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《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的教学建议中，关于“提倡计算方法的多样化”和“鼓励解决问题策略的多样化”等主张，得到了数学教师较普遍的认同。大家在这方面的实践、探讨、争论主要集中于数与代数领域，空间与图形领域则很少涉及。其实，图形的直观性，使得算法多样化和问题解决策略多样化，在几何教学中具有得天独厚的优势。
本文仅就“多样化”在几何“求积”计算中的主要体现及其教学对策，做一些简要的探讨。
一、计算方法的推导过程、方式可以多样化
理论和实践都能告诉我们，在常见几何图形的周长、面积、体积计算方法的导出过程中，解决问题策略的多样化常常可以得到淋漓尽致的反映。
以梯形面积计算公式的推出为例。
从未知向已知转化的目标来看，根据教材编排，在学习梯形面积计算之前，学生已经学会了长方形、平行四边形、三角形的面积计算，因此可以将梯形转化为长方形，也可以转化为平行四边形、三角形，甚至还可以将梯形转化为两个已学的图形，如平行四边形和三角形（如图9）。
从图形转化的剪拼方式来看，可以只用一个梯形，把它割补或者划分成面积计算公式已知的图形，也可以用两个全等的梯形拼成平行四边形，或者剪开其中一个，拼成长方形。如（A、B为该腰的中点）：
不难看出，以上这些转化方式都具有一般性。
从导出公式的解释来看，不同的剪拼方式可以有不同的说明。
如果用两个全等梯形拼成一个平行四边形（如图4），或者剪开其中一个拼成长方形（如图1），则梯形面积是相应平行四边形或长方形的一半。
如果用一个梯形割补成长方形，则面积不变，而长方形的长等于梯形上下底之和的一半或上下底之和，长方形的宽等于梯形的高或梯形高的一半（如图2、图3）。
这里，长方形的长等于梯形上下底之和的一半，也就是长方形的长等于梯形的中位线。考虑到小学一般不引进中位线概念，因此不妨利用梯形割补的直观，解释为梯形的上、下底移多补少成相等。至于长方形的宽等于梯形高的一半，可通过梯形纸片“对折”加以直观说明（如图11）。
图11
用一个梯形割补成平行四边形时，说明方式类似（如图5、图6）。
用一个梯形割补成三角形时，面积不变，三角形的底就是梯形上下底的和，高就是梯形的高（如图7）。
如果把一个梯形划分为两个三角形或平行四边形和三角形，则梯形面积等于两个三角形面积的和或平行四边形与三角形面积之和、差（如图8、图9、图10）。
可见，以上这些转化过程都能基于直观用小学数学知识加以说明、解释。
实际教学时，可以首先启发学生形成“推导”或者说“转化”的思路，明确可以尝试把梯形转化为长方形、平行四边形、三角形，也就是把“未知的”转化为“已知的”。然后让学生利用钉子板或梯形纸片进行实验操作。一般来说，学生最容易想到的是用两张全等的梯形纸片拼成平行四边形，至于其他方式，不宜求全，学生能发现几种就小结几种。对于学生没有想到的转化思路，如转化为三角形或平行四边形与三角形的和，可以通过练习让学生有所了解，或者采用“数学知识宫”、“你知道吗”等形式予以介绍。
偶尔，有极个别的学生想出将梯形两腰延长交于一点，从而得出梯形面积等于大、小三角形面积的差（如图12）。这一设想是对的，只是确定小三角形的高通常要用到比例线段的知识，超出了小学数学的内容范畴。如果提出这一推导设想的学生具有较强的推理能力，也可以回避比例线段，用“平行线之间的距离处处相等”与“等底等高的三角形面积相等”等知识来说理。下面试给出一种证法：
原来，图12与图8的推导可以殊途同归，但这样的推导过程，比较迂回、复杂，只有少数小学生能理解，试图启发他们自己想出就更困难了。因此，一般情况下，教师不宜主动提出图12的推导思路。
二、计算方法本身可以多样化
习惯上，常见几何图形的周长、面积、体积计算，都有公式可以套用。但事实上，计算公式可以变形，而且各种变式有着非常直观的几何意义，这就给“求积”计算方法多样化的实现创造了条件。
仍以梯形面积计算为例，传统的教学追求得出一个统一的公式，即
梯形面积=（上底+下底）×高÷2①
这是无可厚非的。问题在于具体应用时，可以不那么刻板地一概套公式①计算。
事实上，上面介绍的10种导出方式里，图1、图4、图7可以直接得出公式①，而其他各图，则显示了梯形面积计算方法本身也可以多样化，如：
由图2、图5可以得出
梯形面积=（上底+下底）÷2×高②
即梯形面积等于上下底之和的一半乘上高；
由图3、图6可以得出
梯形面积=（上底+下底）×（高÷2）③
即梯形面积等于上下底之和乘上高的一半；
由图8可以得出
梯形面积=上底×高÷2+下底×高÷2 ④
即梯形面积等于两个三角形面积之和，这两个三角形的底分别是梯形的上下底，高就是梯形的高；
由图9可以得出
梯形面积=上底×高+（下底-上底）×高÷2⑤
即梯形面积等于平行四边形与三角形面积之和（这里将梯形平行对边中较长的那条称为下底）。
由图10可以得出
梯形面积=下底×高-（下底-上底）×高÷2⑥
即梯形面积等于平行四边形与三角形面积之差（这里将梯形平行对边中较长的那条称为下底）。
这些不同的计算方法，通过恒等变形，它们都可以归结为公式①，所以公式②～⑥，可以认为只是公式①的变式。
由于上述各种算法都有相应的、一目了然的直观解释（见图1～10），因此只要理解其计算思路，公式②～⑥就不必死记硬背。
当然，各种变式都可以在某些特定场合体现各自的优势。
例如，当梯形上下底之和的量数是偶数时，可以先将上下底之和除以2，再乘高（即运用公式②），能使计算简便；同样，当梯形高的量数是偶数时，则先将高除以2，再乘上下底之和，也是常用的简便算法（即运用公式③）。只是这里的简便算法有着明显的几何意义。
又如，一个花圃，原来是平行四边形，底是20米，高30米。扩建后成了梯形，上底和高不变，下底延长了15米。扩建后的花圃面积是多少平方米？
显见，这时就不必先求扩建后的下底，再代入公式①，而直接求平行四边形与三角形面积的和（即运用公式⑤），则是合理的选择。
类似地，计算圆柱体积的公式，遇到特殊情况，也可灵活运用。如：
已知圆柱的侧面积与底面半径，求圆柱体积。
常规算法是先由圆柱的侧面积与半径求出圆柱的高，再代入圆柱体积公式。更简捷的算法是直接用“侧面积÷2×半径”求得圆柱体积周为
这一非常规算法同样可以给出十分直观的解释：如图14，把圆柱割补成近似的长方体，放倒，该近似长方体的底面就是圆柱侧面积的一半，底面上的高就是半径，这时的“底面积×高”正好是圆柱的体积。
图14
三、因材施教，酌情引导
必须指出：本文之所以较多地罗列多种算法，主要是为了帮助教师比较全面地了解形体计算方法多样化的存在性、可能性，做好自如应对学生可能出现的各种创见的知识储备。
更必须进一步强调：形体计算方法的多样化，并非“一题多解”，更非“多多益善”。否则，教师钻研越深、积累越多，学生负担就越重，岂不可怕！俗话说的很好：“给学生一杯水，教师要有一桶水”，试图把教师自己想到的、看到的各种算法都传授给学生，即便“传授”的过程比较“隐蔽”、“巧妙”，客观上还是落入了灌输式的窠臼。教育讲究“培养”，而非“塑造”，既然是培养，就应该有耐心，不断提供、创造机会，让学生自己发展，就不能那么急功近利，把教师所知的都“嫁接”给学生。
正是基于这样的认识，多年前，笔者就曾撰文指出“多样化”的实质是“个性化”。通俗地说，你想到一种方法，我贡献一种方法，就学生群体而言，就是“多样化”，但就学生个体而言，则是“个性化”，即个人对各种算法可以有适合自己的选择。
因此在实际教学中，应更多地从学生角度考虑并注意处理好以下几对关系。
1.算法优化与个性化
所谓算法“优化”，从数学角度讲，主要是指具有一般性，即“通法”、“通则”，算法的推导也是如此，有时也会考虑是否“简便”，但更主要的、本质的是一般性；从学生角度讲，主要是指便于学生理解与掌握，有时还需要考虑适合多数学生与适合部分学生，因此，这里的“优化”需要综合考虑，并且是相对的。
通常，几何求积公式给出的是相对优化的算法，适用于一般情况的算法。所以，着力引导学生探究、掌握相对优化的一般算法是教学的重点。多数情况下，教材给出的常规推导方式与算法，应尽可能使每一位学生在理解的基础上掌握，个别学生想到的其他推导方式与算法，可以不做统一要求。这并不妨碍我们关注学生的差异，鼓励学生的个性化表现与选择。
“个性化”在这里依然体现在上面分析的两个主要方面。
首先是问题解决策略的个性化。我们知道，学生的个体差异是客观存在的，它不完全是教育的结果，但却是教育教学的依据。比如有的学生喜欢借助直观进行思考，有的学生习惯直接在头脑里进行推理。因此，教师必须正视学生的个体差异，既要发现学生的潜能、特长，也要尊重学生的弱点，因人而异，区别对待。应当允许学生采用不同的探究方法，选用不同的直观手段，如画图、折纸、剪纸或使用其他学具。
其次是计算方法的个性化，即允许学生选择自己喜欢的或适合自身特点的计算方法。
例如，计算三角形面积，有些数据适宜“底÷2×高”，有些数据适宜“高÷2×底”，即使遇到这样的数据，也应允许学生采用常规算法“底×高÷2”。
又如，计算长方体表面积：
有的学生认为不必记忆公式，只要知道求6个面的面积之和就行了，遇到缺一个、两个面的实际应用，则需要几个面就算几个面。这种思路常常受到老师的称赞。
也有的学生喜欢记忆公式，遇到缺几个面的应用问题，就用长方体表面积公式求出表面积再减去缺少面的面积。这种思路常常被评价为“不简便”、“笨办法”。其实，如果我们用算法程序的思想看待它，也可以认为这是一种“通法”和“化归”思想的体现，即把新的问题转化为已经解决的问题。
还有的学生为了便于记忆，把公式写成：
S=2(ab+bh+ha)
用他们自己的话来说叫做“咬尾巴”，意思是指括号内的三个积“长乘宽、宽乘高、高乘长”，后一个积的第一个因数分别是前一个积的第二个因数，也就是长、宽、高三个因数依次相乘：
很明显，学生的这些个性化建构，其科学性都无可非议，都应该得到赞许！这既是发扬教学民主和尊重、理解学生的具体表现，也是因材施教策略的具体体现。
2.合作学习与独立思考
问题解决策略与计算方法多样化的作用，不仅是给学生创设一个探索发现的空间，也是给学生一个合作学习、相互交流的机会。
关于合作学习，有不少问题值得探讨，本文无意展开。这里只想强调，独立思考是有效合作学习的重要基础。
首先，鼓励学生独立思考，探索不同算法是可能的。学生有着不同的生活背景和认知风格，他们的认知水平、思考角度必然存在差异。例如，教学圆的面积，当让学生自己将一个圆剪成16个全等扇形，再拼成一个面积公式已知的图形时，几乎每次都能看到学生有的拼成近似的平行四边形，有的拼成近似的梯形、甚至近似的三角形。
其次，独立思考也是有效交流的必要条件。因为只有在独立思考的基础上，才可能有思维碰撞和集思广益。
再次，独立思考又是培养创新意识的必要条件。事实上，只有当各种不同算法是学生独立思考的结果时，才能真正有助于开发学生的创新思维、培养他们的创新意识。即使是在数学学习本身的过程中，独立思考对于数学知识的意义建构也是十分重要的。
相应地，教师不再是算法的垄断者和发布者，而是学生探究的启迪者、组织者和欣赏者、评价者。特别是面对学生五花八门的想法，要求教师必须善于倾听、观察，善于发现学生发言、实验或作品中富有价值和意义的内容。当学生词不达意，甚至不知如何表达自己的想法时，教师更要耐心倾听、观察，认真揣摩学生的思路，洞悉学生的真实想法，进而适当加以点拨，帮助学生讲清自己的算法，让其他同学们都能明白。从而使不同算法成为一种生动的课程资源。
例如，教学三角形面积，一位学生用一张三角形纸片折成了一个长方形（如图15），教师巡视发现时，起初没有理解学生的意图，以为是把三角形的三个角合并成一个平角，所以随口说了句：“这是三角形内角和的推导方法”。转而一想，发现有道理：
S=a÷2×(A÷2)×2=ah÷2
图15
可见，不失一般性，也是一种独特的、可以殊途同归的推导方式。
3.精心预设与因势利导
新一轮课程改革以来，课堂教学的生成性受到普遍的关注，一时间，追求“不可预约的精彩”成了最时髦的教学语言。确实，许多“精彩”不可预约，具有偶然性。但毕竟教学是为了促进学生的发展，教师的职责就是引领学生进入他们各自的“最近发展区”。因此，一方面我们应当精心设计，为促进学生的发现做好预设；另一方面我们还应当从课堂教学当时的实际情况出发，酌情提出探究不同算法的要求，因势利导，不失时机地启发学生超越自我。
对于算法多样化的预设：既要设想学生可能出现哪些算法，其中某些算法怎样启发、帮助更多同学听懂、理解，各种算法是否需要分类、是否需要比较和优化，如果需要，怎样进行；又要考虑哪些算法如果没有学生想到，有必要予以启发、引导，时机何在、方式如何，等等。
例如，教学长方体表面积，让学生对照长方体盒子，观察它的表面展开图（如图16，单位：厘米）：
图16
学生容易想到求6个面总面积的各种算法，但很少有学生自发想到“侧面积+底面积×2”的算法。一次公开教学，出现了这种状况，执教老师当即给予启发、提示，在展开图上用红色显示侧面积（如图17）。面对图示，自然有个别学生想到了“（长+宽）×2×高+长×宽×2”的非常规算法。
最后一个层次的练习是两道实际应用问题：
(1)一个长方体鱼缸，长60厘米，宽20厘米，高40厘米。四周用玻璃，底部用铁板（玻璃、铁板厚度不计），求玻璃、铁板的用料面积。
图17
(2)焊一个无盖长方体铁皮盒，长50厘米，宽30厘米，高15厘米。求用料面积与剪下的废料面积。