我国八年级学生数学表征能力的调查研究，本文主要内容关键词为：表征论文,调查研究论文,八年级论文,能力论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“数学表征”是指“用某种形式，例如书面符号、图形（表）、情景、操作性模型、文字（包括口头文字）等，表达要学习的或处理的数学概念或关系，以便最终解决问题”[1].而学生的“数学表征能力”表现为“在具体特定的情境下能够识别、解释以特定表征形式出现的知识，并能够根据具体情况和目的去应用、选择、转换各种不同形式的表征用于数学问题的解决”[1]. 对能力的测评是对学生学业成就测评的重要方面，也能反映出一个国家教育质量的高低.在德国、美国、丹麦等国家的数学课程标准中都将数学表征能力作为最核心的能力之一[2].在我国《普通高中数学课程标准（实验）》中，也把“符号表示”作为一个重要的能力提出[3].学生能力国际评价项目PISA（Program for International Student Assessment）从2000年到2015年，一直都把表征能力作为数学能力评价的一项重要指标.本课题组根据国内外关于数学核心能力的研究，从数学活动的视角为我国学生学业质量评价提出了一个由6种数学核心能力构成的模型与测评框架.作为该框架中的一个方面，本研究以数学表征能力框架为依据，编制和优化了测试题，并使用该测试题对我国八年级学生的数学表征能力做了调查. 二、研究方法 （一）调查内容 本测试题调查内容以我国学生数学表征能力评价框架①为依据，该框架与PISA关于数学素养评价的三个维度：情景、内容、能力类似，但其中的内容维度所包含的具体数学主题却与我国义务段数学课程标准内容要求保持高度的一致；而能力维度为了区分出学生表征能力的三个水平，又为测试题划分出任务类型和表现形式. 其中，情境是根据学生将经验材料进行逻辑组织时经验材料与学生日常生活的距离远近，分为个人生活情境、教育情境、社会团体生活情景和自然科学情景四种.内容在本研究中包括数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践.任务类型分为规范解答题和开放题（结论开放或策略开放）两种.表征能力的表现形式分为系统间表征和系统内表征.系统间表征是指在书面符号、几何图形（表）、语言文字（口头）以及操作性表征四个数学表征系统之间进行的表征转换.系统内表征包括变量替换、初等几何变换、恒等变形、映射变换四种.数学表征能力水平划分为水平一（再现）、水平二（联系）和水平三（反思）三个水平. （二）调查工具的形成 为了保证正式测试工具的有效性和合理性，我们进行了两次预测试，并对出现的问题进行了调整. 1.第一次预测试：实施时间为2012年9月；测试对象是33名九年级上海学生.第一次预测试共设计了13道题目，完成时间为40分钟. 第一次预测试结果有明显的能力水平分层，但个别题目得分率远离该题所处水平的平均得分率.通过与任课老师沟通后发现，主要原因是知识点对于学生来说过于熟悉或过于陌生.例如，某水平二的题目得分率高于该水平平均得分率55.6个百分点的原因是被测学生刚刚学习了点与直线的位置关系问题的形式化解决方法，并且学习过程中，任课教师反复强调了形式化的书写规则.而另一题低于平均得分率28.3个百分点则源于被测学生尚未涉足严格的代数讨论.还有一些题目的低得分率则与时间不够有关.基于以上原因我们对部分试题进行了水平调整、修改或删除，并补充了缺失的概率统计和解析几何内容领域的题目，经课题组专家认证后共保留了9题. 2.第二次预测试：时间为2012年11月；测试对象是上海27名八年级学生及浙江52名九年级学生.第二次预测试共设计了9道题目，完成时间为40分钟. 第二次测试结果中单个题目得分率远离平均得分率的问题并不大，仅对个别得分率较低的题目进行了质性分析，分析发现，有些题目设置没有要求写出解答过程从而导致无法判断，还有些题目是上海八年级学生还不能达到的.第二次修正主要完善了部分题目的表述，经专家组建议，又加入一道几何变换与文字表征转化的题目. 以我国学生数学表征能力框架为依据形成的正式测试工具由10道题目构成，分布情况如图1所示. （三）正式的测试 1.研究对象与实施 本课题组采用分层整群抽样的方法在全国八年级学生中选取被试样本：首先，按照不同地理位置、不同经济发展水平选取8个城市；然后，按照综合水平差异在该城市中选取不同层次的3所以上学校；最后，在每个样本学校中，选取一个整班学生参加数学表征能力测试，这种取样方式较好地保障了样本的代表性.为了保证被测学生基本掌握八年级及以前的知识，测试时间控制在5月中旬至6月初，正式测试对象在各地区的分布情况如下表1.
回收的测试卷全部按单题进行编码，编码系统由四部分构成，第一项是题号；第二项是能力表现形式，系统间表征记为R，系统内表征记为T.第三项是拟定的水平编码，代号从1到3；第四项是学生解答情况，答对记为1，否则记为0.例如：4_R_2＿1，代表第四题考察系统间表征能力，拟定水平二，学生回答正确. （四）IRT理论对测试题水平合理性的验证 编码系统中的第三项，即水平编码，是我们主观拟定的水平，因为研究者不可能在测试前确定学生对测试题反映出的实际能力水平.为了对测试题目的拟定水平合理性进行判断，在测试结束后采用项目反应理论（IRT：Item Response Theory）对测试结果进行了分析.这是应用了IRT的测量原理异于传统CTT（Classical Test Theory）测量原理的特性，在进行成就测验时，传统CTT的测量方法只能在测试题的拟定水平上给测试对象相应的水平分类，但IRT测量方法能够根据测试对象群体在测试任务上的表现，反过来客观地认定测试任务相应的水平[4]. 经过SPSS软件统计测试结果，并通过IRT测量方法分析各任务的客观水平与拟定水平的差异.得到测量结果如下表2.
可以看出，大部分任务的客观水平与拟定水平相符，且区分度大多属于中等及以上（A=0.978）.但仍有三道题目的客观水平与拟定水平略有差异，即第3、4和第2.1题，三者的客观难度系数与拟定难度系数的差异值分别为0.648、0.241和0.693，即均小于每级难度区间的二分之一，因此可以说，该数学表征能力评价工具在水平维度方面的认定较为合理. 三、研究结果与分析 （一）我国学生数学表征能力总体上处于第二水平向第三水平过渡阶段 图2大致描绘出了我国八年级学生在数学表征能力方面所处的水平，可以看出，有13.1%的学生未达到水平一；15.4%的学生至多答出了水平一的全部试题，无法完成水平二和水平三的任务；51.2%的学生属于水平二，他们虽然未能全部答对水平三的任务，但能答对大部分的水平一和水平二的测试题；20.4%的学生不仅答对了大部分水平一和水平二的测试任务，还成功地完成了全部水平三的任务.
从测试结果看，大部分学生的数学表征能力处于第二水平，即“联系水平”，本课题组对“联系水平”的界定是“能够在非常规但含有某些熟悉信息的情境中，清楚地解释和转换两个以上不同的表征形式，用以问题的解决.”；例如，测试题第4题：已知两条线段的长为6cm和12cm，当第三条线段的长为多长时，这三条线段能组成一个直角三角形？这是一道水平二的解答题，其中三角形三边关系是学生熟悉的信息，但题设没有像常规题目那样明确指出第三条边是直角边还是斜边，所以需要学生依据图形表征分别考虑这两种情况，并和符号（代数）表征联系起来才能解决.78.7%的学生都能正确解决这个问题，说明大部分学生能顺利辨识出题目中的非常规信息，并十分清楚三角形三边关系中的图形表征和符号表征的“同构性”本质.这表明大部分学生能够把非常规情景和熟悉的信息联系起来，轻松利用图形系统和符号系统间的转换解决问题. 同时还可看出，达到水平三，即反思水平的学生比例高于水平一和水平零的学生比例.本课题组对“反思水平”的界定是“能够在非常规甚至是较为复杂的问题情境中理解和转换不同形式的表征，或者为问题设计出某种表征形式用于问题的解决”.例如，测试题第6题是：某个数加上168就得到一个正整数的平方，加上100也能得到一个正整数的平方，这数是多少？这个题目有两项任务，第一项任务处于水平二：要把文字表征的题意转化为符号表征的未知量关系；第二项任务处于水平三：求出这个数.该题目里面同时出现了三个未知量，对学生来说是非常少见的，而利用两个等式求出三个未知数的过程也比较艰难，要对各种系统内表征非常熟悉才可能想到恒等变形和映射变换.50.5%的学生能正确表达出或其他等价形式，只有15.7%的学生能求出这个数.整体来看，被测学生的数学表征能力应该是正从水平二向水平三的过渡，正在从“联系水平”到“反思水平”的提升过程中. （二）系统间表征好于系统内表征，且二者高度相关 统计图3中可以看出，除了水平一由于未设置系统内测试题而无法比较外，在水平二和水平三上，系统间表征测试题的正确率均高于系统内表征测试题的正确率，仍以第6题为例，任务一涉及语言系统和符号系统间的转换，正确率较高，任务二涉及系统内转化，技巧性较强，则正确率降低.从图3还可以看出，随着能力水平的增加，系统间题目正确率下降时系统内题目正确率跟着下降，所以我们猜测系统间表征能力与系统内表征能力可能存在相关性.为了验证这种相关性，我们将IRT计算出的能力值设定为连续型顺序数值变量，取值区间界定为（-1，1），能力值越大表示学生能力越强，选用Spearman（rob）等级相关检验（如表3）做了分析.
检验相关系数表显示，学生系统间表征能力值和系统内表征能力值的相关系数为0.523，P=0.000＜0.01，由此判断系统间表征能力和系统内表征能力高度相关，即若学生在系统间表征试题上表现较好，则很可能在系统内表征试题上表现也较好. （三）男生数学表征能力平均水平低于女生，且更具差异性 将学生按性别进行分类，统计结果发现，男生的表征能力平均水平（M=-0.038）要低于女生（M=0.021），男生在系统间表征能力的平均水平（M=-0.058）低于女生（M=0.037），而系统内表征能力的平均水平（M=0.006）却高于女生（M=-0.020），同时不管是系统间表征能力还是系统内表征能力，男生表现的差异性总是大于女生.
（四）各地区在各题目上表现的差异性都较大 从表5可以看出，不同地区学生在每个题目上反映出的数学表征能力都有显著差异（如表5，P＜0.01）.这符合我国幅员辽阔，各地教育环境、办学、师资及管理水平不同的特点.
四、研究的局限性 本研究在义务教育阶段学生数学表征能力评价框架基础上编制了测试题，通过质性及量化分析对试题合理性和有效性进行了修正，并对全国八个地区学生的数学表征能力进行了测试.但受研究时间、研究条件以及个人经验的限制，本研究尚存在一些不足之处：其中，问题情境只针对了个人生活情境及教育情境进行命题，未能包含框架中情境维度上的其他两项内容，且测试任务的侧重点偏向与学生学校数学知识更近的教育情境问题，对于涉及社会团体生活及自然科学情境问题，目前正在进一步完善中；另外，限于纸笔测验的特点，操作性表征涉及较少，内容领域的实践与综合也没能涉及，在努力寻找开发新的测量手段.总之，未来还有很多工作需要我们进一步研究与探讨. ①张晋宇，姜慧慧，谢海燕，鲍建生.数学表征能力的评价指标体系研究综述（待发表）.
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