于不完全维修介于完全维修和最小维修之间，其更加贴合工程实际，已成为当前维修建模研究的热点问题[4]。如：WU等[5]介绍了现有不完全维修模型中存在的共性问题，并依据维修后系统的退化方式，将不完全维修模型分为线性与非线性2大类；程志君等[6]采用马尔科夫链建立了系统退化维修模型，通过状态转移率表征不完全维修；潘刚等[7]采用Semi-Markov模型描述装备单元的性能衰退过程,提出了预防性维修和修复性维修相结合的不完全维修决策方法；LIU等[8]将装备单元的状态转移率与维修次数相关联,采用准更新过程理论描述装备单元的寿命变化情况，建立了基于非齐次连续时间的马尔可夫视情维修决策模型。
人们通过生产实践发现该鱼适宜开展高密度放养和高强度投喂，这就决定了养殖该鱼除了充分运用自然界中存量的阳光、空气、水体、土壤和植被的五大环境要素和生产条件之外，还需要增量，即增加物化投入，例如高密度成鱼池塘养殖需配备物理的抽水机、增氧机，实施机械换水和增氧，需要定期投放无机的生石灰、漂白粉、明矾以及有机的中草药、益生菌、藻类等水质调节剂和底质改良剂，尤其是充分利用同一水体水产养殖动物不同的食性连接而成的食物链网就该鱼养殖产生的残饲、粪便等废物进行降解、分解以及转化，为该鱼健康生长发育营造一个优良的环境，给予其生命以强有力的拱卫。
综上所述可以看出：当前研究仅考虑了维修次数对维修效果的影响，且建立的不完全维修模型虽然表达了维修效果中的修复非新思想，但并未考虑维修后装备单元衰退速度的变化。笔者首先将维修费用和维修次数引入不完全维修模型，并假设各装备单元维修后均处于最高性能状态(并非修复如新)；其次，采用性能状态衰退速度来描述不完全维修的维修效果，采用齐次马尔科夫模型来表征装备单元的衰退规律；最后，结合准更新过程建立不完全维修模型，并针对不同装备系统的任务性能需求，寻找最优的装备单元维修费用和更换策略，实现装备系统单位时间的净效益最大化。
1 模型假设与描述
1.1 模型假设
1) 装备系统L由M 个装备单元s 构成，其中连接方式可以是任意的，如串并联结构。
2) 装备单元s (s =1,2,…,M )有k s 个不同的状态。其中：g (s ,i )为装备单元s 处于状态i (i =1,2,…,k s )时的性能水平，表征装备单元s 对装备系统正常运行的贡献度；p s,i (t )为装备单元s 在t 时刻处于状态i 的概率。
3) 装备单元的状态转移过程符合齐次马尔科夫模型。
4) 装备单元状态监测费用忽略不计，当监测到装备单元状态低于维修阈值时，即进行预防性维修或更换，且维修为不完全维修，同时预防性维修成本<更换成本。
经典电动力学中，通常有两大多极子系统，分别为电多极子和磁多极子[1]。在这2个多极子家族中，最常见到的是电、磁偶极子。磁环偶极子是Zel′dovich[2]于1957年首次提出的，其具有独特的电磁性质，因此得到了许多科研工作者的关注。环偶极子与入射电磁波的响应非常微弱，而能够和电磁波进行较强耦合的电、磁偶极子以及其他多极子往往会将其掩盖，致使环偶极子响应难以被观察到。一直以来，由于环偶极子微弱的电磁响应，学界难以对其电磁特性进行观测，而超材料的引入为环偶极子的研究提供了一个全新的方向。
5) 维修效果与维修费用有关，其函数关系可通过历史数据得到。
6) 装备单元每次维修的维修费用是一致的。
7) 优化目标为在满足装备系统的任务性能需求下，优化装备单元s 的维修费用c s 和更换策略N s (即预防性维修次数)，使装备系统单位时间的净效益最大。
8) 装备单元采取维修措施后，装备恢复到最高性能状态，但并非修复如新，修复后的装备单元的性能衰退速度加快，即状态转移率会增大。
周期分割后，每个脉搏波持续时间较短，可视单个脉搏波的基线漂移是沿一条直线产生的。在单个脉搏波信号中，本文令基线漂移方程为y(n)=an+b，n为样本编号；a、b表示系数，其可通过该脉搏波的A点和E点求出。令A点和E点坐标分别为(x1,y1)和，则基线漂移方程为。再令单个脉搏波信号序列为Pr(n)，将Pr(n)减去y(n)的对应项，得到基线校准后的序列Po(n)，如式（3）所示。式中i=0,1,···,N-1，N表示当前脉搏波的样本数。
1.2 模型描述
随着认知测试性技术的发展，可以实时监测装备中各装备单元的状态。当装备单元状态低于维修阈值时，可采取维修或更换措施，使其得到不同程度的恢复。当采取维修措施时，修后装备单元的状态为不完全修复状态，且随着维修次数的增加，装备单元的可靠性将快速下降，进而影响装备任务的完成。因此，笔者考虑不完全维修，根据装备系统的任务性能需求，建立装备单元维修与更换策略权衡优化模型，为装备系统中每个单元选择最优的维修费用和更换策略，使装备系统单位时间的净效益最大，即
C =C p-C q-C a；
(1)
(2)
式中：C 、C p、C q、C a分别为装备系统单位时间的净效益、性能回报、平均维修费用和性能不足时的补偿费用；
分别为装备单元s 的最佳维修费用与最优更换策略。
2 模型建立
2.1 基于齐次马尔科夫模型的装备单元瞬时状态概率模型
采用马尔科夫模型[9]的离散状态来描述装备单元的性能状态。设X (t )∈{1,2,…,k }为装备单元在任意时刻t 的状态集合，则根据马尔科夫性有
根据各装备单元的状态转移率，通过求解Kolmogorov微分方程组可得到各装备单元的瞬时状态概率分布分别为
X (t n-1 )=x n-1 }=P {X (t n )=
x n |X (t n-1 )=x n-1 }，
(3)
式中：X (t n )=x n ，表示在t n 时刻装备单元的状态为x n ，0≤t 1<t 2…<t n 。
装备单元在t (t ≥0)时刻的状态i (i =1,2,…,k )，经Δt (Δt ≥0)后转移到状态j (j =1,2,…,k ，j ≠i )的状态转移概率为
Q i,j (t ,t +Δt )=P {X (t +Δt )=j |X (t )=i }=
λ i,j (t )·Δt +o (Δt ),i ≠j ，
(4)
式中：λ i,j (t )为装备单元在t 时刻离开状态i 转移到状态j 的状态转移率；o (Δt )为Δt 的高阶无穷小。若λ i,j (t )为与时间无关的常数，则该过程为齐次马尔科夫过程；反之，则为非齐次马尔科夫过程。
装备单元s 的k s 个不同状态的齐次马尔科夫状态转移过程如图1所示，其中：k s ，k s -1，…，2,1为装备单元s 由高到低的性能状态;
为装备单元s 从状态i 转移到状态j 的转移率。
图1 齐次马尔科夫状态转移过程
由图1可知：装备单元s 的状态转移率矩阵
(5)
式中：
在任意时刻t ，装备单元s 在各状态的概率分布可通过Kolmogorov微分方程组
=P s (t )·D s
(6)
设装备单元最低状态为维修阈值状态，当达到该状态时，立即对装备单元进行维修。修后装备单元恢复至最高性能状态，但并非修复如新，在新的运行周期中装备单元的性能衰退速度将加快。运用准更新过程理论[11-12]，将装备单元第r -1次与第r 次维修之间的时间间隔定义为第r 次维修周期，采用随机变量H r 来描述第r 次维修周期中装备单元的寿命，且满足
2.2 基于准更新过程的单元稳态概率模型
得到。式中：P s (t )=(p s,k s (t ),p s,k s -1(t ),…,p s,1 (t ))，且
初始解为p s,k s (0)=1和p s,i (0)=0,(i ≠k s )。通过求解式(6)，可得装备单元s 的瞬时状态概率分布情况[10]。
H 1=Z 1,H 2=αZ 2,…,H r =α r-1 Z r ,
(7)
(8)
式中：
为装备单元s 在第r 个维修周期内，t 时刻处于状态i 的概率;α s 为装备单元s 的准更新参数，表征装备系统单位时间的净收益。
采用装备单元的状态概率表示可靠度，结合式(8)与可靠性理论可得[13-14]：
1) 设
为装备单元s 在第r 个维修周期内停留在状态i 的随机时间，则其期望为
(9)
式中：
为换元过程。
机构中构件的长度都为常数，构件1的角度θ1为固定值，构件2由液压装置控制作为原动件，所以θ2为独立变量。然后只剩下构件3和构件4的角度θ3和θ4待求，它们的代数表达式的形式是构件长度、构件1的角度θ1和一个变量角θ2的函数
2) 装备单元最低状态为维修阈值状态，即失效状态。设
为装备单元s 在第r 个维修周期中的平均失效时间(Mean Time To Failure，MTTF)，其期望为
(10)
3) 将装备单元的维修时间视为一个准更新过程，其随着维修次数的增加而增加，设
为装备单元s 在第r 个维修周期的维修时间，且维修时间序列
服从参数为γ s (γ s >1)的准更新过程，则其期望为
(11)
式中：
为装备单元s 在第1个维修周期的平均维修时间。
若装备单元s 在失效总次数达到N s 时将进行更换，并称更换策略为“策略N s ”。设
为装备单元s 的平均更换时间，则装备单元s 在更换策略N s 下处于状态i 的稳态概率
(12)
式中：
(13)
(14)
(15)
2.3 维修成本与维修效果关系模型
当装备单元为不完全维修，设装备单元修后处于最高性能状态，且在新的维修周期内性能衰退速度加快。根据准更新过程理论，以准更新参数α s 来体现装备单元s 的维修效果，其与分配到装备单元s 的维修费用有关。设c s 和
分别为装备单元s 的维修费用和更换费用，则维修效果模型为
(16)
式中：
为安排最大维修费用(更换费用)时对应的维修效果，通常
用于表征模型的非线性程度，ζ s 越大表示维修效果越好。
2.4 考虑不完全维修的权衡优化模型
通用生成函数作为一种简洁、高效的离散随机变量组合运算工具，已被广泛地运用于装备系统的状态评估和可靠性研究等领域中。装备是由一系列装备单元按一定的结构关系构成的有机整体，因此可采用通用生成函数[15]由装备单元的稳态概率分布计算出装备系统的稳态概率分布。由式(12)求出的装备单元s 的稳态概率分布的通用生成函数为
(17)
式中：z 没有具体的取值，主要用于区分状态性能g (s ,i )和对应的概率p s,i 。则整个装备的稳态概率分布为
U L(z )=⊗{u 1(z ),u 2(z ),…,u M (z )}=
式中：Z r 为独立同分布随机变量;H 1,H 2,…,H r ,…为一个以α (α >0)为参数的准更新过程。在不同维修周期中,装备单元寿命的变化情况为：当0<α <1时，装备单元寿命随着维修周期的增加而减小；当α =1时，装备单元寿命保持不变；当α >1时，装备单元寿命随着维修周期的增加而增加。且有
(18)
论“多元文化教育”对边疆民族地区舞蹈教育的意义——以云南艺术学院舞蹈教学为例………………………………………李 华，农布七林（85）
W (g 1,g 2)=min{g 1,g 2}；
(19)
若为并联,则有
W (g 1,g 2)=g 1+g 2。
(20)
根据式(1)装备系统单位时间的净效益和装备系统单位时间的性能水平的期望值，可得装备系统单位时间的性能水平回报
2.1 经两种医学影像处理软件对病灶分割评价效果的比较 两名医师独立采用“uWS-MI”对病灶进行分割，其中分割效果评价为3分者分别为18例和19例，2分者分别为11例和10例，1分者均为1例；两名医师独立采用“GE AWS46”对病灶进行分割，其中分割效果评价为3分者分别为19例和18例、2分者分别为10例和11例，1分者均为1例。两名医师独立采用“uWS-MI”和“GE AWS46”医学影像处理软件对病灶分割效果的评价差异均无统计学意义(P=0.963)。
式中：“⊗”为通用生成函数中的求和算子；i s (s =1,2,…,M )为装备单元s 的状态变量，p L,i 为装备系统L在状态i 的稳态概率；g (L,i )为装备系统L在状态i 时的性能水平;k L为装备系统最大可能的状态数；W (·)为装备系统的结构函数。当电流传输型系统由2个单元串联组成时，有
(21)
式中：c e为装备系统在单位时间内单位性能水平下的回报量。
在策略N s 下，装备单元s 的单位时间维修费用
(22)
设装备系统的最低任务性能需求水平为w ,当装备系统性能水平低于w 时，需要进行补偿，则装备系统性能水平不满足任务需求水平w 时，带来的性能补偿
在手术的围手术期，应对患者进行有效全面的认知干预，如在术前应对患者就腰椎间盘突出症及手术治疗方案进行详细介绍，注意结合图文、视频等，提高患者的认知程度；并讲解术后康复锻炼的重要性、锻炼方法及注意事项等，使其有一个深刻的了解和掌握，便于术后开展康复锻炼，促进病情的恢复。
(23)
则整个装备系统单位时间的维修费用
(24)
式中：c f为装备系统在单位时间内单位性能水平不足时的补偿量。
为使装备系统单位时间的净效益C 最大，需要优化为装备单元s 安排的维修费用c s 与更换策略N s ,权衡优化模型如式(2)所示。
为了解决求解空间维数爆炸问题，将装备单元s 的维修分为v (v =1,2,…,n s )个等级，则第v 个维修等级对应的维修费用
因此，春梅已死，在我内心却复生寻找根源的意愿，茁壮有活力。我离开澳洲，依然从事义务工作，跟随一个人类学研究小组，来到尼泊尔与西藏南部边缘交界的高山深处。在海拔高达上万英尺的山谷之中，有一群波提亚人。我查阅资料，在地震中失踪的春梅，血缘上与他们有遥远而神秘的牵连。
(25)
由此可知:
由于式(2)中的决策变量均为离散值，应用遗传算法[16]可得到模型的最优解。此外，n s 设置过低，则c s 的解空间小，各维修等级间的区分度低；n s 设置过高，则模型求解难度增加，因此n s 的设置需要结合维修实际情况，在求解精度与求解难度之间进行权衡分析。
我们将语言课程又分成了单词，语法，语音，阅读，能力考这五部分，如图所示语音这一部分占比最大约55%，其次是语法约21%，单词10%。语音部分中外教课程相对颇受欢迎，从此可以看出，相较于单词语法，语言学习者对于语音尤其是纯正语音的需求比较大，同时也反映了目前线下教育现状中对于外语语言环境氛围的营造不足以及正宗外语资源的紧缺等问题。另外，语音课程中作为入门基础的五十音图的课程播放量达到上万次远超于其他课程，由此可知CCtalk的主要受益用户应为初中级日语学习者，他们对于入门知识需求量更大。
3 算例分析
以某无人机控制装备为例，其由3个装备单元构成，如图2所示。其中：单元1、2有3个不同的性能水平，单元3有4个不同的性能水平。性能水平代表处于该状态的装备单元对装备正常运行的贡献度，一般状态i 越低，其对应的性能水平g (s ,i )也将越小，一般结合装备历史数据通过分析装备性能得到。装备单元的性能水平与状态转移的率相关数据如表1所示。
图2 某无人机控制装备结构
表1 装备单元的性能水平与状态转移率的相关数据
P {X (t n )=x n |X (t 1)=x 1,X (t 2)=x 2,…,
P 1(t )=(p 1,1(t ),p 1,2(t ),p 1,3(t ))=
P 2(t )=(p 2,1(t ),p 2,2(t ),p 2,3(t ))=
P 3(t )=(p 3,1(t ),p 3,2(t ),p 3,3(t ),p 3,4(t ))=
(1-2e-1.15t +5.25e-1.05t -4.25e-0.85t ,
5e-1.15t -9.25e-1.05t +4.25e-0.85t ,
3(e-1.05t -e-1.15t ),e-1.05t )。
各装备单元的相关维修参数如表2所示。其中
中西教育的差异——从词源学视角进行的分析…………………………………………………………………………………王美君（2.64）
表2 装备单元 s 的维修决策参数
费用单位为元。
在装备单元更换策略下，可得到装备系统的稳态概率。根据式(18)可计算出装备系统的状态性能水平及其对应的概率。设c e=2,c f=0.8，w =60%，应用遗传算法可得到装备系统的优化结果，如表3所示。
表3 某无人机控制装备维修决策优化结果
由表3可以看出：
1) 类型1的维修策略为：每次失效后安排的维修费用为400元，并在第3次失效后安排更换，其装备系统的最大单位时间净效益为5 602元；
综上所述，足球游戏在学校的教学过程中应该合理地应用，从而使得学生更具学习积极性与兴趣，还能够激发运动潜能，更具热情地投入足球学习中，全面提升学习质量。因此，教学过程中，教师应该深入了解学生的身心状态，按照发展规律来进行教学，要针对教学实践情况选择合适的游戏方式，要全面提升技术与战术水平，来提升教学效果与学生的素质。
2) 类型2为传统的完全维修，即每次失效后采取更换措施，其装备系统最大单位时间的净效益比类型1减少31%；
（2）临时占地。本工程部分渠段需修建临时施工道路，路宽5m，根据实测渠道地形图确定本工程共计临时占耕地20亩，荒地3亩。
3) 类型3为失效后对所有装备单元采取相同维修等级(假设所有装备单元都采取第2个维修等级，v =2),其装备系统最大单位时间的净效益比类型1减少1%；
4) 类型4为将装备的任务需求性能水平降为w =20%，其装备系统最大单位时间的净效益比类型1增加21%。
通过以上类比分析表明：笔者将装备单元性能与装备系统性能进行关联，考虑了不完全维修和装备的任务需求性能水平，建立的权衡优化模型可给出最优的装备单元维修与更换策略。
4 结论
从维修实际出发，对装备单元进行不完全维修，采用装备单元状态的衰退速度衡量装备单元的维修效果，建立考虑不完全维修的装备单元维修与更换策略权衡优化模型，并通过算例验证了模型的有效性；利用该模型得出装备系统的最优维修费用与更换策略，既能保证装备系统任务的顺利完成，又可实现装备系统单位时间的净效益最大化，进而避免过度维修带来的损失；装备系统在运行中，当某一装备单元状态达到维修阈值时，将触发维修机制。由于
装备系统是由众多装备单元组成的，因此易造成装备系统停机频率高的问题，为此，下一步将结合机会维修策略进一步完善模型，解决复杂装备系统因维修造成的停机频率过高的问题。
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Optimization of Maintenance and Replacement Strategy for Equipment Components under Imperfect Maintenance
CHEN Yang-long, MA Yan-heng, HOU Jian-qiang
(Unmanned Aerial Vehicle Engineering Department,Shijiazhuang Campus of Army Engineering University, Shijiazhuang 050003, China)
Abstract ：Focusing on the optimization problem of maintenance and replacement strategy of equipment components, the homogeneous Markov model is adopted to describe the degradation law of equipment components, and a trade-off optimization maintenance model under imperfect maintenance is developed based on the Quasi-update process. In addition, the maintenance cost and replacement strategy of equipment component are optimized by using the model, aiming to maximize the net benefit of the equipment per unit time. Finally an example is given to illustrate that the model is effective and can provide theory reference for maintenance and replacement strategy of equipment components.
Keywords :imperfect maintenance; Markov model; Quasi-update process; replacement strategy
文章编号： 1672-1497(2019)02-0033-05
中图分类号： E92
文献标志码： A
DOI： 10.3969/j.issn.1672-1497.2019.02.006
收稿日期： 2018-12-22
基金项目： 军队科研计划项目
作者简介： 陈阳隆(1993-)，男，硕士研究生。
(责任编辑：王生凤)
标签：不完全维修论文; 齐次马尔科夫模型论文; 准更新过程论文; 更换策略论文; 陆军工程大学石家庄校区无人机工程系论文;