记一次“中奖问题”的概率探析活动，本文主要内容关键词为：探析论文,概率论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的起因
概率，是学生喜爱的数学内容之一。学生学习概率时的问或答，往往都有文章可做。教学浙教版九（下）的《概率的简单应用》时，教师改编了例1，内容如下：某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同。以每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖89个。问一张奖券中一等奖的概率是多少？中奖的概率是多少？
整节课很顺利，直到小结时，平时数学成绩不佳的同学A提了一个问题：
A：老师，如果例1中有4张奖券中奖的概率是多少？
同学1∶0.04，是1张奖券中奖概率的4倍哇。
A：老师，我演算过了，不对。
同学2：不可能。
A：如果4张奖券的中奖概率是1张奖券中奖概率的4倍，照此下去，有100张奖券中奖的概率就是1张的100倍，这时中奖的概率等于100乘以
，积等于1。这变成了一个必然事件，也就是说，有100张奖券必然能中奖，这与实际矛盾。
同学们：……
A的这番话显然震惊了其他同学，其他同学也突然明白了这个事件的概率并不会等于1张奖券中奖概率的简单的4倍。而老师只是平静地告诉同学们“下节课大家一起探讨这个事件的概率”。
二、探析过程简述
第二节课，老师开门见山地告诉同学们：这节课大家一起讨论4张奖券中奖的概率到底是多少。解决这个问题前，大家先看问题一：现有5张奖券，其中2张有奖，随机抽取1张，中奖的概率是多大？画树状图分析。
同学3：用T代表中奖奖券，F代表不中奖奖券，如右树状图。
紧接着，老师给出了问题二：现有5张奖券，其中2张有奖，随机抽取2张，中奖的概率是多大？请画树状图分析。
同学4：用T代表中奖奖券，F代表不中奖奖券，树状图如下：
老师追问：随机抽取2张中奖的概率会是1张的2倍吗？
同学4：因为随机抽取2张中奖的概率是0.7，小于随机抽取1张中奖的概率0.4的2倍。
老师继续追问：为什么会小于2倍呢？
教室里一片寂静，后来才有低低地讨论声，直到A举手：
A：第一次抽去的奖券可能是有奖奖券，这样第二次抽奖时，剩下的只有1张有奖奖券，3张不中奖的奖券，中奖的可能性减少了。
同学5：如果第一次抽去的是不中奖奖券，中奖的可能性不是增大了。
A：不会的。如果第一次抽去的是1张有奖奖券，那么剩下的是1张有奖奖券，3张不中奖奖券；如果第一次抽去的是1张不中奖奖券，那么剩下的是2张有奖奖券，2张不中奖奖券。用树状图可表示为：
同学们信服了，老师也表扬了上述方案，并对这个问题进行总结，强调这样的事件的概率不成倍数关系，同时要求：把上述树状图简化，并说明自己简化后的树状图的最大特点。
同学6：我把同学3的树状图简化为：
5张奖券，只有中奖与不中奖两种可能，因此，树状图可只分这两种情况，并在后面标出可能数，一眼就能发现
。
老师用赞扬的口气评价了同学6精简的树状图，同学7马上提出了如下成熟的简化策略：
同学7：如果第一次抽取的是有奖奖券，那么第二次抽取的要么是另一张有奖奖券，要么是另3张不中奖奖券，共有2×1+2×3=8种可能；如果第一次抽去的是不中奖奖券，那么第二次抽取的可能是2张有奖奖券中的1张，或另2张不中奖奖券，共有3×2+3×2=12种可能。这样总可能数n=8+12=20，中奖的可能数包括有1张奖券中奖的，也包括有2张奖券中奖的，有8+6=14，所以
。
A：我还有更简便的方法。2张奖券，要么中奖，要么不中奖，所以它们的概率相加等于1。从树状图看，有了的就是中奖，没了的就是不中奖，不中奖的可能数有3×2种，总可能数有5×4种，因此，2张奖
。
老师表扬了同学7和A，并板书了2张奖券中奖的概率的计算公式：
。而这个分析与同学4的结果完全吻合，同学们被折服的同时，也明白了其中的道理。老师再给出问题：某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同。以每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖89个。问2张奖券中奖的概率是多少？A马上举手要求解答，但老师示意同学们先独立完成，有困难的可以和已能解答的同学先交流，并把树状图和解答过程完成在自己的本子上。
同学们画得的树状图如下：
学生在黑板上板书计算过程有（老师选择了有代表性的，结果为3个有效数字）：
老师根据教学需要，比较了上述求概率的过程。见下面对话：
师：1张奖券中奖的概率与1张奖券不中奖的概率之间有怎样的关系？
同学8：和为1。
师：为什么呢？
同学9：因为整个事件只有两种可能：中奖或不中奖。
师：2张奖券能中奖的概率与2张奖券不会中奖的概率的和也是1吗？
同学10：是的。因为整个事件还是只有两种可能：中奖或不中奖。
师：同学们，在我们这个问题中，抽取奖券后中奖的概率与不中奖的概率的和等于1。那么计算中奖概率可以先求不中奖的概率。看树状图，计算中奖概率时需要计算所有中奖的可能数，而2张奖券不中奖的可能数是9900×9899，所以P（2张奖券不中奖）
。
老师边出示准备好的树状图（如下图），边说“那么3张奖券中奖的概率是多少呢？”
师：请用计算器验算这个值与0.04的关系。
同学12：约等于0.03941，小于0.04。
师：写得出100张奖券中奖的概率的式子吗？你认为这个事件会是概率为1的必然事件吗？
A：1减去分子上是9900乘以9899，一直乘到9801，这100个数；分母中是10000乘以9 999，一直乘到9901，这100个数。分子不等于0，减数不等于0，中奖概率就不等于1。
（注：学生这个表达不准确，但大意是正确的！）
学生这样的猜想能力是很棒的！老师也再次赞扬了同学们解决问题的能力，对课堂也进行了简单的小结，并让学生互相交流学习心得和疑问。
三、反思
整节课结束了，只解决了一个数学成绩不佳的同学提出的问题。等课后再反思这整个活动的起因，感到有许多话要说。
1.要正视每一个同学的问题
本课的起因是平时“数学成绩不佳”的A同学发现的一个数学事实：4张奖券中奖的概率并不是1张奖券中奖概率的4倍。A提出这个问题，需要极大的勇气，因为班级中比他优秀的同学也会简单地认为4张奖券中奖的概率是0.04，就是1张奖券中奖概率的4倍。好在老师让A把话说完，一个非常有意义的概率探析活动由此就展开了。
从整个探析过程看，“数学成绩不怎样”的A对自己发现的这个课题极为负责。第二节课中，他对简化的树状图的简约地分析，从事物的对立面考虑解决问题的策略及对100张奖券中奖概率的算式归纳，体现出他“不平凡”的数学思维的特征。看来，就是数学相对薄弱的同学，只要给他机会，给他信心，他也能把自己闪亮的一面体现出来。这也是我们数学教育追求的另一个学习目标。
2.要善于把学生发现的问题做成研究性学习内容
本次概率探析活动，其实就是一次研究性学习活动。从课堂活动看，整个过程经历了发现问题、提出问题、老师引导下的分析问题、解决问题等过程，学生体验了从简单到复杂的解决问题策略，能用从特殊到一般的数学归纳思想总结“100张奖券的中奖概率”。这样一个学习内容，出自于一位数学薄弱生之口，来自于一次平常的课堂教学实际，针对的是一个大家极易进行知识错误迁移的内容，与教材中预设的课题学习内容相比较，这样的研究性学习内容让课堂少了负担感，多了现实意义；多了被激发的探析热情，少了草草敷衍的不作为；多了同学之间的信任与鼓励，少了对同学的不屑与嘲讽。因此，研究性学习，不必拘泥于课本中的课题学习，能根据课堂教学的发展需要，选择来自学生数学学习实际的内容进行研究，会更实在、更有效。
3.关注问题的探析活动才是有效的
整个探析活动，以同学们自己期待解决的“4张奖券的中奖概率”这个问题为主线，以“树状图”直观、易懂的分析功能为抓手，层层推进。同学们在认识了5张奖券中获“2张奖券中奖的概率小于1张奖券中奖概率的2倍”的事实上，继续探析树状图更直观的简化方法，在新的、更能反映数学特征的树状图形成后，通过分析3张奖券的中奖概率问题，提出更优化的概率算法，并把归纳思想融入教学法中，直至发现在“10000张奖券中，若有100张有奖奖券，那么100张奖券中奖的概率不等于1”，与起因相呼应，圆满地解决了这个古典概率问题。