摘要：在初中阶段，逻缉推理能力是学生学习数学时非常重要的一种能力。所以，我们在要求学生写证明题时必须做到每一步都要有理由，但是有时候在证明一些命题时，我们没有办法找到证明的理由，特别是在说明一个命题是否正确时，就需要我们在课堂上找到反例来帮助说明。反例就是解决这个特殊问题的，其实反例就是我们课堂所举的那些只能满足题目的条件，但不能满足题目结论的例子。(即命题条件与其命题的结论相互矛盾的例子)。当我们要证明某个命题正确时，就要说明当满足它的条件时，它的结论都是正确的。而我们要说某个结论不对，只要找一个结论不正确，可是却满足命题的条件的例子。像这样的例子就叫做反例。
关键词：反例；推理；满足；作用
数学中的反例就是一个例子，它的作用就是拿来说明某个结论是错误的。它只能满足命题的条件，却不能满足命题的结论。这样的例子叫做反例。比如说，有这样的一个命题：我们班所有的同学都喜欢上数学课。那么我们应该怎样说明这句话是错误的呢？怎样去寻找说明这句话是错误的反例呢？我们只需要找一个班上的同学，但他又不喜欢上数学课的同学。也就是“一个不爱上数学课的班上同学”成为这个命题的反例，在学生进行数学几何证明过程中，举反例的方法和证明的方法都是我们平时常用的两种方法，举反例是我们正面无法证明时很好的一种补充方法。证明就是用一句正确的话，去推出另一句话也是正确的。但是，反例是用一句正确的话，去说明另一句话是错误的。事物和事物之间的联系都能用这两种方法来推理。美国数学家盖尔鲍姆说过，不断提出证明和举出反例的过程就是学习数学的过程，它决定了数学发展的两个主要方向。
在数学课堂上要想让学生学得好，除了正面的证明，也要使用举反例的方法帮助学生从另一个方面进行正确理解。它也是我们平时教学过程中经常用到的方法，它可以让学生很轻松地理解书本所学知识。可以更好地解读性质、定理，掌握好数学，提高学生的解题能力。
接下来，我们将从反例的组成、反例在数学课堂的应用、反例对学生推理能力培养、举反例要关注的问题来进行说明。
一、反例的组成
我们只有经过严密的推理论证，才能说明一个结论它是正确可靠的；但是要说一个结论是错误的，只要找到举一个反例就可以了。平时在课堂上我们可直接举一个符合该命题的反例，就可以说明这一句话是错误的，不要通过繁杂的证明过程，从而更容易理解该结论。
那反例怎么找呢？是不是随便找一个例子都是反例呢？这就要求所找到的例子必须一个符合命题的反例，也就要求学生必需经过很多的思考，还有以往经验的积累，反例不是很容易就能出现的。要想得到反例，分析命题的条件是必须的。例如：相等的角是对顶角，这个命题的条件是什么呢？两个相等的角，从而引导学生发现，所有相等的角当中未必都是对顶角。
在初中数学学习中，我们要学习很多概念。若给出一个概念的定义，然后判断它对不对，我们常常需要从命题的条件入手分析来寻找反例。反例是一种简单又好用的判断命题错误的方法，同时它也可以提高学生逆向思维，又能帮助学生正确理解定义、性质。反例是我们在证明过程中完美的补充，它也是一种数学证明方法。
二、反例在数学课堂中的应用
在我们初中数学课堂上，利用反例对我们数学课堂教学有什么帮助呢？
1.帮助我们正确全面地理解数学概念
当我们解读某个数学的概念给学生听时，除了进行正面的理解外，有的时候还要从反过来，找到一个合适该数学的概念的反例来帮助说明概念的含义，让学生更容易地理解此概念。
例1.在学习函数的概念时，有一小部分学生他们是这样想的：只要有变化而变化，这种关系就是函数关系，如何让学生正确理解函数的概念呢？我们可以提出以下两个问题：
(1)人的身高与体重成函数关系吗？
(2)若,则y是x的函数吗？
笔者认为很多学生会认为人的身高与体重构成函数关系。因为人长大了，体重也就增加了。所以，人的身高与体重有关系，只要有关系那就是函数关系。此时，我们可以问学生，当你13岁这一年中，你的体重是不是都不变呢？你能确定吗？通过这样的反例，让学生发现，虽然人的身高和体重有关系，但是当人体重确定时，人的身高有可能不唯一，即当自变量(人的体重)发生变化时，因变量(身高)没有完全唯一的值和它对应，因此不符合函数的定义。从而加深了对函数的认识。而(2)中学生会说：y不是x的函数，因为当时，，因变量y不随x的变化而变化(当时，y值都是1)，此时我们可以问学生当确定时，唯一吗？其实对每一个给定x的值，当x变化时，虽然y的值有时不变。但还是有唯一确定的值和它对应，由此认识到y是x的函数，并非一定要求y随x的变化而变化，而是对每一个给定x的值，y都有唯一值和它对应。什么是函数关系？通过所举两个反例的学习，他们就掌握了函数关系的本质。
课堂上，当我们在教学生学习概念、定理、公式一时，经常发现学生对一些关键句不够理解，而是强行记忆概念、定理、公式，并没有真正地理解。结果遇到与概念、定理、公式有点相似的，就容易造成混淆。
例2对于矩形、菱形、正方形的判定它们内容很相近，这就容易让他们搞不清楚。因此，在数学课堂教学中，我们可以让他们相互多举一些这样反例，以便更好地强化对判定的理解。
例3：当我们在学习矩形、菱形、正方形时，它们之间有很多性质，而且它们之间既有区别，同时又有联系。 这时学生就很容易发生错误 例如把矩形的性质说成对角线互相垂直这样的错误等等。当我们碰到这种情况时，我们可以先让学生上黑板画一个长方形(非正方形)，然后叫他们用尺子比一比，看看它们的对角线是否互相垂直。通过这样的反例，学生很容易就能发现这是不对的。从而使他们全面、深刻地理解所学知识。因此，当所学相关知识较多时，我们可以通过让学生举一些反例帮助理解。
2.增强发现问题，纠正错误的观念
在学生考试过程中，我们发现上次考试学生做错的题目，下回考试他还是会错。这时候，我们可以举一些反例，让学生进行对比，找到错误根源，从而找到正确的解决办法。
例4. (1)学生在判断两个变量是否成反比例时，往往不是很清楚。
小明一共要做10道数学题，没做的题和已经做的题，会成反比例吗？
错解：已经做了的题和没有做的题是成反比例的。
可能有一些学生会认为这是对的，因为他们觉得只要一个变大，另一个变小这就是成反比例。这是因为他们没有充分理解成反比例条件，即两个变量的乘积是一个定量。而不是两个变量的和是定量，这样就能让学生清找到错误的原因，这样就让他们很好地理解了成反比例的条件。
(2)同学在解有关分式方程去分母时，往往会出现漏乘现象。
3.理解并掌握数学中的定理、性质
当我们在课堂上学习定理、性质时，常常对一些关键句理解不透，以至于造成解题的错误。所以，在实际的教学中，我们要善于举反例，来帮助学生记住定理、性质中的关键句，使之正确掌握定理、性质。
例6.垂径定理的推论1“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”，括号中的限制条件我们经常忘记，所以此时可以举反例：过圆心任意画出圆的两条直径，它们虽然能互相平分，可是不会垂直，从而使学生加深对不是直径的理解。
4.加深对公式、法则的正确理解并灵活运用
忘记公式、法则使用范围，这是学生在做题时，经常犯的错误。因此，我们在教学生公式、法则时，最好举一些反例，来强调使用范围，使他们更全面地掌握好这些公式、法则。
你认为谁正确，为什么？
此例是有绝对值的应用，导致两种结果的原因是绝对值中a-3的值是大于0还是小于0，因此有两种情况。观察甲、乙两位同学计算的过程，让我们注意今后只要碰到有绝对值式子时，一定要注意绝对值内代数式的正负，对结果的影响。
5.提高否定错误的命题的能力
判断一句话(或一种理论)的真假，首先想到的方法就是举反例。因为它直观、清晰、具有说服力强等，因而在，揭示错误，否定命题时显示出它特殊的震撼力。
课堂上有一些问题，如果我们从正面角度讲，你讲了很久他们可能还是不理解，以至产生错误的理解，为了能够能让他们正确的判断问题的真假，所以在课堂教学时可以举一些反例，以借助反例来提高同学否定错误的能力。
例8. 一定是负数吗？有些学生会认为前面有一个负号就是负数学。其实，它这时侯我们可以举这样一个反例。如果这个数呢？那么在这个数前面加一个负号就变成了一个正数1了。还有如果这个数是0，在0的前面加个负号还是0。所以这句话是错误的。所以不一定是负数。
反例的功能是强大的，通过上面简单探讨，可以看出它是理解数学概念的得力助手，也是我们改正错误的有效方法，还是强调条件的好方法，更是否定错误结论的利器。
三、反例对学生推理能力培养
1.培养学生的思维
数学课堂上使用反例更容易加强学生对性质的理解，所以使用反例，能使教师在教学时，及时发现学生认识的偏差和不足，而且还可以及时弥补相关知识，学会用多个角度去思考问题，提高学生思维的灵活性。
(1)反例用于强调条件
当我们教给学生一些公式、法则、定理时，表面上学生会懂，但事实上他们只是简单的记住了，而没有关注到使用它们的注意事项。在使用公式、法则来解题时，不注意到使用它们的限制条件，只是简单模仿例题。所以为了加强对限制条件的理解，我们需要要举出一些反例。
例9 .比较下列两数的大小:
-1和5
错解：∵ | -1| = 1， | 5 | = 5 ，
1﹤5，
∴ - 1 5 .
而事实上，- 1﹤5 其错误的原因就在于利用绝对值只能比较两个负数的大小。而5是正数。
正解：∵-1是负数，5是正数
正数大于一切负数
∴- 1﹤5
通常情况下我们一遇到题目中只有文字和字母，而且3句话都差不多，就不知从何处下手。实际上，做这类题时，最好的方法就是举例子验证。
分析：由中点定义可知②是正确的，③其实和②是一样的。那①对吗？我们可举几个反例验证一下。
由上图可知，AM=MB,可是点M并不是线段AB的中点。其错误的原因就在于没有说点M有没有落在线段AB上。因此①是错误的。
例12.下列命题中正确的是()
A．对角线相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
上题中4句话都差不多，很难看出谁对谁错，不知从何处下手。实际上，做这类题时，最好的方法就是举例子验证。例如A选项我们可以找等腰梯形对角线相等，因此A错；B选项我们可以找矩形；因此B错。由下图可知，该四边形对角线互相垂直，但它并不是是菱形。因此C错。因此选D。
2.培养思维的深刻性
在解题的过程中，我们常常会发现答案有多种情况，而某些情况它不符合，这时我们就需要用反例进行说明。从而培养思维的深刻性。
3.培养思维的发散性
在数学课堂上，可以利用反例大大丰富课堂教学。因为反例的组成不是唯一的，所以我们可以充分地调动学生多多地举出反例。从而调动了数学课堂氛，充分展开想象，同时也让学生的发散性思维得到充分发挥和训练。
(1)反例经常用于否定错误的命题
在平面几何学习中，我们往往通过对比来发现一些错误的命题，这就需要用到反例来否定这些错误的命题。
例14我们可能会把“所有的正方形都会相似”的结论移植到矩形中，误认为“所有的矩形都会相似”。此时就可以构造反例：一个矩形长为3，宽为2；另矩形长为4，宽为5，显然两个矩形长和宽不会成比例。可见，所有的矩形都会相似这句话是错误的。
四、举反例要关注的问题
反例虽然在我们数学课堂上广泛运用，但在课堂教学中，运用反例时还要注意一些小问题：
1.注意主次。在正常的上课过程中我们学习概念,定理和法则，一般是以书本上的证明为主。而举反例的方法只是一种辅助方法，只要能运用它否定错误的命题就可以了，不必要学太深。2.注意适当。反例的选择不是随随便便的，它既要合适又能说明问题。不要发很多时间找来一大堆无效的反例。这样不仅没用，又容易让学生产失败感。不一样的知识点，所用到的反例也不一样，要求也不一样。总之，合适的反例才是最好的反例。
总之，对于中学生来说，解题是他们必须掌握的数学能力。通过解题，可以考查他们对知识的掌握情况。而反例能很好地帮助学生解题。它很好地辅助了我们的课堂教学。因此，我们在引导学生做数学题时，除了让他们学会从正面寻找解题的出路同时，也要让他们学会用反例的方法来证明。从而更好地提高学生的综合解题能力。
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[5]郭天印.教育科学研究[J].教育科学研究，2003(2).
(作者单位：福鼎十七中 )
论文作者:方小龙
论文发表刊物:《中学课程辅导●教学研究》2015年12月下
论文发表时间:2016/3/29
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