四川省苍溪中学校 628400
基本不等式 ab≤（a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号），是人教版高中数学必修五第三章《不等式》第四小节内容。利用基本不等式求最值是其重要应用之一，也是高考考查的一个热点问题，很多学生由于对基本不等式认识过于简单、片面，因此在应用时就会出现很多问题，知道要用基本不等式就是不知道怎么用，显得束手无策。为此灵活应用基本不等式求最值的方法显得尤为重要，下面就通过几例来说明，希望能达到穿针引线的效果。
题型一：神奇的“1”的妙用
例1：已知a>0,b>0,a+b=1,求y= + 的最小值。
分析：注意到条件a+b=1,充分利用“1”代换。
解析：y= + =（ + ）（a+b）=5+（ + ）≥5+2· =9（当且仅当 = ，即a= 时，等号成立）。
变式：设a>0,b>1,若a+b=2,求 +的最小值。
分析：由a+b=2，得a+（b-1）=2-1=1，再用“1”代换。
解析： +=( +)×1=( +)×[a+（b-1）]
=4+[ +]≥4+2×=4+2 3。
〔当且仅当 =，即a= 3（b-1）时，等号成立。〕
题型之二：巧妙变形后，利用基本不等式
例2：已知x＞3，求函数y=x+的最小值。
分析：巧妙变形后，使两项的积或和是定值的类型，再使用基本不等式。
解析：因为x>3，所以x-3>0，y=（x-3）++3≥2 （x-3）+3=2+3=5（当且仅当x-3=，即x=4时，等号成立）。
变式：已知f(x)= （k＞0），若存在x>3，使得f(x)≥1成立，求k的最小值。
分析：这是一道函数与基本不等式的综合题型，在解题过程中要进行有效的变形处理，才能使用基本不等式。
解析：因为x>3，所以x-3>0，且x2+6k>0。由f（x）≥1，得：2k≥=≥（x-3）++6≥2 （x-3）+6=12，即k≥6，故其最小值为６（当且仅当x-3= ，即x=6时，等号成立）。
题型之三：基本不等式在解决实际问题中的应用
例3：为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，支架（如右上图）要求∠ACB=60°，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米。为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？
分析：认真审题，找出关系量，再用基本不等式进行解答。
解析：设BC=a（a>1），AB=c，AC=b，b-c= 。c2=a2+b2-2abcos60°。将c=b- 代入得：（b- ）2=a2+b2-ab，化简得b（a-1）=a2- 。∵a>1，∴a-1>0，b= ＝ =（a-1）+ +2≥ 3+2。当且仅当a-1= 时，取“=”号，即a=1+ 时，b有最小值2+ 3。
答：AC最短为（2+ 3）米，此时BC长为（1+ ）米。
变式：某商场预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批购入x张（x是正整数），且每批均付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入的书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元。现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费。
(1)求该月需要用去的运费和保管费的总费用f(x)。
(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由。
解析：设题中的比例系数为k,若每批购入x张，则共需分 批，每批价值为20x元。
（1）由题意f（x）= ·4+k·20x，由x=4时，y=52，得k＝ ＝ ，∴f（x）= +4x（0<x≤36，x∈N+）。
（2）由（1）知f（x）= +4x（0<x≤36，x∈N+），∴f（x）≥2 ×4x=48（元），当且仅当 ＝4x，即x=6时，上式等号成立。故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用。
总之，在使用基本不等式求最值时，一定要注意保证两数（或两式）都为正数。如果和为定值，则积有最大值；如果积为定值，则和有最小值。当然也要注意等号成立的条件，这也就是我们常说的“一正，二定，三相等”。
论文作者:李林
论文发表刊物:《教育学》2017年7月总第122期
论文发表时间:2017/9/1
标签：不等式论文; 等号论文; 保管费论文; 最小值论文; 题型论文; 运费论文; 书桌论文; 《教育学》2017年7月总第122期论文;