数学审题的案例分析，本文主要内容关键词为：案例分析论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
审题就是从题目本身去寻找“怎样解这道题”的钥匙，也叫做弄清问题或理解题意.
笔者在与学生接触的过程中越来越感到，学生在解题上的不成功常常可以追溯到“题意未审清或审不清”的解题起点上.课堂上常见的情况是：出示题目之后立即就讨论解法，获得解法之后就迅速进入下一道题.其实，学生在“如何理解题意、怎样寻找思路”上是“想知道很多而又有很多不知道”，至于“对初步思路的反思”，则十有八九都被“解题教学的现实”给砍掉了.
笔者认为，审题主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息.解题经验表明，审题的关键是要抓好“审题审什么”的3个要点和“审题怎么审”的4个步骤[1-2].
（1）“审题审什么”的3个要点是：
①弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何；
②弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何；
③弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构.
（2）“审题怎么审”的4个步骤是：
①读题——弄清字面含义；
②理解——弄清数学含义；
③表征——识别题目类型；
④深化——接近深层结构.
题目的条件和结论是“怎佯解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示.下面通过两个典型案例来说明.
一、案例1：相交弦中点的轨迹方程
例1已知a，b不同时为0，a，b，c成等差数列，求直线bx+ay+c=0与抛物线
相交弦中点的轨迹方程.
这是一道轨迹方程与等差数列交叉的综合题，常规思路是联立方程组求交点.写出中点，消参得轨迹.关键是“等差数列”的条件如何用？这是一个认识逐渐深化的过程，分两步讲解.
1.题意的初步理解
（1）题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何.
初步理解条件有以下4个.
条件1 “a，b不同时为0”.这既可以保证等差数列a，b，c不全为0，又可以保证bx+ay+c=0为直线.
条件2 “a，b，c成等差数列”.文字语言“等差数列”不能运算、难以推理，需要进行“数学含义”的解读，可以有多种表征，如：b-a=c-b，a+c=2b，a-2b+c=0.
等.这些形式哪个更适合本题暂时还不清楚，但理解题意阶段要广泛收集.
条件3 “直线bx+ay+c=0”.因为a，b，c不是具体的数字，所以，这其实是一条动直线，受“a，b，c成等差数列”的制约，怎样使用这个制约条件暂时还不清楚（或说直线是怎么动的还不清楚），可以认为，此处还有一个隐含条件，需要在思路探求和结果反思中才容易发现.
条件4 “抛物线”，并且抛物线与前面所给出的动直线相交.“相交”是文字语言，不能运算、难以推理，它的一个“数学含义”是方程组
有2个不相等的实数解.
（2）题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何.
题目的结论是求直线与抛物线相交弦中点的轨迹方程F（x，y）=0.这包含着2个方面：
必要性 相交弦中点的坐标（x，y）是轨迹方程F（x，y）=0上的一个解.
充分性 轨迹方程F（x，y）=0上的每一个解都是相交弦中点的坐标（x，y）.
（3）题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构.
理解题目的条件和结论，可以看到一个已知轨迹方程（抛物线）经过某种运动变化之后（与动直线相交产生相交弦的中点）形成一个新轨迹方程.于是，在眼前就出现这样一个“轨迹转移”的数学结构：通过解方程（组）沟通新旧轨迹（点）的联系，消去参数a，b，c得出新轨迹.
至于如何建立和求解方程，怎样消参等，则是“思路探求”和“书写解答”的任务了.
思路1 联立方程
这时，“等差数列”的条件还没有用，已有部分学生由于消参（消去a，b，c）困难而做不下去了.
思路2 联立方程
设相交弦中点的坐标为（x，y），则（消去了当初的y）
2.题意的深入理解
对思路1、思路2陆续消去x，y，a，b，c的过程作反思，至少可以获得3个新的认识.
当b=0时，由a，b不同时为0，知a≠0；又由a+c=2b=0，得此时直线bx+ay+c=0为y=1，与抛物线只有一个交点（-2，1），即没有相交弦的中点轨迹：当b≠0时，方程①为二次方程，才有相交弦的中点轨迹为
可见，思路1出现了“会而不对”、思路2出现了“对而不全”的错误.
（2）由思路2知，动直线与抛物线相交于一个定点（-2，1）.
这时重新理解题意，即可发现a，b，c成等差数列应表示为-2b+a+c=0，这表明，直线bx+ay+c=0过定点（-2，1）.因此，本例还应有一个隐含条件：
条件5 由a，b，c成等差数列，知直线bx+ay+c=0过定点（-2，1）.
（3）既然动直线与抛物线相交于定点（-2，1），那么题目的结构就变成动直线绕定点（-2，1）旋转，除了恰有一个公共点的2种情况（与抛物线相切时x+4y-2=0、与对称轴平行时y=1）外，动直线均与抛物线相交于2个点.这时，借助另一交点的“轨迹转移”，便可求出新轨迹.这就使得“联立方程组”、“求交点坐标”均成为多余，也使得我们的认识更接近深层结构.
思路3 （1）当b=0时，已知直线为ay+c=0，由a，b不同时为0，知a≠0.再由a+c=2b=0得c=-a≠0，故已知直线为y=1，与抛物线只有一个交点.此时，无相交弦，更无相交弦的中点轨迹.
（2）当b≠0时，由a，b，c成等差数列有-2b+a+c=0，这表明直线bx+ay+c=0过定点A（-2，1）.设直线与抛物线的另一个交点为
，而相交弦AB的中点为（x，y），由中点公式，得
思路4 由a，b，c成等差数列得c=2b-a，代入直线方程得
b（x+2）+a（y-1）=0. ②
这条直线对任意的实数a，b（不同时为0）过定点A（-2，1）.
（1）当b=0时，由a，b不同时为0，知a≠0，直线方程②为y=1，与抛物线只有一个交点A（-2，1），即无相交弦，更无相交弦的中点轨迹.
（2）当b≠0时，直线方程②过定点A（-2，1）.设直线与抛物线的另一个交点为，而相交弦AB的中点为（x，y）.
以下同思路3.
说明 因为是与A（-2，1）不同的另一个交点，因此按照中学的习惯，点（-2，1）应从轨迹方程中去掉.但也有另一种观点认为，添上极限点（-2，1）能使轨迹方程更加完整，不妨把2个重合交点的中点认定为（-2，1）本身.笔者的建议是此题不作纠缠，考试中去不去掉极限点都不扣分.
二、案例2：余弦定理的逆定理
例2 叙述余弦定理的逆命题，并证明它的真假.
这道题目读懂字面含义并不困难，思路也非常清晰：交换余弦定理的条件与结论，便可以得出它的逆命题.但这还不能算审清了题意，在与学生的交流中得知，很多学生就“审不清”题意，对余弦定理的“条件是什么、结论是什么”理不顺，怎么证明真假更是有困难.下面笔者分3步来进行讲解.
1.余弦定理的条件是什么、结论是什么
余弦定理的文字叙述为“三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的2倍”.这种叙述方式不便于分解出条件是什么、结论是什么，把它改写为“如果，那么”的符号形式：
（1）第1步改写：如果在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，那么
这时，看到的是“三角形的一个性质”：条件是三角形中的6个基本量（3条边和对应的3个内角），结论是三角形中的这6个量分别满足的等式③④⑤.这种叙述的主体是“三角形”，而逆命题中“三角形”只能出现在结论不能出现在条件，因此，将叙述主体改写为“6个基本量”，而“组成三角形”是这“6个基本量”的性质.
（2）第2步改写：如果a，b，c组成三角形，它们的对角分别为A，B，C，那么
这时，余弦定理的条件有2个（共6个量）.
条件1 a，b，c为三角形的3条边长.
条件2 a，b，c的对角分别为A，B，C.
余弦定理的结论有3个，即6个量分别满足的等式③④⑤，每个等式都有a，b，c和一个内角（轮转对称的结构）.
弄清了余弦定理的条件和结论，写逆命题就水到渠成了.简单地说，余弦定理告诉我们，如果6个量是三角形的3条边和对应的3个内角，那么这6个量满足3个等式.反过来，如果6个量满足3个等式，那么这6个量是三角形的3条边和对应的3个内角.
2.余弦定理的逆命题1
逆命题1 若a，b，c为正实数，a，β，γ∈（0，π），有
则a，b，c对应的线段构成一个三角形，且边a的对角为α，边b的对角为β，边c的对角为γ.
讲解 这是一个真命题，可作如下的审题分析.
（1）题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何.
逆命题的条件有4个.
条件1 6个量a，b，c（正实数），α，β，γ（在（0，π）内）；
条件2 a，b，c，α满足的等式⑥；
条件3 a，b，c，β满足的等式⑦；
条件4 a，b，c，γ满足的等式⑧.
（2）题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何.
逆命题的结论有2个.
结论1 a，b，c可以成为三角形的3条边长；但组成“三角形”是文字语言，不能运算、难以推理，需要进行“数学含义”的解读，可以有多种表征，如：
表征1 3个不等式
a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b；
或不等式 |b-c|＜a＜b+c；
表征2 三角形作图.利用“两边夹角”（比如b，c，a）作三角形，然后验证所作的三角形3条边长为a，b，c.
结论2 a，b，c的对角分别为α，β，γ.但“对角”是文字语言，不能运算难以推理，需要进行“数学含义”的解读.可以通过图形，或余（正）弦定理来确定边与角的对应.
（3）弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构.
先说结论1的表征1.列表1作差异分析：
再说结论1的表征2.由“两边夹角”（b，c，α）总可以作三角形，因此，验证“所作的三角形的3条边长为a，b，c”，只需验证第3边为a，这相当于用余弦定理解三角形.于是，题意的理解就在我们眼前呈现这样一个数学结构：作三角形并求解（参见证明2，构造性的证明）.
最后说结论2.这时结论1成为了一个已知条件，而结论1所得出的三角形本身具有内角，因此，证明“a，b，c的对角分别为α，β，γ”就是证明对应角相等.而要证明两个角相等，一条途径是证明这两个角“在同一个单调区间且有相等的函数值”.于是，题意的理解就在我们眼前呈现这样一个数学结构：证明两个角在同一个单调区间且有相等的函数值.
证明1 由0＜α＜π，得-1＜cosα＜1.
消去α，得
又a，b，c为正实数，开方得
a＜b+c，
同理b＜a+c，c＜a+b，
因此a，b，c对应的线段可以构成一个三角形.记这个三角形为△ABC，而边a的对角为A，边b的对角为B，边c的对角为C，角A，B，C ∈（0，π），由余弦定理，得
从而cosA=cosα，其中A，α∈（0，π）.
由余弦函数在该区间的单调性，可以得出A=α，即边a的对角为a同理，可得边b的对角为β，边c的对角为γ.因此，a，b，c对应的线段构成一个三角形，且边a的对角为α，边b的对角为β，边c的对角为γ.
证明2 作∠BAC=a∈（0，π），使AB=c，AC=b，连接BC.在△ABC中运用余弦定理，得
由余弦函数的单调性，得B=β，即边b的对角为β.同理，边a的对角为α，边c的对角为γ.因此a，b，c对应的线段构成一个三角形，且边a的对角为α，边b的对角为β，边c的对角为γ.
3.余弦定理的逆命题2
有时，余弦定理的结论只写一个等式，这时也可以写出它的逆命题，其分析和证明都与逆命题1类似，也是真命题.
又a，b，c为正实数，开方得
|b-c|＜a＜b+c.
因此，a，b，c对应的线段可以构成一个三角形.记这个三角形为△ABC，且边a的对角为A，其中A∈（0，π）.由余弦定理，得
从而cosA=cosθ，其中A，θ∈（0，π）.
由余弦函数的单调性，得A=θ，即边A的对角为θ.
证明2 作∠BAC=θ∈（0，π），使AB=c，AC=b，连接BC.在△ABC中运用余弦定理，得
得角θ的对边为a，从而a，b，c对应的线段可以构成一个三角形.因此，a，b，c对应的线段构成一个三角形，且边a的对角为θ.
最后指出，上面说的“审题要点”和“审题步骤”，介绍时是分解动作，但形成习惯之后，在操作中将是不间断地自动化完成.
练习1 已知P（x，y）是直角坐标系中的动点，满足：复数（x-1）+yi（
=-1）的模等于|x+1|.
（1）求点P的轨迹方程E；
（2）取点Q（-1，0），求直线PQ斜率的取值范围；
（3）设a，b，c成等差数列，且a，b不同时为0，求直线ax+by+c=0与E的相交弦中点的轨迹方程.
