解题教学中的“三个基本点”&以解析几何为例_直线方程论文

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      解题教学是数学课堂教学的重要组成部分.数学教育家波利亚说：“中学数学的首要任务就是加强解题训练.”解题教学的目的是强化学生对数学知识的理解和掌握，发展学生的数学思维，提高学生的数学素养，建构良好的数学认知结构.但是，解题教学往往容易流于形式，难以达到应有的教学效果.比较常见的是教师虽然把例题讲解了，但是学生遇到类似的问题还是无从下手，甚至在短期内将原题再现，学生仍是“未曾相识”.笔者认为，脱离学生的思维基础和实际水平的教学；缺少学生参与，未能引起学生思维共鸣的教学；浅尝辄止，缺乏对问题进一步深入探究的教学，是造成这种与教学目标严重相背局面的重要原因.解题教学只有基于学生思维基础，基于学生对话交流，基于问题拓展引申的“三基点”，才能达到应有的教学效果.以下以解析几何的解题教学为例，谈谈笔者的认识，以期抛砖引玉.

      一、基于学生基础，把学生的思维作为解题的起点，以因势利导发展思维

      众所周知，从学生的实际情况、个别差异与个性特点出发，有的放矢地进行有区别的教学是因材施教的教学原则.在数学解题教学中，从学生的基础出发，以学生的思维为解题的起点，因势利导进行教学，是贯彻这一原则的具体体现，符合学生的认知规律，无疑是有效教学的必然选择.然而，在课堂上，无视学生感受、无视学生基础的解题教学随处可见.

      例如，有教师以“求定点P

到定直线l：Ax+By+C=0的距离”为题进行解题教学.

      师：（问题展示后）请同学们思考如何解决此问题？

      （教师意欲营造问题情境，引导学生进入自己预设的思维框架之中.）

      生：（思路1）我觉得课本上的方法不容易想到，是否可以这样思考：先求出过定点与定直线垂直的直线方程，并与定直线的方程联立，求出交点的坐标，再求两点间的距离，就是所求的点到直线的距离.

      （学生虽已对教材中的方法有所了解，但仍坚持自己的观点！）

      师：（未加认真思考，不屑一顾地）思维过于简单，这样做会很复杂，不可取！我们用以下方法……

      该教学片断中，教师完全抛开学生的思维另起炉灶（其实是照搬教材），显然是不妥的.虽然学生在思路1下的求解过程比较复杂，含多个字母的代数式运算，且运算量较大，没有一定毅力和运算能力的学生一般来说难以完成.但教学中面对学生自己的思维，教师却不应该断然否定.如果学生在解题时用自己的思路屡试不果，同时又得不到教师的理解、引导与正确的评价，反而被无情地冷落与否定，就势必会严重地打击和伤害他们学习的积极性和自尊心，使学生的自信心降低，产生“我怎么就想不到”、“我不是学数学的料”之类的消极想法，对自己的学习能力产生怀疑.笔者认为，理解学生始终是教学的前提.解题教学应当以学生的思维为起点和生长点，善于发现学生思维中的合理性成分，并在积极评价和赞赏的基础上，因势利导地对问题展开分析，提高认识，发展思维，从而解决问题.对于上述问题中学生的思路，捕捉其价值至少有4点应予以肯定：（1）学生对两条直线的交点和垂直的概念是熟悉的；（2）对于给定了具体的直线方程和点的坐标的问题，其思路是可行的，而且在未知点到直线距离公式之时，此法应为首选（这一点往往被一些教师所忽视）；（3）对于含字母的问题，只是推导过程繁难，一旦推出结果（公式），就“一劳永逸”，值得；（4）正因为此方法不是最优的，才促使我们有必要寻求更加合理的解题方法，这恰是进一步思考的动力之所在，兴趣之源泉.著名教育家爱默生说：“教育成功的秘诀在于尊重学生.”尊重学生的思维，可以使学生树立起坚定的信念.

      学生的思维弥足珍贵！正如在解题道路上铺就的第一块基石.如果还够不着目标，再加第二块石，即第二种思路；如果还不奏效，再铺设第三块石……学生的思维，既有正面的价值，又有反面的价值，当思维可以顺利解决问题时，为正面价值——自然高效.当思维受阻时，为负面价值——促使我们换一个角度去思考，而不是陷入其境不可自拔.从某种意义上看，学生的思路不单单是解题的需要.一方面，能促使学生积极转换思维角度，培养敏锐的洞察能力和应变能力，培养学生迎难而上、探究问题深层原因的良好思维习惯和意志力；另一方面，可作为一面镜子，来映射出学生的所思所想和知识的构建程度，为教师因势利导，调控教学行为起到积极的作用.因此，学生的思维是学生解题之源和教师教学之源.

      “点到直线的距离公式”（其实也是一道习题）的教学，历来是高中数学的难点之一.除课本给出的面积法外，立足学生的思维（学生的最近发展区）可作以下分析：思路1“繁”在求两直线的交点坐标，“难”在求两点间距离.因此，就有必要思考如何避开繁难.将思路1转化为思路2.

      师：思路1中求两条直线的交点是比较复杂的，我们可暂不求出，反正直线l上总存在这一点.现在不妨放宽条件退一步思考，假设Q（x，y）为直线上任意一点，那么，PQ的距离与所求的点P到直线l的距离有什么联系？

      生：PQ的最小值就是所求的点P到直线l的距离.

      师：好，那么PQ的最小值如何求？

      生：只要把PQ的表达式求出来，求函数的最小值就可以了.

      师：好，请同学们求出表达式.

      （学生求解，教师点拨.）

      

      为方便起见，设直线l存在斜率，其方程为y=kx+b.②

      

      当直线不存在斜率时，上式也成立.

      在思路2中，避开了求交点坐标，同时，把直线方程由含三元参数简化为含二元参数，使得问题较易得以解决.这便是基于思路1的启发.

      引导学生再思考，思路2也还存在运算较繁的问题，能否找到更简单的思路？联想向量，得到思路3.

      

      当A=0或B=0时，上式也成立.

      在思路3中，用向量的方法，避免了过多的运算，培养了学生的知识迁移能力，学生的思维得到了锻炼.

      教学实践表明，脱离学生学习实际的解题教学，犹如没调好的琴弦，难以弹奏出优美的旋律.教师的一厢情愿，既缺乏学生思维的生长点，又难以使学生产生思维的共鸣.这正是造成讲而不懂，懂而不会，会而不对，对而不全的根本原因之一.

      二、基于对话交流，让不同思维方法充分展示，以相互比较，优化思维

      毋庸置疑，打破沉闷、积极互动、对话交流，在构建高效课堂的实践中已经形成了广泛的共识.因此，解题教学需要努力营造能够让学生充分展示、交流、释惑、提高的开放课堂，只有这样，才能最大限度地达到生生、师生间心灵的沟通、思维的碰撞、智慧的启迪.解题教学绝不是以用一种思维对另一种思维的生硬“覆盖”为目的，也不是以用一种方法对另一种方法的纯粹“取代”为导向.而是要在充分展示学生思维的开放性、探索性和个性的基础上，发展和优化学生的思维.只有这样的教学，才能够给予学生触及心灵的影响；才能够激活、提升学生在生活中、实践中积累的经验；才能够更新学生的知识和拓展他们的理论视域.对同一个问题的思考，不同的学生会有不同的方法，这都是智慧的体现、思维的结晶.通过不同方法的比较、鉴赏、反思、综合，把集体的智慧凝聚、融合，加以吸收，强化了学生对数学知识的理解和掌握，发展了学生的数学思维.所以，心灵的沟通产生愉悦，在愉悦中会迸发创造力，产生巨大的学习动力.

      已知椭圆

的左顶点为A，点B、C在椭圆上，且AB⊥AC.

      （1）求证：BC恒过轴上一定点.

      （2）求△ABC面积的最大值.

      课堂对话：

      师：我们先看问题（1），要证明BC恒过轴上一定点，该从什么角度思考？

      

：（思路1）从设出AB方程的角度思考，只需要引进一元参数.

      

：（思路2）从设出BC方程的角度思考，需要引进二元参数.

      （这时，学生们议论纷纷，主张思路1和主张思路2的学生几乎各占一半，形成“两军对峙”的态势.）

      师：究竟孰优孰劣？请同学们分别用各自的方法去证明，看看哪个思路可以达到目的？

      证明：（思路1）由题意知，直线AB存在斜率且不为0.

      故可设AB的方程为y=k（x+2）.

      

      

      所以直线BC过x轴上的定点（-1，0）

      

      所以直线BC恒过x轴上的定点（-1，0）.

      证明：（思路2）由题意知，BC的斜率不为0.

      故可设BC的方程为my=x-n.

      

      即n=-1或n=-2（舍）.

      所以BC恒过定点（-1，0）.

      师：以上两种方法虽然切入点不同，引进的参数及个数也不同，但殊途同归，两种方法都是可行的.同学们这种独立思考和积极探索的精神值得表扬，那么通过比较，大家有什么感悟吗？

      

：（激动）虽然我们思考的角度可以解决问题，但比思路2的运算还是复杂了一些，我觉得思路2值得我们学习.

      

：（好奇）思路1中的换元法用得巧妙，没有直接把

，

，m的表达式代入，而是最后再代入，减少了很多重复步骤，是解题的一大亮点.

      

：（疑惑）我不明白为什么可以设出二元参数m、n？题目中只有一个条件“AB⊥AC”啊！怎么多了一个参数，还得到了简洁的证明？

      师：这个问题问得好！

暂不要说，让大家先想一想，如何解释？

      

：（顿悟）因为在“my=x-n”中，已经隐含了“直线BC在x轴上的截距为n”的条件，所以，可以引进二元参数.

      师：

，你是这样考虑的吗？

      

：是的，正是这样考虑的.

      师：（在学生都表示理解的情况下总结）看来，由于思路2的思维成分多了一些，因此，解题过程就少了一些.这是问题的关键，这启发我们解题时，要挖掘题目中的隐含条件，加以利用.不过，以上两种解法，各有长处，都有学习的地方.下面再看问题（2）的解法.

      

      根据椭圆的对称性，可只考虑k＞0的情形.

      

      师：很好，你们说说以上解法的特点.

      

：由思路1及问题（1）的结论，将△ABC分割为以定长为1的边作为底的两个三角形的面积之和是解决问题的关键.将△ABC的面积用

、

表示出来，将

+

，

整体代入转化为k的表达式，利用函数求导数的方法求出△ABC面积的最大值.

      

：我用思路1但没有用到问题（1）的结论，而是由“AB⊥AC”直接去求直角三角形的面积，比

的解法复杂了一些.

      

：由思路2和问题（1）的结论，与

的方法相同，用

、

表示出面积，将

+

，

整体代入转化为关于m的函数.关键是通过换元法，又转化为t的二次函数求最值的问题，不需要用导数法就可求出最值，比上面的解法都简单.

      待三名学生对自己的解法进行了讲评后，教师引导学生认真地从各个角度去分析、比较、总结，“品评”解题的思维方法与数学思想，

、

做出了精彩的总结.

      

：以上证法充分体现了“引参消（求）参”这一解析几何的核心思维，消参又体现了整体思想和方程思想.两种思路从不同的设法解决同一个问题，殊途同归，相得益彰，都是解决解析几何的基本方法.集成块（笔者把思维链：“联立—消元—二次方程—判别式—韦达定理—中点坐标—弦长公式等”称为集成块）的使用体现了直线与圆锥曲线位置关系的代数描述.思路2的证明方法有效避免了复杂运算，略胜一筹.以上两种证法根本的不同之处在于引进参数的个数不同.引进参数是解析几何的必然要求.这是因为要建立几何元素之间的数量关系，就需要在量与量之间建立联系的“桥梁”，参数即“桥梁”，“消参”体现了“过河拆桥”的思路.这种思维与平面几何中“添加辅助线”的思维是一致的，是转化与化归思想的体现.有了问题（1）的解决，问题（2）就迎刃而解了.

      

：最值问题，常用到函数与方程思想以及分类讨论的思想.求函数的最值，灵活性和技巧性强，常常用到导数法、配方法、换元法、均值不等式法，也是难以掌握的.

      师：同学们总结得很好，我们通过分析、比较、反思、总结，提高了认识，训练了思维，加深了对解析几何思想方法的理解.

      三、基于问题拓展延伸，将题目多视角变形或推广，以加深理解，提升思维

      解题教学不仅要对所研究的问题进行分析，加深对知识和方法的理解和掌握，学会求解，而且要通过所研究的问题积累经验，从而实现一类问题的解决.要充分发挥例题的教学功能，善于多视角思考，发现问题中新的切入点，广泛联系，拓展延伸，将问题用足、用尽、用好.这也是克服“题海战术”，达到举一反三、触类旁通效果的有效途径之一.对于推广延伸或拓展变形之后的新情境、新问题，教师应引导学生思考、探索结论的一般性或问题求解的相异性.问题间有何异同？求解的方法有何异同？基于原问题的思维和求解方法，学生会在一系列的“是什么”、“为什么”、“怎么做”的追问中，经过分析比较、质疑反思、比较借鉴、推理判断，探究出解决问题的方法和路径，从而达到巩固知识、提高能力、提升思维、发展认知结构的目的.

      例如，教师提出问题：上述案例可否推广到一般情形？引导学生进行探讨得到以下命题的推广.

      推广：已知椭圆

的左顶点A，点B、C在椭圆上，且AB⊥AC.

      （1）求BC恒过轴上一定点；

      （2）求△ABC面积的最大值.

      解析：根据上例解法的分析，采用思路2来证明（1）.

      （1）证明：设BC的方程为：my=x-n.

      

      （2）设△ABC的面积为S，

      

      以上推广中的问题（2），出现了例题解答中未曾有的，需要用分类讨论的思想方法才能解决的新问题，学生在对比中发现了新问题与原问题存在差异的原因，进行了较之前更有深度的思考，从而加深了对数学思想方法的理解.接着，教师又继续提出了新的问题：抛物线、双曲线有无类似的性质和结论？引导学生在对比中发现，在发现中思考，在思考中提高，从而逐步实现思维的升华、能力的培养和认知的建构.限于篇幅，探究的过程这里不再赘述.

      诚然，造成解题教学效率低下的原因是多方面的，如只关注解题结果，不重视思维过程；只对知识方法简单罗列，未能蕴知识方法于解题之中，等等.但笔者认为，脱离了以上“三基点”的解题教学，会直接影响解题教学应有的效果，这应该得到广大教师的重视.

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