关键词：CT系统 Radon变换 参数标定 投影定理
一、问题分析
2.1问题一的分析
对于问题一，题目要求根据已知结构的模板，建立数学模型来标定系统参数。首先分析附录给出的数据，总结经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量在512个等距单元的探测器上的规律，得到探测器单元的距离。进而根据投影定理，椭圆中心与小圆圆心的连线在探测器单元上的投影长度和实际长度的比值为圆心连线与投影线夹角的余弦值，由此可得到随整个发射-接收系统的旋转角值，即该CT系统使用的X射线的180个方向。最后利用Radon变换，分析得到CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置。
2.2 问题二的分析
对于问题二，为了确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息，可对附录3得到的图像进行像素大小变换处理，得到与正方形托盘相同大小的图像，从而确定图像的相关信息，并给出指定10个位置的吸收率。
2.3 问题三的分析
对于问题三，对附录5得到该未知物体的图像，经过像素大小变换处理，得到与正方形托盘相同大小的图像，从而确定图像的相关信息，并给出指定10个位置的吸收率。
2.4 问题四的分析
对于问题四，首先分析问题一中参数标定的精度和稳定性，考虑其中的各种误差，在此基础上设计新的模板、建立对应的标定模型，对模型的误差和缺点进行改进，从而提高标定精度和稳定性。
二、模型假设与约定
（1）假设室内温度恒定，物体不产生热胀冷缩现；
（2）假设发射-接收系统相对于正方形托盘水平；
（3）假设探测点分布均匀；
（4）假设正方形托盘水平无凹凸；
（5）假设每束X光频率强度相同。
三、模型的建立与求解
1.探测器单元的距离
CT可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。由于二维待检测介质是固定不动的，被X射线入射的待检测介质吸收衰减后的射线能量在探测器上的所占探测器单元（即接收点）与待检测物质的大小成比例。
根据CT系统的工作原理，即令整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次，并每隔一定角度采集一张图像，X射线在旋转180次过程中，小圆在一部分时间内被椭圆遮挡，无法根据数据分析小圆吸收衰减后的射线能量，因此选取未被遮挡时的小圆单独分析，被X射线入射的小圆吸收衰减后的射线能量在探测器上占有29个接收点，由图3信息可知，未知介质中小圆的半径为4mm，直径为8mm，由此可得到探测器单元的距离为：
2.该CT系统使用的X射线的180个方向
根据投影定理，椭圆中心与小圆圆心的连线在探测器单元上的投影长度和实际长度的比值为圆心连线与投影线夹角的余弦值，由此可得到，从而得到该CT系统使用的X射线的180个方向。
根据上式夹角的余弦值和反余弦值，可以得到随整个发射-接收系统旋转的的变化值，从而得到该CT系统使用的X射线的180个方向。角度为椭圆中心和圆心的连线与探测器的夹角，可得旋转角度在149.8至-29.5范围内递减。由于旋转角转过很小一个角度时其投影所占探测器单元个数存在不变的可能性，从而导致有连续两三个角度相同，因此上表中0度附近出现的异常数据属于正常现象。
3问题二模型的建立与求解
1.该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率
图像初始角度为30度，将图5经旋转30度还原后，平移缩放成像素大小为256256的图像，将图像矩阵中的数据与附件1的数据对应相除求其平均值得到其比例系数，值为0.4885。根据附录3的数据信息，经过Radon反变换得到下图
将上图经旋转30度还原后，平移缩放成像素大小为256256的图像，将图像矩阵的各个数据除以0.4885，得到各点的吸收率，其详细信息见附件problem2.xlxs。
4问题三模型的建立与求解
1.该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率
采用与问题二同样方法，将附录5数据信息，经过Radon反变换得到下图
2.将上图经过与问题二相同的变换处理，得到256256的图像，将图像矩阵除以0.4885，得到各点的吸收率。对各个位置数据乘以2，将其变为整数，然后将256×256的吸收率信息缩放成200×200的吸收率信息数据，进而根据变换后的位置信息找出10个位置的数据。
5问题四模型的建立与求解
1.分析问题一中参数标定的精度和稳定性
问题一在计算180个方向时，利用的是两个圆心之间距离（=45）和投影长度（所占探测器单元的长度），根据投影定理和反三角函数得到的，需说明的是，由于探测器单元有间距以及探测器单元量级为整数，投影长度不满整数的部分在计算中会产生误差，因此确定两圆心投影长度时会出现不可避免的误差（误差e==0.006）,其精度为99.4%。求解角度时，问题一模板的误差为，所求角度变化幅度为，稳定性较差。
四、模型评价
1）优点
（1）运用MATLAB软件进行数据运算和图表拟合，使得计算结果更加准确。
（2）模型设计简单易懂，可操作性强。
（3）改进后模型误差小，精度和稳定性更高。
2）缺点
（1）机械误差存在的因素考虑不够全面，且仅限于理论分析，有待实践过程中进一步改进。
（2）改进模型只能减小误差并不能完全消除误差。
参考文献
[1] 刘浩，韩晶 MATLAB R2016a完全自学一本通 2016.12
[2] 姜起源，数学建模，北京：高等教育出版社，2011年。
[3] CT-百度百科 https://wapbaike.baidu.com/item/CT/122415?fr=aladdin 2017.9.16
[4] Radon变换—搜狗百科
http://baike.sogou.com/m/fullLemma?lid=10732780&fromTitle=Radon%E5%8F%98%E6%8D%A2 2017.9.16。
论文作者:展金羽,郭磊,陈洁
论文发表刊物:《科技中国》2018年6期
论文发表时间:2018/8/10
标签：小圆论文; 射线论文; 吸收率论文; 探测器论文; 图像论文; 误差论文; 正方形论文; 《科技中国》2018年6期论文;