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我第一次见到数学欣赏这个名词是在《中学数学教学参考》2010年第1-2期.当期第一篇是著名数学教育家张奠宙先生与柴俊博士合写的文章《欣赏数学的真善美》.我对这篇文章爱不释手，看过很多遍，里面的很多内容几乎能背下来.看了张先生的文字，我激动和惭愧.激动的是数学原来可以这么美好，惭愧的是我所教的数学是死的，张先生的数学是鲜活的、有生命的！所以，我要努力开发数学中蕴涵的真善美，体会欣赏数学的真善美，赋予数学生命与活力. 在随后的几期中陆续刊登了几篇，每篇我都认真学习.后来，大概是2010年10月，我在去北京的火车上，突发灵感，写了一篇《欣赏椭圆》，得到张先生很高的评价.后来一直默默努力，学习、思考和写作，到目前已经发表了几篇.数学欣赏给我的教学带来了无限生机和乐趣，我愿意把我的个人体会介绍给大家. 一、什么是数学欣赏？ 欣赏的中文含义是领略、赞赏、观赏、喜欢，还有佩服.包含着一种在喜好、倾慕的前提下，愉快、积极地接受、沉浸并享受某种客体（或对象）的情感.可见欣赏是一个与主观意识和心理倾向紧密相关的概念. 数学欣赏的概念在实际语境中远比想象的要复杂.经过几年的学习思考，我个人更认同张景中院士的观点.什么是数学欣赏呢？现在，我是这样认为的： 数学欣赏是教育数学的一部分.教育数学是著名数学家张景中院士早在1995年提出来的一种思想，其目的就是把数学做得简单一些.张院士说：“把学数学比作吃核桃，核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它.数学教育要研究的，是如何砸开核桃吃核桃，重点在教育.教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更营养，更容易砸开吃净，重点在数学.简单地说教育数学就是改造数学使之更适宜于教学和学习，是教育数学为自己提出的任务.” 改造数学使之更适宜教育和学习，这些更多的是数学家和数学教育家的任务.中学教师主要是把数学大师们开发培育的优良果实进行深加工，加上辅料、增加一些地方特色等，使得老少咸宜，更有利于吸收，这应该是数学欣赏的目的和任务.还可以理解成，数学大师们就是花匠，负责哺育改良花的品种，中学教师不一定会种花，但是要会卖花.要把这些花卖出去、卖得好，最好会赏花，知道这些花美在何处.如果还会插花，那么你的花一定能卖得更好.我想这也是数学欣赏的目的之一. 总之，我认为数学欣赏就是把学术形态的数学转变成教育形态的甚至具有艺术形态的数学. 二、数学欣赏要欣赏什么？ 在数学中，哪些内容可以成为欣赏的对象呢？著名数学家丘成桐曾接受《光明日报》记者采访时说：“数学是一门很有意义、很美丽，同时也是很重要的科学，从实用角度讲，数学遍及物理、工程、生物、化学和经济，甚至与社会科学也有很密切的关系.文学的最高境界是美的境界，而数学也具有诗歌和散文的内在气质，达到文学性的方面，达到一定境界后，也能体会和享受到数学之美.数学既有文学性的方面，也有应用性的方面，我对这些都感兴趣，探讨它们之间妙趣横生的关系，让我真正享受到了研究数学的乐趣.” 可见，在丘先生看来，数学具有真善美三个层次的表现力.数学之美具有简洁、生动、应用性等特征，数学之美渗透于数学的知识、结构和模式中. 三、什么是数学的真善美？ 朱光潜说万事万物都具有真善美.真是指科学性，善是指实用性，美是指美感.所以所谓数学的真，就是数学的真理属性；数学的善，则是指数学的应用价值；至于数学的美，则是数学艺术价值的一种体现. 四、如何进行数学欣赏？ 张奠宙先生说：欣赏，是教育的一部分.数学教育则是为了欣赏数学文化和数学思维的真善美.数学教育缺少了“欣赏”环节，使得许多人无法喜欢数学，以至厌恶数学，远离数学.那么如何进行数学欣赏？张奠宙先生进一步指出，欣赏数学的真善美大致有以下途径： （1）对比分析，体察古今中外的数学理性精神； （2）提出问题，揭示冰冷形式后面的数学本质； （3）梳理思想，领略抽象数学模型的智慧结晶； （4）构作意境，沟通数学思考背后的人文情境. 以《欣赏椭圆》一文为例，文中主要说了以下四个方面的内容： 第一，从开普勒到嫦娥飞天，欣赏椭圆应用之美——善； 第二，从外形欣赏椭圆，感受椭圆图案之美； 第三，从学术形态欣赏椭圆，感受数学之理性精神——真； 第四，从教育形态欣赏椭圆，感受美能启真——美能启真. 其中第一、二两方面主要介绍了我们看到的、了解到的椭圆，是真实的椭圆，感受到椭圆实实在在的美，但是这样的椭圆没有思维的介入，不是数学上的椭圆.所以，在第三方面通过对比三种椭圆的证明，欣赏数学中的椭圆，感受数学的理性精神.通过对比还发现用解析法证明非常简单，这是为什么呢？分析原因，查找证据，得出“对比三种证法，不能仅仅满足于证法3的简单，应着重欣赏其背后蕴涵的重要思想和重大意义”.这样就把解析几何的意义也揭示了出来. 后面的美学设计，就是课堂实录.在推导标准方程过程中，突然发现式子
是整式，而且很对称，符合美学标准.而标准方程是分式还不对称，为什么还要化成标准形式呢？于是就产生了文中的对话.这段对话也给了我巨大的启发，正如丘成桐先生所言：数学之美渗透于数学的知识、结构和模式中. 五、我与数学欣赏 我与数学欣赏从2010年开始结缘.经历了几个春秋，我也做了很多努力，有很多探索.我认为数学的真善美不能仅仅用来欣赏，更要有发现美、呵护数学美的心灵. 以下几个方面的个人思考，也许能给大家一些启发. （一）并不成功的数学欣赏课 当初开设数学欣赏课有两个想法，一是提高自己的认识水平，再就是看看学生的反应.当时正好教高一，有时间去培养学生对数学的审美情趣，初步计划每周上一节，每个学期上四节，边学习，边总结. 第一期（高一下学期），我主要是和学生一起学习杂志上的文章.我把这些文章复印后发给学生，课上一起讨论学习.学习文中的例子，体会其中的数学意境，分析其中的数学意义.讨论也是以文章中的例子为线索，模仿文中的例子自己构造一些事例，然后进行对比分析. 但是，很艰难.多年机械的数学解题训练，学生的大脑几乎僵化；学生的课业负担很重，一些内容又与考试无关，很多人都是带着作业去的，他们一边听我讲，一边写作业.就这样，第一期就这样草草地结束了. 第二期（高二上学期），这一期又上了四节课.经过一段时间的自我学习，结合学生实际进行了自主研发，用真善美的观点直接与学生的实际问题接触，发生碰撞，看看能不能撞击出火花.这次有一定效果.举例如下： 例1 设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式
＜0的解集为（ ）. A.（-1，0）∪（1，+∞） B.（-∞，-1）∪（0，1） C.（-∞，-1）∪（1，+∞） D.（-1，0）∪（0，1） 由于函数是奇函数，具有对称美，所以答案也应该具有对称性.所以由对称性迅速排除A、B，再根据在（0，+∞）上是增函数，可排除C.选择D.（这个例子源于学生对数学美的应用） 例2 等差数列前n项的和的公式的变迁.有学生在记忆等差数列前n项的和的公式的时候，出现了下列三种情况，为什么教材中写成③的形式？你认为前两种情况为什么不好？
学生：本来n与n-1是相邻的两个整数，第①种情况强行让它们分家了，不够意思.第②种情况虽然把n与n-1写在了一起，但是前面也有n，整体看不协调，也不利于计算. 老师：我终于明白了为什么很多人在计算
的时候总是先计算出13×12=156，然后再往下算了.原来书上这个公式真善美兼而有之. 例3 学生将直线方程化成一般式的时候，总是不知道写成何种形式，如
或者-x+y-3=0等，好不好？什么时候化成一般式，什么时候化成点斜式？请从数学美的角度说明. 通过与学生一起学习我也很受启发，数学欣赏不能为了欣赏而欣赏，必须源于现实生活，用于课堂，这样学生才会真的喜欢. 以上工作，对于数学欣赏来说，是很肤浅，虽然功利化倾向严重，但是毕竟有了一些起色. 第三期（高二下学期），只上了一节课就被迫停止了，经过长时间的熏陶，这时候我和学生们都有了很大进步.这次上课就是一个题目：在数学上有很多“规定”，为什么要这么规定？是“约定俗成”还是“别有用心”？请举例，并说明理由. 这个题目切入点很好，张先生说数学欣赏就是欣赏数学文化与数学思维的真善美，这个题目就是想把其中的理性思考揭示出来.再有这个题目也抓住了学生的心理，因为经常有学生对于“规定”的内容不理解，解题时经常犯错误，甚至有的内容教师都不理解，这就给数学的理解和解题带来很大麻烦，甚至还有的学生想自己规定一些内容. 虽然这次只上了一节课，但是已经把大家调动了起来，课后很多学生找到我谈自己的见解，都很有见地. 在开设数学欣赏课的同时，数学欣赏已经融入了我的课堂.从一些发表的文献中既可以看到师生对课程的开发，也可以看到数学欣赏给课堂教学带来的生机. （二）数学欣赏需注意的几个问题 数学欣赏是很有价值的一个平台，是一线教师一个很好的专业发展方向，这已经引起了很多有识之士的关注.笔者通过切身感受，认为朝着这个方向发展需要有以下几个方面的储备： 1.丰富的数学教学经验和扎实的数学功底 我是一直抱着数学欣赏必须走进课堂，数学欣赏必须站在高考之上的想法来研究数学欣赏的. 以《简易逻辑片段欣赏》为例.刚开始是改写《中学数学教学参考》2010年第12期《人人都要讲道理》一文，主要是看到这篇文章不够生动活泼.当时正好刚讲完“简易逻辑”这一章，上课时给学生开了一个“迟到并且来晚”的玩笑，发现这个玩笑与“k＞5且k≠0”有点相像.在这里运用逻辑的思想，把学生一直都出现的类似k＞5且k≠0的问题说清了，认识到逻辑的力量很大.再有，绝大多数教师把这部分当做知识点来学习，只熟悉怎么考，认识深一点的，在解题的时候会运用充要条件来分析问题.但是教材的真正目的，肯定不只是对逻辑现象的总结.基于这样的想法，我开始研究、改写. 第一次我结合教学实际把文章写成《人人都要学点逻辑》.但是这并没有跳出高考的包围圈，也没有对逻辑知识很好的、很全面的理解，甚至发生错误理解，张先生的评语是：“文字流畅，可读性强.但是文中‘复合命题’的否定和命题的否定有根本区别.尤其是文章没有提到量词任意选取一个、存在一个，是很遗憾的.简易逻辑不简易，作者需要仔细思考.” 我仔细研究张先生的评语，查阅了很多书，书上对这部分的介绍也很少.我就在整个高中数学的系统下思考，对量词和充要条件有了初步的认识，为了避免对逻辑知识的介绍，改写成《简易逻辑不简易》，但是对逻辑知识掌握还是不够准确.这次张先生给我梳理了思路，并且举了很多例子，帮我开阔思路，还鼓励我说：“修改稿较前有进步，但是离‘欣赏’还有距离，欣赏时一定要有人文背景，也就是讲故事.文章开头用迟到、晚来，我觉得很好.可是，这违反了简易逻辑的哪一条？这好像在逻辑上没有错，请考虑.简易逻辑不简易，全文中的逻辑内涵需要仔细琢磨，认真学习，不可含糊.请你开阔思路，从日常生活中找故事，再联系到数学问题.不要着急，这是一个思考学习过程.切忌把文章写成逻辑知识介绍.” 结合这次的指导意见，我努力学习一些美学作品和文学作品，大力改造原文，努力突出人文意境.但是这次还是没有打通数学意境与人文意境的联系，只是在数学之外下工夫. 最终张先生的评语是“原文还是很差.鉴于中学老师能够跳出‘高考’桎梏，就很不容易，应予鼓励.所以我做了大幅度的修改”.仔细揣摩这句话，我认识到本文的价值，就是跳出了高考的桎梏.从这几句话也可以看出张先生对我国的中学数学教育的关切之情和对年轻教师的关爱之意！我深受感染和鞭策. 我与张先生并不认识，所有交往都是通过《中学数学教学参考》.反思与张先生的交往，每次都给我很大启发，也让我内心感到很温暖.通过这几次交往，我深深认识到，数学欣赏的前提是对数学知识必须有一个真正的认识，融会贯通之后，才能在一定层次上进行欣赏. 2.具备一定的文学功底 数学是一门公理化的科学，所有命题必须由三段论证的逻辑方法推导出来，但这只是数学的形式，不是数学的精髓.大部分数学著作枯燥乏味，有些却令人叹为观止，其中的分别在哪里？ 丘成桐先生认为，大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻肤浅，来决定研究的方向，这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者取决于个人的气质，气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，还是创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用.（参见丘成桐《数学与中国文学的比较》） 在我们身边，绝大多数数学教师不怕做题，说话也很有水平，但是怕写.因为写出来的东西总是与自己要表达的意思相差很远，如果还要有一定的文学性，就更难了.其实，写东西不是天生的，是练出来的.只要坚持多看，坚持多写就能写好.除此之外，还要留心、用心，注意同一件事别人是怎么遣词造句的.总之，从模仿开始，不断练笔，不断积累. 除了上面所说的两点，我还向语文老师学习.每次写完文章，第一个读者就是我们学校的语文老师，当然这位语文老师要认真，有一定水平.我每次找到他们总是先说，不要看具体内容懂不懂，先看布局谋篇，再看语言表达，然后再看能否看懂具体内容.在《简易逻辑片段欣赏》中提到“数学欣赏超越了简单的理解和求证的过程，是一种融会贯通之后淋漓尽致的快乐甚至幸福”，就是一位语文老师看了本文之后说的话.这句话也道出了我内心深处的真挚感受，也是我研究写作数学欣赏类文章得到的真情实感. 还有一位语文老师，看了我的文章之后，甚至改变了他的人生方向.他说：“我觉得最重要的不只是对里面的数学知识的掌握，更是对数学学科的认识，乃至对‘做学问’的认识.直观上感觉头脑受到了某种激发、洗刷.这让我想到‘冰山一角’的理论，看上去是一个个独立的山峰，其实在深层上它们是一一相连的.一般的人只能认识到这儿或者那儿是什么山，高明一点儿的人会告诉你所有山的名字，而您告诉了我那几座冰山其实是一座，还告诉我通往山顶的路充满了快乐！” 当然这是他们谦逊的话，真正的是我与他们接触，学会了很多写作技巧，有很多数学意境，要经过与他们讨教、学习才知道是否合适. 3.最好懂得一定的历史（包括数学史） 2002年8月20日，丘成桐接受《东方时空》的采访时说：“我把《史记》当作歌剧来欣赏”“由于我重视历史，而历史是宏观的，所以我在看数学问题时，常常采用宏观的观点，和别人的看法不一样.” 我也经常对我的学生说：“历史使人有高度，数学使人有深度，如果二者结合，那么你就会天下无敌.我们不需要天下无敌，只要自己看问题有一定高度就好.”我个人非常喜欢历史，尤其喜欢中国近代史，没事的时候就喜欢看一些历史书籍，而且是反复看，揣摩政治家如何高瞻远瞩、纵横捭阖，军事家如何运筹帷幄、决胜千里.其实很多教师喜欢历史，可能只看一些历史故事，很少联系起来看问题，历史地看问题.我还喜欢数学史，从2003年秋季开始，我每年都给学生开设数学史选修课，自己查找、整理资料，力求对学生数学学习有一定启发，对自己教学有用.几年坚持下来，收获很多. 4.有一些美学常识 罗丹说：“世界上并不缺少美，关键是缺少发现美的眼睛.”那么，谁能给我们一双慧眼呢？我认为学一些美学知识，掌握一点美学的分析方法很重要.我刚刚看到张奠宙先生的《欣赏数学的真善美》一文时，就想，什么是事物的真善美？为什么张先生要说这个反映了数学的“真”，那个反映了数学的“善”？等等.说什么也想不通，内心很痛苦.想不通没关系，先从模仿开始，动手做起来，慢慢积累材料，慢慢筛选.后来一个偶然的机会我看到一位语文老师桌案上朱光潜的《谈美》，爱不释手，一有时间就看，很受启发，还写了很多学习体会. 中学数学教材曾经饱受批评，枯燥、乏味、理论性强、抽象度高等.目前的课标教材虽然想尽办法，进行了很大改进，但是仍然有很多的不足.比如，教材中成品太多，发现太少，这在一定程度上失去了“真”.其次，割断了数学与文学、哲学、艺术等的联系，使学生见不到各个学科间的联系与相互为用，这在一定程度上失去了“善”.自然地，也体会不到数学的思想，这在一定程度上失去了“美”.把数学的真善美隐藏起来，实际上并不利于学生的数学学习，反而会使学生丧失对理性追求的兴趣. 事实上，不仅中学教材饱受批评，中学教师的课堂也有很多问题.很多人把主要原因归结到高考上，我认为是不对的，其实应试没有错，错在不能搞应试教育.我们无力改变高考，却能够改变我们自己，我们有能力让我们的课堂变成有生命力的课堂，有真善美的课堂，成为学生数学学习的乐园. 下面一段话是学生对数学欣赏的肯定： “殷老师，在你没有给我们授课之前，还不曾知道数学是那么的美妙与神奇，还可以以欣赏的眼睛去学习数学.学数学不仅要学知识，还要学习她的内涵，她的美，她的用途，现在的自己越发地感到数学真的很美，锻炼自己的思维，无论遇到什么困难都不会退缩！因为最难以捉摸的往往是最美的.” 很多学生有类似的看法，所以无论对于教材还是教法，数学欣赏都大有可为！ 5.在数学之外寻找灵感 数学欣赏要有灵感.灵感来自哪里呢？我的经验告诉我.主要来源有两个：一来自课堂，二来自现实生活.来自课堂，来自学生，这一点需要教师有欣赏的意识，善于发掘；采自生活，就是要会在数学之外做文章.朱光潜先生说：“灵感的培养不必限于读书.人只要留心，处处都是学问，艺术家往往在他的艺术范围之外下工夫，在别种艺术之中玩索得一种意象，让它沉在潜意识里去酝酿一番，然后再用他本行艺术的媒介把它翻译出来.” 丘成桐也说：“文学家为了达到最佳意境的描述，不见得忠实地描写现象界.数学家为了创造美好理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没问题，就可以尽情地发挥想象力.” 不少伟大的数学家，以文学、音乐来培养自己的气质，与古人神交，直追数学的本源，来达到高超的意境. 教师也都有很多鲜活的例子（如指数函数片段欣赏），这里不再赘述. （三）数学欣赏对教学的启发 数学欣赏不仅仅是教会学生学会数学，喜欢数学，也可以培养学生的品质、人格.数学欣赏也是一种意识，一种爱的意识，而且这种爱可以传递.下面仅举一例. 高三复习简易逻辑，一天我去上课，发现班主任在训斥学生，我看到学生们面有不悦，怕影响学生情绪.以前遇到这种情况总是安慰学生几句，说几句“老师都是为了你，大家要努力”，等等，这样不疼不痒的话根本不起作用，还可能勾起更多不好的回忆. 我灵机一动说，请大家拿出练习纸，把这道题做一下：写出下列命题的逆否命题：“如果你恨一个人，就不要告诉他错在哪里.”学生们都笑了，整节课非常顺利地完成.当时正值教师节来临，有一位学生赠给我一本波利亚的《怎样解题》，扉页上写着这样一段话：“您是我见过的最有个性的老师.一年以来，我们不仅学到了知识，更多的是一份做事的态度，做人的准则.高中，我们知道了怎样学数学；高中，我们领略了以数学为主题的文章的魅力；高中，我们提高了学习的能力，能动性和自主性.您的一言一行都是我们成长道路上最珍贵的财富.” 学生的认可是对数学欣赏的最大鼓励，让我们一起加油吧！
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