正弦定理教学设计，本文主要内容关键词为：正弦论文,定理论文,教学设计论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在人教版《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学》中，正弦定理的发现、证明、应用用2课时完成，本文从教材分析、目标分析、学法分析、过程分析、设计说明这5个方面谈一谈第1课时的教学设计。
一、教材分析
1.教材的地位与作用
在教材中，平面向量包括向量概念、运算以及向量的应用这两部分内容。正弦定理属于向量应用中的解斜三角形部分。正弦定理是关于三角形边角关系的重要定理。为了巩固向量知识，体现向量的工具性，教科书用向量作为工具证明正弦定理。
2.教学的重点与难点
这节课的教学重点是发现正弦定理，利用向量方法证明正弦定理；其中利用向量方法证明正弦定理也是这节课的教学难点。
二、目标分析
通过这节课的教学想达到下面三个目标：1)知识目标：让学生发现正弦定理，用向量方法证明正弦定理，并且掌握和运用正弦定理；2)能力目标：培养运用向量工具的能力，提高运用所学知识解决实际问题的能力；3)情感目标：鼓励学生探索、发现规律并解决实际问题，激发学生学习数学的兴趣。
三、学法分析
中学生已经具有了一定几何形象思维能力，但抽象思维能力不强，此时刚刚学习了向量概念及其运算，如果按教材正弦定理的证明方法，直接作一个垂直于三角形一边的单位向量，学生可能会感到很突然，难以理解。本文的教学设计将通过搭设台阶，降低坡度，引导学生从几何上发现数量关系、再联系数量积的几何意义，借助向量工具性来证明正弦定理，突出重点，突破难点。
四、过程分析
如图1所示，教学过程分为：结合实例提出问题、观察特例提出猜想、数学实验深入探究、归纳总结完善猜想、证明猜想得出定理、运用定理解决实例六个环节。
图1 教学过程流程图
1.结合实例，提出问题
实际问题：如图2，准备兴建的武汉过江隧道的两端口分别位于汉口的武汉港（A点）和武昌的船舶设计院（B点），为了测量隧道两个端口之间的距离，测量人员在武昌岸一侧选择月亮湾码头（C点），测得BC之间的距离为1434m，∠ACB=38°，∠ABC=96.2°，这样能确定AB间的距离吗？这个问题可以抽象为什么样的数学问题？
图2 武汉过江隧道示意图
【教学设想】 数学源于现实，从“万里长江第一隧”一武汉过江隧道这一学生喜闻乐见的实际工程提出问题，激发学生学习兴趣。引导学生对这一实际问题进行数学抽象，归为解斜三角形问题，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。
2.观察特例，提出猜想
在初中学生已经学习过解直角三角形问题，在RtΔABC中，已知∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c，如图3所示，引导学生回忆在直角三角形中，边长和角度之间有什么样的关系。
图3 直角三角形
进一步提问：这两个关系式能不能推广到任意三角形？
【教学设想】 在直角三角形中引导学生利用已有知识得出两个简洁的边角关系式，把三角形边长与内角联系起来，激活学生头脑中的已有知识；然后马上提出“这种边角关系是否适用于任意三角形”这个问题，打破学生原有认识结构的平衡状态，刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织，促进认知发展。另一方面，从认识论的观点来看，在已有知识基础上提出新问题，有利于调动学生学习探究、接纳新知识的心理倾向；以直角三角形这个特例作为切入点，符合从特殊到一般思维的过程。
3.数学实验，深入探究
如图4，让学生自己动手用几何画板软件进行数学实验，画一个三角形，度量出三边长度和三个角度数值，计算显示一组
值，一组
值，不断拖动三角形一个顶点，改变三角形形状，观察各组比值的变化。直观地检验所提出的两个猜想关系式对斜三角形的适用性。在拖动过程中，猜想(1)的三个比值一直都相等，猜想(2)的两个比值并不是一直都相等，简单地剔除掉猜想(2)，保留猜想(1)。
【教学设想】 中学生对于物理实验、化学实验、生物实验比较熟悉，抽象的数学也进行实验，能激起学生的好奇心和探究欲望。让学生用几何画板自己进行数学实验，还可以使学生体会到数学的系统演绎性和实验归纳性两个侧面。
4.归纳总结，完善猜想
图4 用几何画板软件进行数学实验
归纳总结数学实验结果，完善猜想：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
【教学设想】 引导和鼓励学生扮演数学家的角色，模拟数学家的思维方式和思维过程，归纳总结数学实验结果，主动地投入到数学发现的过程中，发展创造性思维能力。另一方面要引导学生注意到猜想需要严格证明才能成为定理，培养和强化学生数学思维的严谨性。
5.证明猜想，得出定理
【教学设想】 按照从易到难、从直观到抽象的认知规律，循序渐进引导学生从几何层面、数形结合层面、向量分析层面进行思考，突破难点，得出定理。实现数与形结合、形象思维与抽象思维结合，拓展学生思维空间的深度和广度，体现向量的工具性作用。
(1)从最直观的几何层面思考
如图5，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.求证：
图5
分析 引导学生将要证的连等式分成两个等式来证明，然后过C点作高CD，把斜三角形分成两个直角三角形，借助CD相等，bsinA=CD,as-inB=CD，得bsinA=asinB，即
，证得一个等式。同理可证另一个等式，于是连等式得证。
【教学设想】 通过作辅助线，把斜三角形转化为直角三角形，把学生不熟悉的问题转化为熟悉的问题，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题。
(2)从数形结合层面思考
提出4个问题，引导学生从向量角度重新思考刚才的几何证明过程。
问题1 从几何层面思考时，作了高CD，那么向量
，
在
方向上的投影各等于什么？学生容易看出，都等于向量的长度。
问题2 平面向量数量积的几何意义是什么？引导学生回顾：向量a与b的数量积等于向量a的长度与向量b在a方向上的投影的乘积。
进一步提出问题4：这个数量积关系式如何用三角形边长、内角关系表示？
至此，水到渠成，学生已经可以得出定理连等式中的一个等式。
【教学设想】 层层递进提出4个问题，引导学生从向量角度重新思考几何证明过程，以向量数量积的几何意义作为突破口，把学生的几何图形思维方式引导过渡到向量思维方式，自然而然地把学生带到了一个全新的知识生长场景之中，
最后提出问题5，引导学生讨论钝角三角形的情形。
(3)从向量分析层面思考
①提出挑战问题，激发探究欲望：从向量角度来看，任何一个三角形可以看作由首尾相接的三个向量构成，这三个向量之和等于什么？
学生很容易看出其和为零向量，
。如图6，这是我们从构成三角形的三个向量中抽象出来的最基本的向量关系式，如何将这个向量关系式转化成数量关系？
图6
②点燃思想火花，突破思维瓶颈：学生经过思考发现，向量的数量积和向量长度都能将向量与数量联系起来，引导学生进一步思考，向量长度实际是向量与自身数量积的平方根。于是学生会思考发现，给等式两边同时点乘非零向量e，就可以将已知的向量关系式转化成数量关系式。
③拓展思维空间，完成螺旋上升：引导学生从一般的表达式
出发，进行反思，发现当e取向量时得到数形结合层面中的数量积关系；当e取
上的单位向量j时，就是教材中证明正弦定理的方法。从而让学生从向量分析的层面重新审视前面的定理证明过程，发现其中的数学本质，拓展和深化学生思维空间，使学生感受探索创新和成功的喜悦，
【教学设想】 从几何层面、数形结合层面，上升到全面利用向量工具进行抽象分析的层面，在思维水平上更上一层楼，再从抽象分析层面反思回归到数形结合层面，完成学生思维从几何→数形结合→向量分析→数形结合层面的螺旋式上升过程，从而使学生深刻体会形象思维与抽象思维的统一，让学生“既见树木又见森林”。此时学生热情高昂，课堂气氛达到高潮，学生的思维活动、教师的思维活动、数学家的思维活动剧烈碰撞、融合、互动，学生的思维得到飞跃性发展，学生的智慧之门被开启。
6.运用定理，解决实例
让学生掌握正弦定理的内容及公式特征，讨论正弦定理可以解决哪几类有关三角形的问题。作为课堂练习，让学生运用正弦定理解决本节课引入的过江隧道工程实例，求隧道的长度。
【教学设想】 让学生自己动手解决重大实际工程中的数学问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的自豪感，变“要我学”为“我要学，我要研究”。
五、设计说明
这节课的设计强调研究性学习方法，注重培养学生的终生学习能力。结合武汉过江隧道这个实际工程提出三角形边角关系的问题，通过观察直角三角形边角关系的特殊性提出猜想，让学生用数学实验进行深入探究，归纳总结数学实验结果，完善猜想，然后由易到难、由直观到抽象，从三个层面证明正弦定理，让学生掌握用向量证明正弦定理方法，体会向量的工具性作用；最后再简单运用正弦定理解决实际问题。
按照建构主义观点，知识需要经过学习者自身体验，才能被同化和顺应，因此，教学设计庄重学生的主体地位，发挥教师的组织和引导的作用，调动学生的主动性和积极性，使数学教学成为数学活动的教学，激发学生学习数学的兴趣。
注：本课在2004年全国中学青年数学教师优秀课观摩与评比活动中，荣获一等奖。