中学生数学实验，本文主要内容关键词为：中学生论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
我们都知道物理实验、化学实验。物理实验和化学实验是利用一定的仪器设备产生物 理现象和化学现象，通过观察这些现象发现或验证规律，获得物理或化学知识。
数学，除了推理和计算以外，同样可以做实验，可以通过观察现象发现和验证规律， 获得数学知识。这些现象，可以是自然界中本来就有的，也可以是我们利用一定的仪器 设备产生出来的。要从现象中发现规律，当然还要与推理与计算结合起来。
以下是中学生能懂能作的一部分数学实验。
实验1 怎样算π
π就是圆周率，也就是任何一个圆的周长和直径之比。我们都知道我国古代数学家祖 冲之计算得到π的准确值在3.1415926与3.1415927之间。
你能自己想个办法来计算π吗?办法有很多，以下就是一个。
半径为1的圆的面积等于π。以这个圆的圆心为原点建立直角坐标系，这个圆的方程就 是x[2] + y[2] = 1。两条坐标轴将这个圆的面积平均分为四等份，每一份是一个
附图
乘以4就得到π的近似值。
怎样计算第一象限内这个扇形的面积?注
附图
直线将扇形分成n个部分。当n很大时，其中的前n - 1个部分近似地可以看作梯形，最 后一个部分看作三角形。计算出这些梯形和三角形的面积，加起来
附图
图1-1是n = 20的情形。实际计算时应当取更大的n，比如n = 10000或100000，利用计 算机编程序算出4S的值，就得到了π的近似值。
附图
实验2 乐音的频率
中学物理告诉我们：声音是由振动产生的，音调的高低由振动的频率决定。频率越高 ，音调越高。
我们知道，用简谱表示的
1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(sol)，6(la)，7(si)，1(do)的各个音的音调依次升 高。很自然要问：这些音的频率各是多少?
首先要告诉的是：1(do)的频率并不固定。比如，C调的1与D调的1的频率就不同。事实 上，D调的1的频率与C调的2相同，而E调的1的频率更高，与C调的3相同。
因此，上述音的频率没有固定的值。但是，这些音的频率的相互比例却是固定的。具 体地说，比1高八度的1的频率是1的频率的2倍，再高八度的1的频率又是1的2倍，因而 是1的4倍。
从1到1，一共要升高12个半音。在钢琴或风琴上就是：从表示1的键出发，经过12个琴 键(包括黑键和白键)，升高到表示1的键。所经过的这些音分别表示为：
附图
SOUND a 2:SOUNDa*q＾4 2：SOUNDa*q＾72：SOUNDa*22
听听它的效果。
实验3 电子琴为什么能模拟不同乐器的声音
如果你弹过电子琴，一定知道：电子琴能模拟各种不同的乐器发出的声音。在电子琴 上有一些键可以用来选择不同的乐器。比如，按某一个键选择钢琴，弹出的音乐就是钢 琴的声音。按另一个键选择小提琴，弹出的音乐就象是小提琴的声音。还可以选择长笛 等。
电子琴里并没有藏着钢琴键或小提琴弦，为什么能发出这些不同乐器的声音?
首先，要明白，不同乐器的声音的区别到底在哪里。
在物理学中我们知道：
声音是由振动产生的。
声音有三要素：音量，音调，音色。
音量反映声音的强弱。它由振动的振幅决定。振幅越大，声音就越强，音量就越大。
音调反映声音的高低，它由振动的频率决定。频率越高，也就是说振动就越快，音调 就越高。
音色反映什么?笛子发出的声音和小提琴发出的声音，男士和女士发出的声音，即使音 量相同、音调相同，听起来也有明显的差别。每个人讲话的声音也各有特点，与别的人 不一样。这个特点就是音色。
音色是由振动的什么特点决定的呢?
声音一般都不是单一的，而是由许多不同频率的声波合成的。其中有一个频率最低的 、振幅最大的声波，称为基音。设它的频率为f，则周
附图
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由于各个正统函数系数的比例不同，也就是各个泛音与基音的强弱的比例不同，就产 生了不同的音色。
电子琴正是通过调整各个泛音强度的比例，来模拟各种不同的乐器(比如钢琴、小提琴 、大提琴、长笛等)发出的声音。
同样是这些基音和泛音，按不同的比例配搭起来，就产生不同的音色。正如厨师炒菜 一样，同样是油、盐、酱、醋、糖、酒、味精、辣椒、花椒这些作料，不同的厨师来炒 菜，放的比例不同，炒出来的菜的味道就不同。
为了体会按不同的强度比例将基音和泛音合成起来会产生什么效果。我们来观察不同 频率的正弦函数按不同比例迭加起来得到的函数图象。
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实验4 凹面镜的反射
中学物理课程告诉我们，反射面为球面的凹面镜将平行于主轴的光线反射之后会聚于 一点，称为这个凹面镜的焦点。下面根据光的反射定律，利用数学实验的方法来验证这 个结论是否正确。
1.设CO是凹面镜的主轴，即镜面所在的球面的一条直径，O是球心，C是镜面的顶点。 过CO作轴截面交镜面于一段圆弧ACB，则镜面可以认为是弧AC绕CO旋转一周得到。按照 凹面镜的要求，弧AC所对的圆心角∠AOC应当比较小。只须验证这个轴截面上平行于主 轴CO的光线经过反射后是否会聚于一点。
设P是弧AB上任一点。过P作PM∥CO，光线沿MP射到镜面上P点。作PN使∠NPO = ∠OPM( 使CO是∠NPM的平分线)。则PN是MP的反射光线。对弧AB上若干个不同的P点作反射光线 ，看它们是否会聚于一点?如果是，会聚于哪一点?
附图
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观察可知：当∠AOC较小时，平行光线近似地会聚于半径CO的中点F，就是这个凹面镜 的焦点。反过来，从F发出的光线经过这个凹面镜的反射之后平行于主轴CO射出。
保持顶点C和球心O不变，将∠AOC增大(比如达到45°或60°)，重做上面的实验，观察 平行于主轴OC照射到镜面上的光线是否会聚于一点。反过来，作出从CO中点F发出的光 线，看它们经过镜面反射之后是否与主轴CO平行?
观察可知：当∠AOC很大时，平行于主轴OC的光线经过镜面反射后并不会聚于一点；从 半径中点F发出的光线经过镜面的反射之后并不平行，而是向中间会聚。
很自然要问：要使从一点F发出的光线经过镜面反射之后平行射出，同时也就使平行于 主轴的光线经过镜面反射之后会聚于一点F，镜面曲线的准确形状应当是什么样子?容易 想到，它应当比圆弧张得更开一些。但到底应当是什么曲线，我们仍通过计算机作图的 实验来找出答案。
2.取一条射线CF作为凹面镜的主轴，C作为镜面的顶点，F作为焦点。通过以下作图方 法从C开始得到一条曲线，将这条曲线绕CF旋转一周得到镜面，使得从F发出的光线经过 这个镜面反射之后平行于主轴CF射出。这个镜面也就能将平行于主轴FC射来的光线反射 后会聚于焦点F。
首先，从焦点F射到顶点C的光线经镜面反射后沿CF反射回来，因此在点C处的镜面应当 与C垂直。从C出发，沿着与FC垂直的方向“走”出一条很短的线段CC[,1]作为镜面曲线 的第一部分。
连接FC[,1]。假定光线从F射到C[,1]，要求这条光线经反射之后沿着与主轴CF平行的 射线C[,1]M[,1]射出，根据这个要求，按照光的反射定律可以作出过C[,1]的镜面曲线 的方向，沿着这个方向再走出一条很短的线段C[,1]C[,2]作为镜面曲线的第二部分。
一般地，假设将上述步骤重复k次之后得到从C出发的一条折线CC[,1]C[,2]…C[,k]近 似地作为镜面曲线。如果还要将镜面曲线延长，只要将光线从F照到C[,k]上，要求反射 光线与CF平行，根据光的反射定律可算出过C[,k]的镜面方向，沿着这一方向“走”一 小段C[,k]C[,k + 1]，则镜面曲线被延长了一段。
将这个步骤重复下去直到你愿意停止，就得到了一条足够长的折线CC[,1]C[,2]…C[,n ]来近似地作为镜面曲线。将每一步的长度C[,k - 1]C[,k]取得越小，所得到的曲线就 越精确，但工作量也就越大。实际操作时将每一步的长度取得足够小就行了。
观察所得到的镜面曲线，看它象什么曲线?好像是抛物线。到底是不是抛物线?以C为顶 点、CF为对称轴、经过镜面曲线的终点C[,n]作一条真正的抛物线，观察它是否与镜面 曲线相重合，就可验证镜面曲线是否抛物线。
延长CF到O使CO = 2CF，以O为圆心、过顶点C作圆弧，观察圆弧与抛物线是否吻合。发 现当圆弧足够短的时候与抛物线吻合，但以后就不吻合了。与抛物线吻合的那一段圆弧 可以作为正确的镜面曲线，将F发出的光线反射为平行光线，同时也将平行光线聚于一 点。而当圆弧偏离抛物线时它就不具有这样的光学性质了。
附图
一个小球挂在弹簧上，处于平衡状态(弹簧拉力与重力平衡)。以小球处于平衡状态的 位置为原点O作数轴，以向上的方向为正方向，这条数轴上的每一个位置P可以用一个实 数y来表示，称为点P的坐标。
将小球向下拉到坐标为-A的点，A是某个正实数。然后放开手，小球在弹力作用下开始 作上下振动，每个时刻t小球所处位置的坐标y是t的函数y = f(t)。
当y≠0时小球所在位置P偏离平衡位置O，由胡克定律可以得出，小球此时受到的力F( 弹力与重力的合力)的大小与｜y｜成正比。可写成a = -ky的形式，其中k是正的常数， 则弹簧弹性的强弱及小球的质量决定。
按照下面的方法作出在振动过程中小球位置y随时间t变化的函数y = f(t)的曲线。
选取一个很短的时间间隔d。利用计算机计算小球从t = 0开始在时刻t = 0，d，2d，3 d，4d，…所处的位置的坐标y。利用所得到的对应值(t，y)画出y = f(t)的函数图象。 观察它的形状。
当t = 0时，小球的位置坐标y[,0] = -A，速度为v[,0] = 0。
附图
用适当的计算机语句将所算出的y[,0]，y[,1]，y[,2]，…y[,i]…记录下来。得到足 够多的y[,i]之后停止。建立一个直角坐标系，横坐标t代表时间，纵坐标y代表小球的 位置。将所得到的每个时刻id的位置坐标y[,i]对应的点(id，y[,i])画到坐标系中，并 依此将相邻两点连起来，得到一条曲线，就是函数y = f(t)的图象。
以下是当A = 1，k = 1时画出的图象。观察发现它好象是什么函数的图象?
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实验6 生活中的圆锥曲线
前面的实验都需要利用计算机才能实现。但也有的实验可以不用计算机，利用一些日 常生活用品就可以实现。
圆锥曲线，是用一个平面与一个圆锥面相交(平面不经过圆锥的顶点)得到的曲线。
可以设法做一个圆锥与一个平面相交，观察它们的交线。
用什么做圆锥?用什么作为平面去截它?
也许，可以用木头或者金属加工一个。但这需要特殊的设备，普通老百姓不容易做到 。而且，做出来的圆锥用什么平面去截它?用刀去切割吗?也不容易办到。
硬的圆锥不容易做，也不容易切割。做一个软的圆锥呢?比如，用泥巴或者冰淇淋做一 个。用手就可以加工，但要做成比较精确的圆锥形状，并且保持形状，也不容易操作。
但是，当你用一个圆台形的饮料杯喝饮料的时候，你是否注意观察杯中的饮料上表面 与杯壁相交所得的曲线的形状?杯的内壁就是圆锥面的一部分。而在地球引力作用下的 饮料上表面可以看作平面的一部分。饮料上表面与杯壁的交线就是平面截圆锥所得到的 交线。当杯的底面处于水平方向的时候，曲线是一个圆。假如将杯底倾斜，曲线就变成 椭圆。怎样得到抛物线和双曲线?可以在盆里或桶里装水，将杯泡在水中，观察杯的外 壁与水面的交线。
以上是用饮料杯壁作为圆锥面，水面作为平面，观察它们的交线。还可以想出别的实 验方案。比如，用光束作圆锥，墙壁作平面。
观察手电筒射出的光束，是否可以看作圆锥?将手电筒光束照到墙壁上，观察照亮部分 的边缘曲线，是什么形状?调整手电筒光束的中轴线与墙面所成的角，是否可以观察到 圆、椭圆、抛物线、双曲线的一支?
台灯或壁灯，常用一个圆台形的灯罩将灯泡罩起来。灯罩的侧面将光遮住。灯泡发出 的光线从灯罩侧面的上下边缘透出来，各形成一个圆锥形的光束。每个光束在墙壁上照 亮的区域的边缘形状都是双曲线的一支。假如将灯罩做成圆柱形，灯泡置于圆柱的中心 ，两个光束在墙壁上照亮区域的边缘就是同一条双曲线的两支。