小学数学对于推理和证明的理解偏差，本文主要内容关键词为：偏差论文,小学数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
东北师范大学史宁中教授在数学课程标准修订工作介绍时，曾提出教师要处理好合情推理与演绎推理之间的关系.要处理好它们之间的关系，就必须理解推理和证明相关内容，因为合情推理与演绎推理都属于推理与证明的范畴，通过这几年对小学数学教学的观察与研究，我发现小学数学对推理和证明的理解存在偏差，因此也很难处理好合情推理与演绎推理之间的关系.
一、小学数学对“推理和证明”内容理解有偏差
有一些小学数学老师一看到“推理和证明”，就会联想到初中和高中的几何证明题.事实上，我们看到下面关于“推理和证明”的知识网络（如图1所示）以后，就会比较清晰地了解推理和证明所包含的主要内容.
这里要强调的是：演绎推理与直接证明有所区别，演绎推理又称三段论推理，由两个前提和一个结论组成，大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论.演绎推理是“结论，可从叫做前提的已知事实，‘必然’得出的推理”.如果前提为真，则结论必然为真.直接证明，是相对于间接证明，是完全利用已知的公理进行推导，逻辑上是严丝合缝的，没有一点瑕疵，推导得出的结论的正确性是毋庸置疑的.可以用下面的例子说明它们的区别：
演绎推理：
（大前提）所有金属都能导电
（小前提）铜是金属
（结论）铜能导电
直接证明：用导电实验验证铜能导电
小学数学中的推理与证明以合情推理为主，当然也包括逻辑推理的渗透.如当我们学习了梯形的面积计算公式以后，在求一个直角梯形的面积时，学生自然想到用梯形的面积计算公式来计算，这就渗透了三段论的思想.
二、小学数学对“推理和证明”意义理解有偏差
虽然数学课程标准强调：“推理是数学的基本思维方式，推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中.”但我们分析数学课程标准中第一、第二学段目标不难发现，课程标准并没有把证明与推理纳入小学数学课程的要求.我们只强调通过合情推理发现新关系、新结论，而没有反问“为什么”，给学生提供说理的机会，说服自己、说服同学.我想通过下面的案例更好地说明这个问题.
问题：用20块方砖（边长为10 cm的正方形）拼摆出长方形图形.要求必须用上所有的20块砖.数出并记录每一个长方形的面积和周长，然后找一找并描述你发现的规律.（见表1）
我们有些教师只满足于学生得到这样的规律：“瘦长”的长方形的周长最大，“胖”长方形的周长最小.我们的教师不会让学生解释其中原因，因为教师知道这个理由要到高中才会接触到，其实学生有他们自己的理由：瘦长的长方形中，有些砖的一些边在外面，把瘦长的长方形变胖以后，原来的一些边就到了里面，这样周长就变小了.学生的理由说服了所有人，包括老师.
三、小学数学对“推理和证明”培养理解有偏差
因为对推理与证明的意义理解存在偏差，导致小学数学在培养小学生推理与证明能力方面存在偏差：
1.注重归纳推理，而忽视类比推理
归纳推理利于发现新的结论，同样类比推理也是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段.波利亚曾高度评价类比的作用和意义，说：“类比是提出新命题和获得发现取之不竭的源泉.”通过强调数学中的类比，我们可以帮助学生形成应用联系解决数学问题的态度，而不是把数学看成一些毫无联系的概念和技能.
笔者参加一次市级教学观摩活动，课题是五年级的《梯形的面积》.其中一位教师这样引入课题：先给出一个上底是3厘米，下底是5厘米，高是2厘米的梯形，让学生求出它的面积，学生通过分割、对折等多种方法求出了面积.教师利用这些求解方法，在不化简的情况下，通过归纳推理得到一个关于梯形面积公式的猜想.笔者觉得这样的设计完全忽视类比推理，割断了知识的联系.梯形面积公式推导的生长点是平行四边形面积和三角形面积的推导，即使类似于平行四边形面积的割补法不能推导出梯形的面积，作为教师也要让学生去试一试，有时候，不能证实一个方法是错的，就不能证实另一个方法是对的.
2.注重数字验证，而忽视学生的理性思考
当我们通过合情推理得到一个猜想以后，我们应该鼓励学生在他们已有的知识和经验基础上进行推理，而不是一味用数字验证，应鼓励学生在他们已知的基础上进行推理.
下面是《一个小数乘十、百、千引起小数变化的规律》教学片断：
师：知道了一个小数乘10的规律，那么我们推想一下，一个小数乘100、乘1000，小数点又会怎样变化呢？（板书）
生：乘100小数点会向右移动两位，乘1000小数点会向右移动三位.
师：这只是我们的推想，（在板书上打上问号）还需要验证.你打算怎样验证？
生：想个小数，再算一算乘100、乘1000的结果，比较一下.
师：他是这样验证的，你们呢？老师验证的方法有点不同，我也先选一个小数，先猜出结果，再用计算器验证是否正确，可以吗？那我们就来试一试.
师：以5.08为例，经过研究，5.08乘100、乘1000，小数点的移动和我们的猜想一样，其他小数呢？
生：还要验证.
有了猜想，怎样说明猜想正确呢？除了数字验证还是数字验证，教师有没有问学生这样一个问题：乘10小数点会向右移动一位，为什么乘100小数点会向右移动两位呢？学生的回答很可能是：乘10小数点会向右移动一位，小数乘100就是小数乘10再乘10，乘10把小数点向右移动一位，再乘10再把小数点向右移动一位.
学生在学习乘法分配律时，通过归纳推理得到猜想：（a+b）×c=a×c+b×c，在验证这个猜想是否正确时，教师应鼓励学生通过几何模型验证猜想，不能过分依赖数字验证.由a×c和b×c联想到长方形的面积，能不能用长方形的面积来验证这个猜想的正确性呢？可以先计算大的长方形面积，再计算两个小长方形面积的和，下面这个图（图2）直观地显示了乘法的分配律（a+b）×c=a×c+b×c确实成立，借助这个几何模型也使得该规律更加容易被记住.
3.注重练习的正确性，而忽视拓展推理的空间
推理与证明即使对大学本科生来说也是学习的难点，何况是小学生？这种观念导致一些人认为小学生不需要学习推理与证明，只注重习题的正确性，而不会拓展推理的空间.
比如在苏教版五年级下册《公倍数与最小公倍数》的练习四第2题：4和5的最小公倍数是20，等于它们的乘积.5和6的最小公倍数是30，也等于它们的乘积.学生很容易得到下列两个猜想：
（1）任何两个数的最小公倍数等于它们的乘积
我们要让学生意识到，说明猜想的正确需要严格的数学证明，而要说明这个猜想不正确，只要用一个反例就可以推翻.这个猜想马上就能证明是错误的，因为4和6的最小公倍数是12，不等于它们的乘积24.当然教师也不要忽视这些“错误”的猜想，因为它又给学生提供了更多的重要的发现机会：两个数的最小公倍数什么情况下等于两个数的乘积，什么情况下不等于这两个数的乘积？
（2）任意相邻的两个数的最小公倍数等于它们的乘积
学生用比较小的相邻两个数来验证这个猜想时，还可以比较自信地确认，当用比较大的数目验证时，他们就没有那么自信了，教师可以引导学生利用计算器来解决验证问题，学生发现这个猜想仍然是成立的.虽然学生此时还不能用已有的知识证明这个猜想，但他们仍会感叹反证法的神奇和证明的重要.
总之，数学证明与推理是一种思维习惯，小学数学只有了解推理与证明的内容、理解推理和证明的意义，并在实际教学过程中，改变教师对推理和证明的认识和培养上的偏差，学生的推理和证明能力才能得到不断发展，才能引领学生走进了数学的另一殿堂.