让体现理性精神的课堂充满生命的活力——《任意角的三角函数》课堂实录有感，本文主要内容关键词为：函数论文,课堂论文,理性论文,活力论文,精神论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、课堂实录
师：同学们好！进入高中以来，我们在“集合”的基础上学习了“函数的概念与基本初等函数Ⅰ”，研究了函数的性质及其应用.你们知道学习函数知识的意义吗？
生1：可以用函数的观点分析一些变化的现象，用函数模型刻画两个变化的量之间的依赖关系.
师：能谈谈你对“函数”概念的了解吗？
生2：设A、B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有惟一的数y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，其中A是这个函数的定义域，A中所有的数在B中对应的数组成的集合是函数的值域.
师：用函数来刻画一些变化的现象.那么“角的概念的推广”又有什么价值呢？
生3：可以用来刻画一些与旋转有关的现象.
师：我们是怎么研究推广以后的角的？有哪些规则？
生4：我们规定：一条射线按逆时针方向旋转所形成的角为正角，按顺时针方向旋转所形成的角为负角，没有作任何旋转也看成一个角，称为零角.把角放在直角坐标系中研究，规定将角的顶点放在坐标原点，角的始边放在x轴的正半轴上.这样，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
师：那么如何才能准确刻画一些与旋转有关的现象呢？请看图1所示的摩天轮.假如这个摩天轮按逆时针方向运行，你的一位朋友正在摩天轮上，站在摩天轮前的你，该怎样刻画他的位置呢？
生5：可以用许多方法刻画.
师：请你谈谈看法.好吗？
生5：例如，我可以把摩天轮看作是一个圆，以摩天轮的中心为坐标原点，水平向右的方向为x轴的正方向，竖直向上的方向为y轴的正方向，建立直角坐标系.这样，当他的位置在第几象限，就表明他已经运动到摩天轮的哪个方位了.
（教师结合学生5的叙述，用几何画板演示）.
生6：不能简单地说有许多方法进行刻画，也不能模糊地说他已经运动到摩天轮的什么方位了.用数学的方法、观点研究问题，还要讲究刻画的准确性和简洁性.
师：请详细说说你的观点，好吗？
生6：可以像刚才一样建立坐标系，规定以x轴的正半轴为始边，摩天轮上的这个人对应的半径为终边的角为α.这样我们就可以用α来刻画此人的位置.
生7：他的说法也不全面，还应考虑摩天轮的半径.因为摩天轮的半径r的大小也影响这个人的位置.我们可以用一个数组（r，α）来刻画这个人的位置.
师：对，必须加上摩天轮的半径r，这样刻画更准确.还有其他的想法吗？
（教师结合学生6，7的叙述，用几何画板演示如图2）
生8：还可以用直角坐标（x，y）来刻画这个人的位置.
（教师在图1的基础上，加上直角坐标系和点P的坐标（x，y））
师：有序数组（r，α）和（x，y）都能刻画这个人的位置，这说明了什么问题？
生9：说明有序数组（r，α）和（x，y）存在内在的关系.
师：这种内在的关系是什么呢？
师：对了，我们在初中学习过锐角的三角函数.既然有锐角的三角函数，那么从知识的系统性和完备性上来看，就应该有任意角的三角函数.如果有的话，该怎么定义“任意角的三角函数”呢？为了认识这个问题，我们从α是锐角开始研究该如何定义“任意角的三角函数”才合理.
（学生讨论、交流）
师：许多同学可能已经有了这样的感受和体会：在数学中，对一般性问题的研究，往往从特殊的情形入手，通过对特殊问题的研究，发现其性质，再上升到一般性的认识；对几个类似对象的研究，往往先研究其中的一个，发现其特性后，再类比到其他的对象.这里，我们先研究锐角的三角函数中的一个——锐角的正弦函数.当α是锐角时，sinα=
，其中，r是锐角α的终边上一点P（x，y）到原点O的距离，y是其终边上一点P（x，y）的纵坐标.当锐角α确定时，sinα与锐角α终边上的点P（x，y）的选取有关吗？
生12：sinα与锐角α的终边上的点P（x，y）的选取无关.这是由三角形的相似性决定的.在锐角α的终边上任取一点P'（x'，y'）异于点P，过P'作x轴的垂线，垂足为M'.
生13：是“映射”！
师：为什么是映射呢？
生13：因为锐角α是一个图形，对任意一个图形α，都有惟一的实数与之对应，符合映射的定义.
师：是的.我们在学习“角的概念的推广”时，已经约定，角也可以用实数来表示.如果这里的锐角α不是指一个图形，而是指一个锐角的大小，这样的映射具有怎样的特殊性呢？
生13：是区间（0，
）到实数集R的一个函数.
师：那么这个函数的对应法则是什么呢？
生14：对应法则是：角的终边上的点的纵坐标与该点到原点的距离的比值.
（教师根据学生13、14的叙述板书、作示意图，如图5）
师：我们该给这个R上的函数的对应法则一个什么记号，给这个函数一个什么名称呢？
生17：根据以上分析，这个函数仍然应该记为sinα，其中α∈R，并把它称为α的正弦函数.否则，从知识系统的和谐性来看，若这个函数取其他名字，当α是锐角时，就会引起混淆.
师：有道理.其实，许多数学概念也是遵循类似的合理性而命名的.类似地，我们也可以得到任意角的余弦函数、正切函数.
师：你能根据sinα，cosα，tanα的定义，结合角α的终边的位置，分别指出这三个函数的定义域吗？
师：正弦、余弦、正切都是以角的大小为自变量，以比值为函数值的函数.必须注意的是：
（1）与初中学的三角函数比较，三角函数中角的范围扩大了；
（2）三角函数是以“实数”为自变量的函数，即“实数
角三角函数值（实数）”.
练习1 已知角α的终边经过点（2，-3），求α的正弦、余弦、正切值.
（教师引导学生分析、解答、板书）
师：结合此例，你能总结出“求一个角的三数值”的一般步骤吗？
生19：一般步骤是：
第一步：取该角终边上的一点，写出该点坐标（x，y）；
师：通过此例中角α的正弦、余弦、正切值，你还发现了什么？你能指出一般性的规律吗？
生20：一个角的三角函数值有正负之分.对于角α，其终边上一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r=
.由于r＞0，所以，角α的正弦sinα=的符号由y的符号确定.当y＞0，即α的终边在x轴上方时，sinα＞0；当y＜0，即α的终边在x轴下方时，sinα＜0；当y=0，即α的终边在x轴上时，sinα=0.
类似地，角α的余弦cosα的符号由x的符号确定，当x＞0，即α的终边在y轴右方时，cosα＞0；当x＜0，即α的终边在y轴左方时，cosα＜0；当x=0，即α的终边在y轴上时，cosα=0.
角α的正切tanα=
的符号由x，y的符号确定，当x，y同号，即α的终边在第一或第三象限时，tanα＞0；当x，y异号，即α的终边在第二或第四象限时，tanα＜0，当y=0，即α的终边在x轴上时，tanα=0.（图示略）.
练习2 确定下列三角函数值的符号：
（学生板演，教师总结、点评，指导规范书写）
师：今天，我们学习了任意角的三角函数的定义.回顾学习过程，你有哪些体会？
生21：从实际问题解决的过程中发现数学.
生22：用到了从特殊到一般的方法和数形结合的思想.
生23：用函数的观点理解三角函数.
生24：围绕三角函数的意义，结合角的终边的位置，判断三角函数的定义域和三角函数值的符号.
（课后，学生仍然积极与教师进行探讨）
二、课后分析
事实上，本节课的发展与教师的准备是有些出入的，甚至有些学生提出的问题是教师事先没有准备的.如：
（1）教师本来设想学生会举出许多刻画点的位置的方法，但学生自主提出“用数学的方法、观点研究问题，还要讲究刻画的准确性和简洁性”，说明学生已经具有一定的数学地研究问题的修养和体验.
（2）对“摩天轮上一个点可以用有序数组（r，α）来表示”，教师设计时认为学生会忽视摩天轮的半径r，教学过程中，学生主动认识到了点的位置与摩天轮的半径r有关，表明学生观察、思考问题还是比较深刻的.
（3）对“同一个点可以用两个不同的有序数组（r，α）和（x，y）来刻画，是否隐含了这两个有序数组之间存在内在的联系”，教师本想让学生找几个特殊点算一算，进行观察、探索，而事实是学生自然感觉到了两者之间必然存在关系.
（4）“研究（r，α）和（x，y）的关系”，这是一个很宽泛的问题，教师的设想是找几个特殊角试试，再一般化.教学过程中，学生首先提出了“当α是锐角时，sinα=”.这说明，学生对运用“从特殊到一般性”的方法研究问题还是有基础的.
（5）当α是锐角时，学生指出“对应：α→”是映射，这一点是出乎教师想象的.一般而言，学生对“映射”这个概念不是很熟悉，能指出这个对应是映射已属不易，而强调这个对应是映射的理由是“锐角α是一个图形，这是图形到数的对应”，回答得这么准确，就更表明学生对“函数”和“映射”的关系已经认识得相当深刻.同时，也反映了学生对“角也可以用一个数表示”还不怎么理解，毕竟，前一天才学过用弧度制表示角.
（6）关于“对应：α→，α∈（0，）表示的是一个从区间（0，）到实数集R的一个函数”的对应法则的描述，教师设想学生会有困难，但学生却描述得相当准确.
（7）由对应法则的一致性和定义域的关系，学生从函数的观点出发，给出了正弦函数一般性的定义，再一次体现了学生对数学概念产生、命名的合理性的认识已经到了相当的水平.
（8）例题除了让学生体会“求一个角的三角函数值”的算法思想，认识三角函数的意义，也作为“问题情境”，使学生得到启发，感受到有必要研究“一个角的三角函数值的符号与角的关系”.
（9）课堂回顾体现了学生对整节课内容的深刻理解.最后一个学生提出的问题，说明学生的认识活动仍在继续，思维远没有停止.尽管现行的教材已经将这部分内容删除，但作为教学过程，对学生提出的合理要求，教师应给予充分的肯定.
三、课后思考
同一个知识点，老师上了多遍，自然会形成某种教学积淀：“知识还是那知识，教法也还是那教法”，不知不觉进入“教师讲，学生听”的既定模式.在“以学生的发展为最终目的”的教育理念普遍为大众所接受的今天，教师应主动调整教学方法，重视课堂教学中生命的灵动.当学生的发展离开了教师事先设想的轨迹时，教师不应强行把学生的思维拉回来，而应因势利导地沿着学生的思维路线，鼓励学生继续探究，这样才能尊重学生在发展过程中的主体地位，激起学生思维的火花.在课堂中，教师的角色只是一个主持人，其一切行为都应促进学习，让学生感受、体会知识产生的过程.知识是自然获得，而不是幡然领悟，只有这样，才能真正体现数学的理性精神，体现“以人为本”的教育理念.
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