数形结合法的应用及误区，本文主要内容关键词为：误区论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数形结合就是指把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到优化解决问题途径的目的.
“数形结合”可避免繁杂的计算、获得出奇制胜的解法.然而，正因为它的直观、形象、简洁而渐渐地使学生认为它是“万能”的，常常会诱入歧途，或会知其一不知其二，甚至会有以点代面的现象.
一、数形结合法的应用
1.在求最值中的应用
（1）利用直线斜率公式
例1 求函数y=（2+cosθ/3-sinθ）的最值.
分析 此题用代数法较难，不易想到.而由分式结构联想到直线斜率公式.（2+cosθ/3-sinθ）可看成过点A（3，2）与B（sinθ，-cosθ）的直线的斜率.A为定点，B为动点且在圆x[2]+y[2]=1上作出图象：
从图可知，利用解析方法易求出最值.
归纳 求形如
最值，均可用类似转换方法.
（2）转化为两点距离问题
例2 求函数
即为动点A（x，0）到两定点B（1，1）与C（3，2）距离之和的最小值，动点A在x轴上移动.
从图上直观且容易解决问题.
归纳 求形如
均可用类似方法，达到以奇制胜的效果.
（3）转化为直线的纵截距问题
例3 已知（x-2）[2]+（y-2）[2]=1，求z=2x+y的最值.
分析 （x，y）在定圆上，求z=2x+y最值可转化为：求y=-2x+z直线的纵截距最值问题.如图：
平移直线y=-2x，利用解析方法便可得到解决.
归纳 已知（x，y）满足的平面区域，求z=ax+by的最值问题，均可用类似转化方法.其实，这就是线性规划最优化问题的解决方法之一.
2.在有关方程问题中的应用
方程f（x）-g（x）=0的解情况
f（x）=g（x）的解情况y=f（x）与y=g（x）图象相交交点横坐标情况.
例4 方程x[2]-（3x/2）-k=0在（-1，1）有1个实根，求k的取值范围.
分析 此题若用二次方程根分布情况的代数方法来解相当麻烦，此题可转化为y=x[2]与y=（3x/2）+k在（-1，1）有一个交点，下左图.
从下左图可解决问题.当然，此题也可转化为y=x[2]-（3x/2）与y=m在（-1，1）有一个实根，如下右图，从这个图更易求出答案.
技巧 用此法解决含参方程时，尽量化含参的那一边，使立形式最简单化.
3.在有关不等式问题中的应用
不等式f（x）＞g（x）的解情况y=f（x）图象在y=g（x）图象上部所对应的横坐标情况.
例5 x∈（1，2）时（x-1）[2]＜log[，a]x恒成立，求a的取值范围.
分析 此不等式是超越复杂不等式，较难用代数法解决，但若结合y=（x-1）[2]与y=log[x][，a]图象便容易解决，如图.
例6 解不等式｜x+1｜＞（a/x-1）.
分析 若用代数分类讨论会很繁杂.a=0时易得x≠±1，当a≠0时，考察y=｜x+1｜与y=（a/x-1）图象易解决.
二、利用数形结合法应注意的几个问题（误区）
1.精确作图，避免了草作图导出错误结论
例7 讨论方程sinx=lgx的解个数，许多学生随手画图，如下左图，从而得出答案为1，事实上，注意到关键点（10，1），图应该是如下右图，解的个数应该为3个.
2.转化过程要等价，避免定义域扩大或缩小
例8 设t＞0，求点A（t+1/t，t-1/t）与点B（-1，0）之间距离的最小值.
分析 由点A（t+1/t，t-1/t）知A的轨迹为x[2]-y[2]=4，如左图可知｜AB｜的最小值为1.
其实，这是错误的，原因就是忽视了变量的取值范围，由t＞0知x[2]，正确图象应是右图，最小值为3.
3.注意图形的存在合理性，不可“无中生有”
例9 如果抛物线y[2]=6x与圆（x-a）[2]+y[2]=4没有公共点，求实数a的取值范围.
分析 利用下面图象可知，当a=-2时圆与抛物线外切，若圆与抛物线内切时，联立方程，由△=0得：a=13/6，结合图象可得：a＜-2或a＞13/6.
其实，当a=13/6时，联立方程只有两负根，所以圆内切于抛物线的情况根本不存在，上图圆内切于抛物线是虚构的.
4.利用数形结合解题尤其在证明问题时要避免逻辑循环
“形”并不能作为证明的依据，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索.
评析 这里要证明的不等式，正是凹函数的定义，用凹函数的直观图形来证明不等式成立是一个逻辑循环，自己来证自己.其实，此题结合单位圆知识.结合正切函数的定义容易证明.
数形结合法的确是一个非常好，非常实用而重要的方法，应用性强.但它又是一把双刃剑，时时充满诱惑和危险.因此，我们要慎之又慎，要扬长避短，要全面合理分析，直观的同时，辅有严谨的演绎.