山的沉稳 水的灵动——2005年浙江高考数学卷的特点和启示，本文主要内容关键词为：浙江论文,灵动论文,沉稳论文,启示论文,高考数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
今年是我省高考试卷自行命制的第二年，数学试题的连续性、稳定性和创新性如何仍 备受人们关注。今年命题严格依据现行《数学教学大纲》、教育部《2005年考试大纲》 和浙江省《2005年考试说明》，试卷在去年的基础上稳中有变、变中有新，体现了“稳 中求进”的精神，颇具“山的沉稳，水的灵动”的特点。试题在能力考查和体现课改新 理念方面作了有益的探索，不仅具有良好的评价功能，而且对指导高中数学教学起到了 积极的导向作用。
一、今年试题的特点：稳中求新
1.“稳”的深刻表现
(1)继续保持了去年试卷的格局和基调
选择题、填空题和解答题3种题型结构、排列次序仍然保持不变。考核内容(以理科卷 为例)分布是：新增内容占31分；传统内容中代数占73分，立体几何占23分，解析几何 占23分，其比例基本合理，与去年试卷相比没有大的起伏变化(去年试卷新增内容占38 分，传统内容中代数占64分，立体几何占21分，解析几何占27分)。下面，以理科卷为 例对两年浙江数学卷进行列表比较，我们不难发现今年试卷“渐变以求善”的目的已经 达到。
附图
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试题总体难度适中，与去年相比理科难度略有上升，文科难度稍有下降，并没有大起 大落。今年数学试卷的难度作了一次人们有心理准备的、可接受的、理性的调整。难度 的微小变化，既是稳定的客观需要，也是大家的共同期盼。
(2)仍然突出数学知识的基础性，主干内容重点考
代数中的函数、数列、不等式、三角基本变换，立体几何中的线线、线面、面面的平 行和垂直关系，解析几何中圆锥曲线方程以及性质，新增加的向量、概率统计、导数等 构成高中数学的主干知识。今年高考仍然坚持从基础知识、基本方法、重点内容出发设 制试题，对这些高中数学的主体内容和主干知识进行了重点考查。
今年理科第(3)、(8)、(9)、(11)、(15)、(16)、(20)题，从不同的侧面考查了函数的 有关概念、重要性质和基本应用，其中包括函数的符号、定义域、值域、分段函数、函 数的图象、函数的单调性和最值，涉及到的函数类型有一次函数、二次函数、指数函数 、三角函数、反三角函数以及特殊函数(数列)等，对函数的考查几乎涵盖了高中所学函 数的全部内容。函数是高中数学的主要章节，是高考考查的重点内容，因而高考试题中 函数内容(函数类型、函数性质、函数方程思想)的考查显得全面而深刻，真正体现了《 考试说明》中的“对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点”和“使基础知识的 考查达到必要的深度”的精神。
(3)坚持多角度、多层次地考查，强调知识的综合
今年试卷层次分明，梯度合理，坚持多角度、多层次进行考查，试卷中各类题型的起 点难度较低，阶梯递进，由浅入深，使考生在解题过程中有拾阶而上的感觉。选择题、 填空题的前几道运用基础知识即可一望而解，而后几题则需要在深刻理解知识的前提下 灵机一动；解答题的6个题目中共有13个小题，仍然具有去年的“多问把关”的命题特 点。
试题继续关注知识网络的交汇点，强调知识的综合。并且，在强调综合性的同时，也 十分注重层次性，合理调控综合程度。理科卷第(6)题是简易逻辑和立体几何知识的综 合，第(8)题是三角函数值域和二次函数最值知识的综合，第(13)题是双曲线和圆内容 的综合，第(17)题是直线、圆锥曲线、重要不等式应用的综合，第(20)题是二次函数求 导、导数的应用、等差数列和数学归纳法等方面的大综合。
今年高考试题又一次验证了：在学科内不断加强综合是命题的一种趋势，随着题量的 减少，适当加大试题的综合性是保证试题具有一定的知识覆盖率和较高信度的必然途径 。
(4)适当控制小题的思维含量，相对稳定大题的问题背景
今年试卷仍然适当控制选择、填空题的难度，充分发挥它们独特的检测功能，重视它 们与解答题的区别，避免让考生“小题大做”。大题目仍然从大家比较熟悉的背景和情 景出发设置，能给考生以“似曾相识燕归来”的感觉。我省这两年试卷大题的命题态势 是：①数列问题为载体考查抽象的演绎推理。无独有偶，两份试卷的最后一题都是有关 点列的问题，去年证明“等比数列”，而今年证明“等差数列”，它们都要从动态化的 点、线条件入手，要求考生进行逻辑推证找到数列的通项公式，具有一定的难度；②概 率为载体考查应用能力。今年又是“摸球”问题，仍然考查相互独立事件同时发生的概 率和随机变量的分布列、数学期望等知识；③解析几何突出“模块化”运算能力。着重 考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的特点和性质，在解题过程中 计算仍然占很大的比重，而与去年一样，用知识的“模块化”、方法的“因子化”整体 加以处理，就能大大简化计算。
(5)加强了数学思想方法和解题机智的考查
今年试题坚持以数学知识为载体，突出考查了数学思想方法的掌握和应用。理科第(10 )，(17)，(18)题，文科(19)，(20)题考查数形结合思想；理科第(14)，(16)题，文科 第(14)，(20)题考查分类讨论思想；理科第(10)，(16)题，文科第(9)，(20)题考查函 数方程思想；理科第(7)，(10)，(16)，(17)，(20)题，文科第(10)，(19)，(20)题考 查等价转化思想，等等。
数学题目不偏不怪，方法思路常规；强调通性通法，考查解题机智。许多试题有多种 不同的解题思路可供选择，这为考生充分发挥水平提供了机会。下面给出几道解答题异 于“参考答案”的若干解法，我们从中不难看出这一点。
理科第(11)题(Ⅱ)另解：
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2.“新”的具体体现
(1)合理地减少了题量
今年试题题量、分值配置跟去年有所变化：减少了2个选择题，总题数由22个变为20个 ；客观题减少了10分，主观题增加了10分。这样，既更加注重对考生数学思维与表达能 力的考查，又符合减轻学生学习负担的改革趋势。
(2)适当拉大了文、理科的试卷难度差距
文、理科试卷完全相同的题目仅有6个，而两份试卷中相同背景但难度不一的“姐妹题 ”就有8个，这样针对实际、区别对待，对文、理考生不同的数学要求得到了充分体现 。
(3)新增内容的考查得到加强
从表面上看，理科的线性规划题由去年的第(5)题变为第(7)题，今年向量题成为最后 一道选择题，概率统计题成为倒数第二题，导数的应用放在最后一题中。实际要求也明 显比去年有所提高，体现和贯彻了高中数学新课改的精神。
(4)对数学语言的能力要求有所提高
数学思维能力的考查进一步深化，对数学语言的阅读、理解、转化、表达的能力要求 有所提高。如第(7)题考查知识转换、图象识别能力，第(9)题考查材料阅读、理解迁移 能力，第(12)题考查几何画图、空间想象能力，第(18)题考查自主探索、逻辑推理能力 ，第(20)题综合考查等价变换、抽象概括、归纳推理、猜想证明等能力。这些题目立意 都比较新颖，是整份试卷中的“亮点”。
二、今后命题的建议：知难而进
今年试题与去年一样，看似乎淡却有新意，能给人一种返璞归真的感觉。我省数学卷 继续保持了“平和、质朴”的风格，追求的是“内在美”，实在难能可贵。当然，数学 试题的命制有一个不断完善的过程，总会有一些值得改进之处，比如，今年个别试题计 算量偏大，可以适当做些调整；实际问题数学化的试题尽管设计较难，但仍应知难而进 。诚然，真、善、美是人们的共同追求，我们期待我省的数学卷更加卓尔不群，在“至 真”“尽善”的同时能够“臻美”。
现在，我们不揣冒昧，由此及彼作若干思考，提出以下几点不成熟的看法。
1.必须有真正意义上的实际问题数学化试题
高考考应用题，其初衷是要考查学生分析和解决问题的能力，尤其是数学建模能力。 这两年我省数学卷都编拟了概率统计一个“摸球”题，它考查相互独立事件随机变量的 分布列和数学期望。但我们认为，它们并不是真正意义上的实际问题数学化试题。难道 高考试题非要编制概率统计大题而把传统的应用题拒之门外吗?即便如此，难道概率统 计题与传统的应用题就没有交汇点和结合点了吗?更退一步，难道概率统计题就没法再 贴近社会、贴近生活了吗?回答当然是否定的。今年，全国一些省市高考题、模拟训练 题中出现的应用题多么清新自然，令人耳目一新!我们期望：我省数学卷的命制在这方 面能够知难而进，能够“迈开步，走小步”，摸着石子过河，闯出一条新路来。下面仅 就概率统计题如何更贴近社会、贴近生活采撷一例：
典型题1 经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：人数
0～5
6～10
11～15
16～20
21～25
25人以上概率
0.1
0.15
0.25
0.25
0.2
0.05
(1)每天不超过20人排队结算的概率是多少?
(2)一周7天中，若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就 需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口?
分析 此题是图表信息题，通过图表提供的数据，结合概率知识求解，对于第(1)问选 出满足条件的，利用概率的加法求解，注意关键词“不超过”，即小于或等于。对于第 (2)问考查了独立重复试验，做独立重复试验问题的步骤为：①确定在1次试验中某事件 发生的概率P。②在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为P[,n](k) = C[k] [,n]P[k](1 - P)[n - k]。
(1)每天不超过20人排队结算的概率为P = 0.1 + 0.15 + 0.25 + 0.25 = 0.75，即不 超过20人排队结算的概率是0.75。
(2)每天超过15人排队结算的概率为
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所以，该商场需要增加结算窗口。
2.应该强化向量的工具性，考查利用向量方法解决问题的能力
向量是新增的重点内容，它融代数特征和几何特征于一体，能与三角函数、函数、解 析几何、立体几何自然交汇、亲密接触。考查平面向量的概念和运算当然是必要的(如 理科第(10)题、文科第(8)题)，但向量作为代数与几何的纽带，理应发挥其坐标运算与 动点轨迹、曲线方程等综合方面的工具性功能。今年，全国不少省、市有这方面的高考 试题，实属情理之中；而我省在这方面力度不大，没有新动作，有些意料之外。现举一 例，供教学参考。
典型题2 直角坐标平面内，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)平 面内两点G，M同时满足以下条件：
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分析 本题主要考查了向量的坐标运算、数量积、圆锥曲线的轨迹方程及直线与圆锥 曲线的交点问题，求曲线的轨迹方程时，注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即不多点不 漏点，根据题目的特征去掉多余点，同时审题时区别“轨迹”和“轨迹方程”。处理直 线和圆锥曲线的交点问题时，考虑斜率不存在的情况，也易忽略了判断式大于0，导致 范围扩大。
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3.“拼盘式”的解答题是需要的，但“纵向式”的解答题更富有灵气
今年的数学试卷共有6个解答题，每题都有2、3个小题。但我们不难发现，每题中的小 题之间大多并没有内在的、有机的联系，属于“并列式”、“拼盘式”的东西。从检测 、评价功能的角度看，它们的作用的确不可低估，但它们实在缺少“余音绕梁，三日不 绝”的美妙感觉。“发现式”“纵向式”的数学问题大家爱看、爱做、爱钻研、爱交流 ，也能够增添试卷不少的灵气。我们期待：我省今后数学卷每年都能涌现出若干个必能 成为经典的、令人赞叹不已的、鲜活的原创解答题。
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(2)如图4，作两条平行直线分别交椭圆于A，B和C，D，并分别取AB，CD的中点M，N， 连接直线MN；又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于A[,1]，B[,1]和C[,1]，D[,1]，并分别取A[,1]B[,1]，C[,1]D[,1]的中点M[,1]，N[,1]，连接直线M[,1]N [,1]，那么直线MN和M[,1]N[,1]的交点O即为椭圆中心。
4.最后一题的设计仍应继续加大力度，使它更能体现新理念和鼓励创新
今年试卷的最后一题有一定的创意，能够较好地考查综合运用所学知识分析问题和解 决问题的能力，只可惜问题背景与去年有些相似，编题的痕迹似乎“浓”了些。数学卷 最后一题太引人关注了，人们的期望值太高了。它既要能充分体现考试改革的方向，又 要对今后数学教学具有明确的指导作用，谈何容易!但我们有理由期待：今后我省数学 卷的最后一题更能广泛取材、匠心独运，更能体现课改理念和鼓励创新。
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三、改进教学的启示：准、实、活
1.准——重视考试说明的变化，关注新高考的特点
每年的高考数学考试大纲和说明在基本精神保持不变的前提下都会有一些细微的变化 ，比如今年的考试内容就有部分变动：将原在“三角函数”章节中考查的奇偶性前移至 “函数”章节，并要求“掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法”；在“直线和圆的方 程”的考试要求中增加了“理解直线的倾斜角的概念”；在“立体几何”中对三垂线定 理及其逆定理的要求层次从去年的“了解”提高到今年的“掌握”。理科数学对复数的 有关概念及复数的代数表示和几何意义的要求层次从去年的“理解、掌握”降低为今年 的“了解”，并增加“了解从自然数系到复数系的关系”，同时删去“了解引进复数的 必要性”。文科数学在“导数”章节中删去“会利用导数解决科技、经济、社会中的某 些简单实际问题。”这些变化在今年试题中的确有所体现。今年高考试卷正如《考试说 明》中所说，对数学基础知识的考查继续强调支撑学科知识体系的重点内容构成数学试 卷的主体；对数学思想和方法的考查继续强调注重通性通法，淡化特殊技巧；对数学能 力的考查继续强调以能力立意，即以数学知识为载体，从问题入手，用统一的数学观点 组织材料，重点考查思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。特别是，试题做到了 “表达科学规范，语言简洁，长度适中，不出难读题目，不让学生在读题上花大量的时 间”。
在高三教学分析中，我们还会不会听到如此感言：题目做多了并没有占多大便宜!如果 知道是这样的卷子，就不去打“擦边球”了!平时外地所谓的猜题卷、押题卷实在太难 了，不很适合我们浙江!这些发自肺腑的话恰恰说明“抓准”是何等的重要!
2.实——重视基础知识的学习，严格解题规范的训练
(1)把教科书由“厚”变“薄”再由“薄”变“厚”。概念、性质、法则、公式、定理 、公理是数学的基础知识，熟悉它们是复习的基本环节。我们应对教科书中的知识点、 方法链重新审视，将各部分的知识和方法系统地加以整理，把书由“厚”变“薄”；又 要更好地发挥教科书例、习题的基础性、典型性和示范性功能，充分利用其开发、挖掘 和拓展的空间，将重点放在掌握例题涵盖的知识及方法上，努力将题目加以引申、变化 ，把书由“薄”变“厚”，掌握通性通法，做到触类旁通。
(2)在头脑中储存一个“完整的数学认知结构”。数学知识结构的形成和发展，有一个 积累、加工和完善的过程。在扎实学好基础知识的同时，应注意各部分知识在各自发展 过程中的纵向联系，以及各部分知识之间的横向联系，理清结构脉络，抓住知识主干， 构建知识网络，在头脑中储存一个“完整的数学认知结构”。这样，在解题时就会根据 题目显现出的信息点，从记忆库内提取出与题目信息相关的知识，从而加快答题速度。
(3)在“禅”和“悟”两个字上下功夫。有位数学老师说得对，学好数学离不开两个字 ：“禅”和“悟”，即“禅功”和“悟性”。迁移到高考复习上去，就是要抓准、练实 ，向解题的“精度”和“速度”要质量。“精度”的提高必须具备“禅功”，做到简单 题目不粗心，复杂运算敢“硬碰硬”；“速度”的提高要讲“悟性”，能够估算的地方 就不精确计算，能够取特例或极端化处理的地方就不作一般性推演，能够借助直觉判断 的地方就不拘泥推理过程。
(4)解题力求规范，细节必须关注。从阅卷反馈的情况看，学习不扎实的学生大多就会 有以下几个方面的问题：①反函数的符号运用不正确；②关键语句表述不清晰；③计算 能力不强、准确率不高。今年试卷的计算量较大，考生的成绩就出现反弹。再如，今年 文科第(19)题(Ⅱ)由余弦定理或平面向量的数量积公式可得
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但多数考生得出第一个等式后(标准答案给出的等式好一些)就半途而废了。其实它还 可用求导方法解，即使是上述方法也可用换元作些改进以简化计算。
3.活——强调知识能力并重，注重挖掘学习潜能
从考试的形式和内容看，数学试题“活”的成分真是越来越多，可谓日新月异。比如 ，函数、数列作为传统的重点，老字号也是越考越鲜活；导数、向量、概率统计是新生 代，其工具作用已浮出水面，将越来越红火；导数使得对函数性质的研究别开生面，不 再像雨像云又像雾了；以向量为工具研究几何，虽是旧瓶装新酒，但一样可以令人陶醉 ，并由此形成高考试题的一道靓丽的风景线。
从高考命题的立意上看，已由“知识立意”转变为“能力立意”，并逐步发展能力的 内涵，不断加大考查的力度。我们要全面、正确地理解上述转变的意义，做到知识能力 并重，两者都不偏废。高考强调考查能力，它不仅考查学生对高中数学知识的掌握情况 ，而且以这些知识情景为素材，考查运用知识和方法过程中的学科能力和一般能力。要 想在高考中取得好成绩，没有能力的提升，不挖掘学习的潜能是很难实现的。在阅卷中 我们发现不少考生数学知识掌握并不牢固，数学能力欠缺。
比如理科第(10)题，既可用二次不等式求解，又是用数形结合思想、运用“直角三角 形斜边大于直角边”知识得出答案(C)，如图5所示。考生没能正确解答此题，表明他们 的数学推理能力薄弱，数学思想方法欠缺，数学学习不“活”，教学中要引起我们的足 够重视。
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