情境试题分析_数学论文

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情境性试题，是一类具有创设实际问题情境特点的试题，它能唤醒学生已有的经验储备，激发他们答题的积极性，使他们把自己的数学积淀与能力应用于生活实践之中。这类试题能很好地考查学生应用数学知识分析问题、解决问题能力及推理、探究能力。本文以2010年部分省市中考数学试卷中的部分试题为例，加以归类评析。

一、再现课本中的问题情境——拓展、延伸

例1 （2010淮安中考）(1)观察发现：

如图1，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小。

图1

解法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P。

再如图2，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小。

解法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为______。

(2)实践运用：

如图3，已知⊙O的直径CD为4，弧AD的度数为60°，点B是弧AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值。

(3)拓展延伸：

如图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD。保留作图痕迹，不必写出作法。

图4

评析 “两点之间线段最短”原理是初中数学解决折线段之和最值问题的基本模型，这个原理在初中数学解题中有着广泛的应用。本试题首先再现了课本的原型，又拓展到等边三角形、圆、四边形，旨在考查学生提取模型、建立模型解决实际问题的能力。

例2 （2010青岛中考）问题再现：

现实生活中，镶嵌图案问题在地面、墙面，以及服装面料设计中随处可见。八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题。今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究。

我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面。如图5中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角。

图5

试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着______个正六边形的内角。

问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？

问题解决：

猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？

分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决。从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点。具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角。

验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角。根据题意，可得方程：

结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌。

猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由。

上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案。

问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程。

评析以课题学习“平面图形的镶嵌”为切入点，首先提取“平面图形的镶嵌”的实质是“一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角”，然后通过建立方程模型解决，从一种正多边形单独镶嵌，到两种、三种正多边形的镶嵌，目的在于引导学生学习数学应该有所感悟、有所延伸、有所拓展。

例3 （2010威海中考）(1)探究新知：

①如图6，已知AD∥BC，AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点。求证：△ABM与△ABN的面积相等。

图6

②如图7，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点。试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由。

图7

(2)结论应用：如图8，抛物线的顶点为C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点D。试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由。

图8

评析试题首先提供利用“两平行线之间距离处处相等”解决等积问题的情境，然后把问题置放于抛物线的背景中，把学生引领到潜心体会问题解决的本质上，较好地考查了学生对“问题本质”的建模能力。

二、提供新定义型问题情境——阅读理解、应用

例4 （2010台州中考）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位。用实数加法表示为3+(-2)=1。

若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对｛a，b｝叫做这一平移的“平移量”；“平移量”｛a，b｝与“平移量”｛c，d｝的加法运算法则为｛a，b｝+｛c，d｝=｛a+c，b+d｝。

解决问题：(1)计算：｛3，1｝+｛1，2｝；｛1，2｝+｛3，1｝。

(2)①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”｛3，1｝平移到A，再按照“平移量”｛1，2｝平移到B；若先把动点P按照“平移量”｛1，2｝平移到C，再按照“平移量”｛3，1｝平移，最后的位置还是点B吗？在图9中画出四边形OABC。

图9

②证明四边形OABC是平行四边形。

③如图10，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P(2，3)，再从码头P航行到码头Q(5，5)，最后回到出发点O。请用“平移量”加法算式表示它的航行过程。

图10

评析情境提供的信息新定义了“平移量”的加法运算法则，通过对所阅读的材料进行整理、理解、概括，把握方法，然后把方法加以模仿、延伸、应用，旨在考查知识的迁移能力及思维的灵活性。

三、创设生活中的应用性问题情境——探索、解决

例5 （2010恩施中考）(1)计算：如图11，直径为a的三等圆两两外切，切点分别为A、B、C，求的长（用含a的代数式表示）。

图11

(2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图12所示的方案一和如图13所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度（用含n、a的代数式表示）。

(3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米。用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？()

评析数学生活化是教育现代化对数学教学提出的新的要求，创设来源于现代生活实际的问题情境，既要将其转化为数学模型问题，又要运用所学知识解决问题，考□学生学习数学知识、应用数学知识的能力和学生的数学素质；

例6 （2010河北中考）观察思考：某种在同一平面进行传动的机械装置如图14，图15是它的示意图。其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动。在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙0上运动。数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米。

解决问题：

(1)点Q与点O间的最小距离是______分米；

点Q与点O间的最大距离是______分米；

点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米。

(2)如图16，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的。”你认为他的判断对吗？为什么？

图16

(3)①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小。”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是______分米；

②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数。

评析数学源于生活，又广泛用于生活。新课程告诉我们，要加强数学学习与生活的联系，让学生在生活中学习，让学生的数学素养在生活中提高。可见培养学生在生活中学习数学和运用数学的知识和能力，是数学教学的一项重要任务。创设联系实际的问题情境，考查学生在生活中学习数学和运用数学解决生活中实际问题的能力，强化学生在生活中学数学、用数学的意识，培养学生在生活中学数学、用数学的良好习惯。

四、提供实验论证型问题情境——归纳、猜想、运用

例7 （2010江西中考）课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。