用“置换法”编制数学试题的实践和思考，本文主要内容关键词为：数学试题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
高中数学区域性大规模考试，包括区域性期中、期末和高三模拟考试，对各地高中数学教学、学生发展等都产生着较大的影响.在这些考试的诸多环节中，命题是最为关键的一环，而困扰命题者的常常是根据命题蓝图新编的试题数量不够，造成命制的试卷质量不高.因此提高命题者对命题素材资源的认识水平和开发利用能力，对提高高中数学命题的质量，具有越来越重要的作用.用“置换法”命制数学试题能有效开发和利用各种命题素材资源，激发命题者的创造性智慧，为顺利开展考试命题工作，实现考试评价目标提供了重要保证.下面笔者就以近年南京市高中数学大规模考试命题为例，谈谈用“置换法”编制数学试题的实践与思考.
一、置换图形
大量的数学试题中含有图形，包括立体几何、解析几何试题的图形，也包括函数的图象，将已有试题中的图形通过类比、改造等手段进行置换，往往能编制新颖而有较好考评价值的考试题.
例1 （2010年南京市高三数学二模考试题）如图1，现要在一块半径为1m、圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ，
MNPQ的面积为S，求S的最大值及相应的θ的值.
这个试题改编于苏教版高中数学教科书《数学（必修4）》第117页复习题中的习题：
如图2，在半径为R、圆心角为60°的扇形的AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
这两个题目的题干极其相似，命题者只是将原题中的矩形置换成了平行四边形，采用类比的方法编制了考试题，新颖而又似曾相识，充分体现了从特殊到一般的研究问题的方法，难度也较原题大为提高.
例2 （2007年南京市高三数学上学期期末考试题）如图3，正六边形ABCDEF的两个顶点A，D为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率的值是______.
这个试题改编于下面一题：
如图3，正六边形ABCDEF的两个顶点A，D为双曲线的两个焦点，其余四个顶点在双曲线上，则该双曲线的离心率的值是______.
命题者只是将双曲线置换成了椭圆，图形变了，离心率的值也就发生了变化，这里同样是采用类比的方法编制考试题.
二、置换情境
对于许多数学应用问题，例如函数、数列、不等式、解三角形、统计、概率等应用问题常常可以通过置换情境来命制试题.
例3 （2010年南京市高三数学三模考试题）某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个，如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个，……，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75％销售.现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为
元；如果全部在乙店购买，则所需金额为
元.
（1）分别求出，与x之间的函数关系式；
（2）该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？
本题通过置换情境，直接改编于2004年北京市春季高考数学理科试题：
某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
当然，通过置换情境命制试题除了利用其中的数学模型外，不能简单移植，而要采用适当的命题技术，变化其内在关系.例3中，改编后的试题变成了研究两个函数之间的关系，使改编后的试题不仅情境新，而且立意也新.
三、置换模型
如果两个数学试题涉及的主干知识不同，那么它们使用的数学模型也不同.例如在函数型数学试题中，有的主要研究指数函数，有的主要研究对数函数，还有的主要研究二次函数.把一个数学试题中数学模型进行置换，而其他的内在试题结构不变，就可以编制出新的数学试题.
（1）判断函数y=f（x）在区间（-∞，-1]上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）求实数k的取值范围，使得关于x的方程f（x）=kx分别为：①有且仅有一个实数解；②有两个不同的实数解；③有三个不同的实数解.
这里如果将二次分段函数模型置换为三次分段函数模型就可以得到下面的试题：
四、置换操作
一些数学试题带有操作活动的性质.例如在一些立体几何试题中，不仅有将图形展开和折叠的问题，还有图形的分割和拼补问题，将其中具有相反意义的操作进行置换，就可以编制出新颖的数学试题.
五、置换等价条件
数学试题是一种条件与结论的关系结构，通过对题中某些条件进行等价转换，便可得到新的试题.
例7 （2010年南京市高三数学二模考试题）以椭圆
（a＞b＞0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交于A，B两点，已知△OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是______.
本题只是等价置换了下面试题的条件：过椭圆（a＞b＞0）的左焦点作斜率为1的直线交椭圆于两点，其中一点与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，则该椭圆的离心率是______.
事实上，本题还可以等价置换其条件，变成下一题：以椭圆（a＞b＞0）的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2∶1的两段弧，那么该椭圆的离心率是______.
总之，利用“置换法”编拟数学试题，可以充分开发和利用已有的试题资源，促进命题教师开阔命题视野，转变命题观念，“多快好省”地编制更多精彩的试题，这对鼓励学生创造性地解决问题，引导高中数学教学，确实具有一定的现实意义.