高中数学必修教科书中的数学探究活动分析,本文主要内容关键词为:书中论文,教科论文,高中数学论文,数学论文,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。
学习方式和教学方式的变革是中国新世纪之初课程改革的首要目标,在这样的大背景下,鉴于探究学习在培养具有创新精神和实践能力人才中的重要作用,探究学习成为数学课程改革中提倡的一种重要的学习方式,是解决中国数学教育现存诸多问题的关键.《普通高中数学课程标准(实验)》课程基本理念部分就明确指出:高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程.同时,该标准还指出:在教材编写时,应把“数学探究”等活动恰当地穿插安排在有关的教学内容中[1].在该标准指导下编写的各套高中数学实验教科书,作为实现课程目标、实施教学的重要资源,其中设计的探究活动影响着教师教学方式和学生学习方式的转变.对其进行审视不仅可以为师生开展数学探究活动提供一定的指导,也可给予高中数学教科书的修订一定的启示.但查阅文献发现,研究高中必修教科书中数学探究活动的文章鲜见.
考虑到必修课程的基础性作用,研究者选择人教A版高中数学必修教科书中的探究活动作为研究对象,对其进行分析,并给出教科书编写的建议.
一、核心概念界定
探究活动是探究性学习活动的简称,高中数学教科书中的数学探究活动指的是以解决具体问题为目的,要求学生完成“观察分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜测、探求适当的数学结论或规律,给出解释或证明”[1]等全部或部分过程的栏目,行文论述中通常会出现实验、探究、实践活动、观察、调查、交流、思考、讨论、写论文等字样.根据以上标准,确定出高中数学必修1~5教科书中的思考、探究、观察、阅读与思考、探究与发现、信息技术应用、实习作业等栏目中的281处为研究对象,具体数据如表1.
由表1可知,高中数学必修教科书体现出了探究的特点,设计了大量的数学探究活动,且其中92%的探究活动出现在思考、探究和观察栏目中.由于思考、探究与观察栏目均出现在教科书正文中,而正文部分多数是要求在课堂教学中完成的,因此可以认为教科书编写者对高中数学课堂教学中学生学习方式的设计倾向于探究性学习.
教科书中这些数目众多的数学探究活动,在探究内容、开放水平和探究方式上有着不同的侧重,反映着教科书编写者对开展探究性学习的设想,对数学课堂教学的开展具有导向作用.因此,与单纯的统计教科书中探究活动的数量相比,探究活动的内容类型、开放水平和完成方式更值得关注.
二、高中数学教科书中数学探究活动的文本分析
(一)数学探究活动的内容类型
已有研究根据内容对象对科学探究活动进行的分类比较杂乱:有的根据探究内容是知识还是应用知识来分类,如文[2]分为“对科学核心知识的探究、对科学知识应用的探究、对科学与技术的整合探究、进行STS课题探究”4类,文[3]~[5]分为“知识的探究、应用知识的探究和STS探究”三类;有的根据知识的类型进行分类,如文[6]分为“事实性知识探究、技能性知识探究和理论性知识探究”3类,而文[7]~[9]分4类,比文[6]多了类型“STS方面的探究”.研究者以为,从学科的角度看,“对科学与技术的整合探究”及“STS探究”属于学科知识应用的范畴,因此文[10]的二分法值得借鉴,可将高中数学必修教科书中的探究活动先分为“数学知识的探究”和“应用数学知识的探究”两类.
其中数学知识的探究指向具体数学知识的学习,一般与数学概念、数学定理、数学公式、数学表示、数学运算、数学方法、数学研究方法等有关,考虑到“事实性知识”和“理论性知识”的界限在数学学科中并不清晰,故舍弃文[6]~[9]的类型,而根据喻平教授文[11]数学知识分类的观点,将“数学知识的探究”分为“陈述性知识探究”和“程序性知识探究”两类.其中陈述性知识探究指向数学陈述性知识的学习,而程序性知识探究则是对进行某项操作活动所需知识的探索.如必修1第58页中的探究:“表示的n次方根,等式=a一定成立吗?如果不一定成立,那么等于什么?”是数学公式的探究,属于陈述性知识的探究活动;而必修1第89页中的探究与发现栏目,通过探究活动让学生经历研究反函数图象关系的过程,学习观察、归纳、猜想、验证的数学研究方法,属于程序性知识的探究活动.学生通过对这些探索数学知识的探究活动的完成,一方面可以主动的获取数学知识,另一方面也可以体会探究性学习对于学习数学知识、研究数学的重要性.
应用数学知识的探究活动指向数学知识的应用,根据应用的步骤是否已经告诉学生,是否给学生提供了可供模仿的对象,将应用数学知识的探究活动分为模仿性应用和创造性应用两类.如必修4第113页中的探究栏目,要求学生模仿例题中的做法求出点P的坐标,是模仿性应用的典型例子;而必修3第50页的思考栏目:“请你从各种媒体中收集一些广告,并用统计的一些知识分析一下他们所提供的数据和结论的真实性.”要求学生运用数学知识判断日常生活中时常面对的广告是否可信,由于没有可供模仿的对象,需要学生开动脑筋才能实现数学知识的应用,属于对数学知识创造性应用的探究.通过完成这类探究活动,学生一方面可以加深对数学知识的理解和掌握,另一方面也可体验数学知识的应用性.
根据上述分类,研究者对人教A版高中数学必修教科书中的探究活动进行了统计,如表2所示.
表2数据总和与表1数据有出入,原因在于一些探究活动有两个问题,有的其中一问是知识探究,另一问是知识应用探究;有的一问是陈述性知识探究,而另一问是程序性知识探究;在分类时进行了两次计数.由表2可见:高中数学必修教科书中,探索数学知识的探究活动明显多于应用数学知识的探究活动(其比率的t检验:t=4.219,P=0.013),而数学知识的探究活动中,陈述性知识探究所占比重都比较大,其中最小的已经达到了53.0%,而且陈述性知识探究与程序性知识探究的差异达到了显著性水平(其比率的t检验:t=8.951,P=0.001).而应用数学知识的探究活动中,模仿性应用探究活动较多,与创造性应用探究活动的差异也达到了显著性水平(其比率的t检验:t=3.436,P=0.026).
(二)数学探究活动的开放水平
文[12]~[13]在探讨科学实验活动的探究水平时,分类标准是探究的问题、方法和答案是否由学生完成.研究者认为,数学探究活动与一般的科学实验活动有差异:一般科学实验活动往往会有既定的探究方法或步骤可遵循,学生通过操作就能得到探究结果,但数学探究活动的步骤或方法却显得缺少规律性和更具有灵活性.因此,文[5]~[6]、文[9]及文[12]~[13]探究水平的界定对数学教科书中的探究活动并不适用,考虑到数学开放题也具有相当的探究性,研究者认为,对数学教科书中的探究活动,探讨其开放水平更为合适.所谓数学探究活动的开放水平,指的是探究活动留给学生自主探究的空间.一般而言,学生自主探究的空间越大,探究活动的开放水平越高.查阅文献时发现,余锦锋、杨爱玲在文[14]~[15]中将教科书中的探究活动分为问题起始开放型、证据起始开放型和结论起始开放型3种.虽文中未曾直接指出分类标准,但研究者认为其依据是学生探究空间的大小,而其命名和分类的基础是探究活动中“问题、证据、结论”是否由学生来寻找(此处“问题”与常规数学题有差异,常规数学题标准形式包括条件和结论,而问题指的是剔除条件和结论后剩下的疑问).然而研究者以为,探究活动具有过程性特征,往往包括对问题的求解或论证过程,因此除了“问题、证据、结论”三要素外,也应考虑论证过程.事实上,在一般情况下,问题起到定向数学活动的作用,问题确定了,证据、论证和结论基本上就隐藏的确定了;论证、结论均与证据有关,且证据与结论之间能够互相确定,具有互相定向的作用;而问题、证据和结论一旦确定,论证也就确定了.由此可见,问题、证据、结论和论证是否已经告诉学生,显然影响着学生自主探究的空间.由此,研究者可以将高中数学教科书中探究活动的开放水平分为4个层次:问题起始型;证据起始型;结论起始型;论证起始型.这里需要说明的是:考虑到由证据推导结论在常规练习题中常见,而由结论探索证据不常见,研究者将证据起始型放到结论起始型前面,使探究活动的开放水平与难易程度有一定对应.
如表3所示,所谓问题起始型,指的是“提出问题、寻找证据、猜测结论、进行论证”中从提出问题开始就由学生来完成(其他类似定义,不再赘述).如必修3第84页的阅读与思考栏目“相关关系的强与弱”,要求学生选择身边的问题,确定变量、收集数据、计算相关系数后分析能否用线性回归模型来拟合,从问题的提出开始,就需要学生来完成,属于问题起始型;必修2第127页的探究栏目,要求学生探寻方程成为圆的条件,是证据起始型的探究活动;必修5第3页的探究栏目,要求学生探究“条件改变为△ABC是钝角三角形时,结论是否成立”是结论起始型的探究活动;而必修4第125页的思考栏目“用演绎证明的方法如何证明本题的结论”是论证起始型的探究活动.
根据上述分类,研究者对人教A版高中数学必修教科书中的数学探究活动进行了统计,数据见表4.如表中所示,结论起始型的探究在每本教科书中所占比率都最大,最低达到了64%,统计检验显示,除证据起始型和论证起始型比率差异未达到显著性水平外,其他任意两种类型的比率差异均显著(P<0.05),证实高中数学教科书中数学探究活动的设计以结论起始开放型为主.另外,通过加权平均得到,数学探究活动的平均开放水平呈现出按4、5、3、2、1的顺序增加的特征.
(三)数学探究活动的完成方式
所谓数学探究活动的完成方式,指的是在探究活动中有所发现需要的方法类型.如前所述,科学探究活动经常依赖于调查、实验来获得发现,而数学发现却经常依赖于观察基础上的抽象和逻辑上的推理.因此,参考文[2]~[6]和文[8]~[9]、根据数学探究的特征,可将高中数学教科书中仅需逻辑上的推理就能完成的探究活动,称为思想型探究活动,如必修5第3页的探究栏目,要求学生探究“条件改变为ABC是钝角三角形时,结论是否成立”,学生依赖逻辑推理即可完成;把需在观察基础上进行抽象才能完成的探究活动,称为观察型探究活动,如必修1第40页的观察栏目,要求在观察的基础上归纳图象的特征;而需要通过操作实验、观察并抽象才能完成的数学探究活动,称为实验型探究活动,如必修4第91页的探究活动,需要在做物理实验的基础上收集数据并从收集的数据中发现与之间的关系.
大体而言,思想型的数学探究活动所需完成方式较少,与常规的数学练习很相近;观察型的数学探究活动要求学生动眼、动脑,需要一定的观察能力、抽象能力和数学化能力,完成所需的方式较思想型多;而实验型的数学探究活动不仅需要学生动眼动脑,更需要学生动手操作实验,会花费较长时间,一般还与其他学科交叉,综合性较强.(注:三者在完成时的难易程度与名称并没有既定的关系,有些思想型探究可能比部分实验型探究更难,此处分类强调的是探究活动完成方式上的差异.)
根据上述分类,研究者对高中数学教科书中数学探究活动的完成方式进行了统计,数据如表5.从表中可知,高中必修数学教科书中的数学探究活动以思想型居多,观察型次之,实验型最少.统计检验显示,任意两种类型的比率差异均达到了显著性水平(P<0.05).
三、思考与建议
(一)增加程序性知识类和创造性应用类数学探究活动
高中数学教科书中的数学探究活动,从内容类型上看,陈述性知识、模仿性应用探究居多,程序性知识、创造性应用探究过少.事实上,程序性知识与创造性应用探究活动对学生问题解决能力及创新意识的培养作用更大,特别是数学知识的创造性应用,它更能帮助学生学会“数学地思维”.因此,应增加程序性知识、创造性应用的数学探究活动数量,充分发挥教科书中探究活动的教育价值.
(二)提升数学探究活动的开放水平
教科书中的数学探究活动,从开放水平上讲,结论起始型居多,问题起始型和证据起始型较少,总体而言,给学生提供的探究空间并不大,教科书的设计和编排应注重对数学探究活动开放水平的提升:
一是更多的给学生呈现情境,由学生自己提出而不是直接给出数学问题.为此,可对教科书中的一些探究活动进行适当改编,请学生来提出问题,如必修1第35页上的探究活动要求学生“画出反比例函数y=的图象并回答:(1)这个函数的定义域I是什么?(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?证明你的结论.”可将其改编为:“请同学画出反比例函数y=的图象,提出你想研究的问题.”
二是让学生自己寻找解决问题的策略和方法,而不是仅仅让其模仿.为此,教科书在设计时可在探究活动和其他内容的顺序上稍作调整,使得学生的探究在前,解决问题策略和方法的归纳与呈现在后.
(三)注重数学探究活动完成方式的多样化
从完成方式上讲,教科书中数学探究活动以思想型最多,观察型次之,实验型最少.一般而言,不同完成方式的探究活动由于侧重不一,对学生的训练也不同,适应着不同潜能类型及发展需求的学生,如实验型的探究活动,适宜动手能力较强以及将来想在数学应用领域有所成就的学生;而思想型的探究活动,适宜思辨能力较强以及将来想在纯数学领域发展的学生;等等.因此,探究活动的设计应注重其完成方式的多样化.同时,从高中阶段数学课程的基础性、全面性和发展性角度出发,不同完成方式的探究活动在数量上应该均衡,以确保不同潜能类型及发展需求的学生均能在探究活动中得到施展才能的机会,得到锻炼.
总之,教科书中的数学探究活动呈现出数量众多、内容类型丰富的特点,但在所探究知识的类型、开放水平和完成方式上应做进一步的思考,因为探究活动毕竟不是常规的练习题,它之所以叫探究活动,意味着它应该给学生提供更多探索数学的机会.希望本文能起到抛砖引玉的作用,期待教科书的编写者们能设计出更多精彩的数学探究活动,更期待这些探究活动能在数学课堂教学的实践中得到实施.