摘要：本文从安徽省高考题目中的一道例题出发，在探究各种解决办法的同时找到以平面向量为载体，利用常见的平面向量加减法、平面向量基本定理以及平面向量共线定理等，得出条件相同时或不同时的同一种问题的解决办法。目的以通过探究各种解决方法，夯实基础知识以及灵活运用以提高学生的探究数学方法的能力。
关键词：向量；数形转化；夯实基础；灵活运用
纵观全国近几年的高考和会考数学试题，一直关注考查数学本质的东西，不少试题从小的视角出发进行较为深刻的思考，力求反映一个大的问题，说明一个大的观点。例如，安徽省2009高考的填空题第14题，对于一部分学生来说解决起来是有一定难度的，而造成这种情况的主要原因是对基础知识的掌握以及灵活运用能力的一种欠缺。如何加强对这方面的理解与掌握就成为我深刻思考的一个问题。
一、试题内容
(2009年安徽省高考理科数学试题第14题)如图，给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。若其中,则的最大值是_________。
二 试题解析
从命题角度看，该题的命制基于“向量”，从向量的角度看，该题的基本模型是“数量积”。命题者在此基础上进行了创新与整合，从而使问题具有了较高的难度与区分度。问题的解决可从数与形两个角度进行探索。利用坐标运算，实际上就是转化为代数问题，即向量问题坐标化。
解法一： 可建立如下图所示的平面直角坐标系，则根据题意得：
所以有最大值2
此解法从已知出发利用向量的模与数量积的定义找到函数关系式，利用基本不等式求最值。设，也可以在已知等式两边同乘 的一个关系式，再乘一个也得一关系式，通过两方程消去得到关于角的三角函数利用三角函数性质解答本题。
解法三：利用向量的线性运算
思路分析：利用几何运算就是充分利用加法和减法的几何含义，以及一些具有几何含义的式子，进行化简、转化向量的计算。
三、试题总结
试题设计时都是以教材为蓝本，始终强调立足教材，站在纲外，题可在书外，根却在书中。考查的实质就是向量几何问题，向量几何在本质上乃是坐标解析几何的反璞归真，它的最大优越型在于向量运算的正交不变性。所以要养成树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题。
四、试题启示
由此题可见，平时一定要抓基础，重抓基础的落实，抓知识构建的落实，才能提高能力。因为一方面对基础知识的掌握以及灵活运用本身就是一种能力；另一方面在求进，求活，求新的命题指导思想下打好基础，才能以不变应万变。在课堂教学中，如果我们围绕教材重点、难点，就可以得到一种解决问题的新方法。比如在高三的模拟试题中就会发现 类似的试题：
(2013年台州一模试题第17题)
在直角梯形ABCD中，，∥，，，动点在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设(，)，则取值范围是_______ 。
当点P与B,D共线时即圆与BD相切时的值最小，且值为1，作直线BD的平行线与圆另一侧相切时的值最大，根据等面积或相似三角形可算出圆的直径为，这个距离与点A到直线BD的距离相等，所以此时的最大值为最小值的2倍，即为2，本题的答案就是。
问题的解决就是根据三点共线的这个结论，这是解决平面向量问题的一个重要工具。这类问题既似曾相识，又推陈出新，耐人咀嚼。通过此类问题的分析可以让学生学会：对于一个有点陌生的或从未见过的题，如何去理解，如何去思考，如何去研究，进而找到一个解决办法，找到一个好的“念头”，然后将念头一步一步具体化，最终找到一个解决问题的方案，并借助对问题解决过程进行反思，总结，引申，提炼，促进和深化知识的理解和方法的领悟，以适应新课改对数学科目的要求。对于出现类似的条件求向量系数和最值问题都可用此种方法。
总之，高中数学的教学是知识点的激活，而知识点的激活，是对形成一定结构的知识点的质的要求。每个知识在知识结构中都有一定的位置，但它不是僵化了的知识，而应是可以通过各种联想与当面问题发生联系的，可以信手拈来，呼之欲出的活跃知识，由于其高度的灵活与娴熟，随时可以转化为解题“绝招”。有些学生解题之所以“卡壳”，并非相关知识不掌握，而是在此情景下，“没想到”可以使问题迎刃而解的某一定理或公式。所以，本文中运用书本中平面向量的基本定理与平面向量共线这一基础问题，来甄别学生的数学素养，给人以“做题不在多，有法则行；做题不在难，有意则灵”的感觉。
(作者单位：浙江省龙游县第二高级中学 324400)
论文作者:陈丽华
论文发表刊物:《中学课程辅导●教学研究》2016年10月上
论文发表时间:2017/1/10
标签：向量论文; 平面论文; 试题论文; 关系式论文; 几何论文; 定理论文; 安徽省论文; 《中学课程辅导●教学研究》2016年10月上论文;