结构对称性质优，巧用对称解疑难——以2011年全国各地高考题为例谈对称思想的妙用，本文主要内容关键词为：对称论文,对称性论文,全国各地论文,为例论文,妙用论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
对称普遍存在于自然界之中，数学学科正是对自然事物的抽象、归纳与概括，因此数学中具有对称性的内容非常多.著名数学教育家G.波利亚曾说：“从一般意义上讲，对称对于我们的论题（探索怎样解题）是很重要的.”他还说：“如果一道题目具有某些方面的对称性，我们常常能得益于注意到可以互换的各部分，而且，常常值得我们用同样的方式来处理那些起相同作用的部分.”[1]这为我们处理对称指明了思路和方向.2011年对对称思想的考查体现在多个省市的考卷中，考查的面也很广，分散在多个知识块中，如函数、数列、解析几何、立体几何、三角函数、正态分布、优选试验和应用问题，现将相关考题整理如下.
一、形的对称
一提到“对称”，人们首先想到的多半是对称图形，如立体几何中存在很多具有对称性的空间图形，如球体、圆柱、圆锥、正棱锥、长方体、正方体等，以它们为载体，可以研究相关元素的一些位置关系和数量关系.
以立体几何为载体
“初等立体几何考虑两种类型的对称性，即关于一个平面（称为对称平面）的对称性和关于一个点（称为对称中心）的对称性.”[1]2011年辽宁理科卷第8题考查的就是关于某个平面对称的情形.选项C若通过对称思想来判断，采取“小题小做”的解题策略，可简化思考过程，节约答题时间.
例1（2011年辽宁卷理科第8题）如图1，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）.
（A）AC⊥SB
（B）AB//平面SCD
（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析 选项A与B易知是正确的.
选项C可从对称性的角度考虑，由于四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥底面ABCD，故点A与点C关于平面SBD对称，于是SA与SC关于平面SBD对称，得到SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角.故选项C是正确的.
选项D虽然是两对异面直线所成角的比较，事实上由于AB//CD，故异面直线AB与SC所成的角可转化为直线DC与SC所成的角，异面直线DC与SA所成的角可转化为直线AB与SA所成的角.因为AB⊥AD，且AB⊥SD，所以AB⊥面SAD，故AB与SA所成的角为90°，而DC与SC所成的角不可能为90°，故AB与SC所成的角不可能等于DC与SA所成的角，选项D是错误的.
二、量的对称
“在数学中不但几何图形有对称性，数量关系和推理过程也有对称性.”[2]如数列、排列组合、轮换对称式的相关内容都隐含着对称性的特点.值得一提的是，2011年全国各地高考卷中，有三个省市（即重庆、广东、江苏）的三道考题考查了同一个结论的正用与逆用，其中江苏卷的考点被设置在最后一道大题中，可见对称思想在高考中不容忽视的地位，在教学中应加以重视.
以数列为载体
等差、等比数列是两种特殊的数列，其中等差数列是一种变化均匀的算术级数，等比数列是变化均匀的几何级数，变化均匀这一特点决定了它们蕴藏着对称性的特征.
三、借助形的对称分析量的对称
“借助形的对称分析量的对称”这句话意味着数形结合思想的运用，高中数学中很多蕴含了数形结合思想的内容都可以通过对称性来见微知著，如函数、解析几何、正态分布、三角函数等，可谓“结构对称性质优”.处理具体问题时，我们不仅需要挖掘对称带来的优良性质，也要牢记G.波利亚教给我们的解题方法：“对称的东西要尽量对称地去处理，不要随意破坏任何自然的对称性.然而，有时候我们还是不得不用非对称的方式来处理自然对称的东西.一双手套当然是对称的，但是没有人会非常对称地对待它们，没有人会同时去戴两只手套，只会先戴一只，然后再戴一只.”[1]在下述涉及对称问题的处理中，我们多半是“先戴一只手套，然后再戴一只”的.
1.以函数为载体
函数中具备对称性的例子很多，最为典型的就是奇函数和偶函数.“中心对称可以通过旋转180°以找出其思维途径，它在数量关系上可以用奇函数来刻画；轴对称图形可通过翻折180°同样找到证题途径，”[2]如果我们知晓了这一点，对待山东理科卷第5题时便能高屋建瓴、成竹在胸.
例4（2011年山东卷理科第5题）对于函数y=f（x）,x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（）.
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
解析依据上述观点，可从两方面进行分析.
一方面，取y=1，满足“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”，但y=1不是奇函数.
另一方面，由“y=f（x）是奇函数”可得y=f（x）的图象关于原点对称.从而y=|f（x）|的图象关于y轴对称，所以“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的必要条件，答案应选B.
在讨论函数的对称性问题时，我们还经常遇到这样一类题，它以具有对称性的函数或两个互相对称的函数为背景.分析问题时，研究一半即概览了整体，2011年新课标卷第12题便用到这种思想.
（A）2（B）4（C）6（D）8
2.以解析几何为载体
由于圆锥曲线具有良好的对称性，若再满足两条圆锥曲线的对称轴或对称中心重合，它们的交点也呈现出优美的对称状态.如果从坐标上加以研究，能反映出很好的数量关系.重庆理科卷第15题和湖北文科及理科卷的第4题都以交点的对称为考点，考查了学生对对称美的感受能力、对对称方法的运用能力以及由形到数的转化能力.
例6（2011年重庆理科卷第15题）设圆C位于抛物线
=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为________.
（A）n=0（B）n=1
（C）n=2（D）n≥3
解析 根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为30°和150°，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点（如图2），所以n=2，选C.
3.以正态分布为载体
正态分布的密度函数具有良好的对称性，它以均数为中心，左右对称.在实际工作中，常需要了解横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计观察值落在该区间的概率，这时常常用到对称性去解决问题.
例8（2011年湖北卷理科第5题）已知随机变量§服从正态分布N（2，
），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）.
（A）0.6（B）0.4（C）0.3（D）0.2
解析 正态分布的密度函数如图3所示，函数关于直线x=2对称，所以P（ξ＜2）=0.5，
由对称性知P（0＜ξ＜2）=P（2＜ξ＜4），
所以P（0＜ξ＜2）=P（ξ＜4）-P（ξ＜2）=0.8-0.5=0.3，故选C.
4.以应用问题为载体
在二维空间中，具有对称性的图形比较多，而一维空间里最具代表性的莫过于数轴上的对称问题，以此为基础可演绎出很多数学问题.
例9（2011年陕西卷理科第14题）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________（米）.
解析 如下页图4，假设树苗放在中间位置，由于总坑数是偶数，故第10，11个坑都是中间位置，依据对称，两者的情形完全相同，不妨考察树苗集中在第10号坑的情形，让它往左移动，假设移到第9与第10号坑之间，处于它左边坑（即1～9号坑）的路程和在减少，而处于右边坑（即11～20号坑）的路程和在增加.由于对称性，第9号坑减少的路程正好等于第11号坑增加的路程，第8号坑减少的路程等于第12号坑增加的路程……以此类推，第1号坑减少的路程等于第19号坑增加的路程，最后第20号坑增加的路程即为这些坑路程总和增加的路程.易知集中点越往左移，总路程数越增加，所以树苗放在中间的第10或第11号坑时路程总和最小，最小值为10×（1+2+…+9）×2+10×（1+2+…+10）×2=2 000（米）.
对称美是数学美的特征之一，我们如果在教学中有意识地引导学生探索、感悟对称之美，就能让学生在欣赏对称美的同时，潜移默化地受到对称思想的熏陶，这是帮助学生去思考、去探索、去研究的一种途径.学生能有意识地运用对称思想去思维，主动地用对称的眼光思考数学学科，不仅在解题时能找到简洁漂亮的解法，在对数学的理解上也能愈加透彻和深入.